【备战2023高考】数学考点全复习——第46讲《平面的性质与点线面的位置关系》精选题（新高考专用）

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第46讲 平面的性质与点线面的位置关系

【基础知识回顾】
1、 平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(注意：三点不一定能确定一个平面)．
推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
2、 空间中两直线的位置关系
(1)空间中两直线的位置关系
　　　 　　　　　　　　　　　　
(1)两条异面直线不能确定一个平面．
(2)不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线.
(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：.
(3)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么 这两个角相等或互补．
(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．
(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且其中一组方向相同，另一组方向相反，那么这两个角互补．
(3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向都相反，那么这两个角相等．　　　　　　　
知识点三 空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．
(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
3、知识必备
1．唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
2．异面直线的两个结论
(1)平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．
(2)分别在两个平行平面内的直线平行或异面．

1、a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是(　　)
A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面
B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交
C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等
D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c
【答案】C
【解析】　若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，
则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；
由异面直线所成的角的定义知C正确．故选C.
2、如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是(　　)

A．直线AC
B．直线AB
C．直线CD
D．直线BC
【答案】C　
【解析】　由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，
又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，
所以点D在平面ABC与平面β的交线上．
又因为C∈平面ABC，C∈β，
所以点C在平面β与平面ABC的交线上，
所以平面ABC∩平面β＝CD.
3、如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确是(　　)
A．A，M，O三点共线
B．A，M，O，A1不共面
C．A，M，C，O不共面
D．B，B1，O，M共面
【答案】A　
【解析】　连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，
∴A1，C1，A，C四点共面，
∴A1C⊂平面ACC1A1，
∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，
又M∈平面AB1D1，
∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，
同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．
∴A，M，O三点共线．
4、 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】　如图，因为AB∥CD，
所以AE与CD所成角为∠EAB.
在Rt△ABE中，设AB＝2，
则BE＝，
则tan∠EAB＝＝，
所以异面直线AE与CD所成角的正切值为.
5、(2022·厦门模拟)下列说法正确的是(　　)
A．两组对边分别相等的四边形确定一个平面
B．和同一条直线异面的两直线一定共面
C．与两异面直线分别相交的两直线一定不平行
D．一条直线和两平行线中的一条相交，也必定和另一条相交
【答案】　C
【解析】　两组对边分别相等的四边形可能是空间四边形，故A错误；
如图1，直线DD1与B1C1都是直线AB的异面直线，同样DD1与B1C1也是异面直线，故B错误；
如图2，设直线AB与CD是异面直线，则直线AC与BD一定不平行，否则若AC∥BD，有AC与BD确定一个平面α，则AC⊂α，BD⊂α，所以A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，所以AB⊂α，CD⊂α，这与假设矛盾，故C正确；
如图1，AB∥CD，而直线AA1与AB相交，但与直线CD不相交，故D错误．
　　
图1　　　　　　　　图2
6、(2022·渭南模拟)在空间中，给出下面四个命题，其中假命题为________．(填序号)
①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；
②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则α∥β；
③若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；
④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线．
【答案】　①②④
【解析】　对于①，当平面α外两点的连线与平面α垂直时，此时过两点有无数个平面与平面α垂直，所以①不正确；
对于②，若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，平面α与β可能平行，也可能相交，所以②不正确；
对于③，直线l与平面内的任意直线垂直时，得到l⊥α，所以③正确；
对于④，两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条相交直线或两条平行直线或直线和直线外的一点，所以④不正确．

考向一　 平面的基本性质及应用
例1、如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：


(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点．





【证明】　(1)连接EF，CD1，
A1B. ∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．
(2)∵EF∥CD1，EF ∴CE与D1F必相交，设交点为P，
则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA. ∴CE，D1F，DA三线共点．

变式1、如图所示，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：

(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．
证明　(1)∵EF是△D1B1C1的中位线，
∴EF∥B1D1.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，
∴EF∥BD.
∴EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．
(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
设平面A1ACC1为α，
平面BDEF为β.
∵Q∈A1C1，∴Q∈α.
又Q∈EF，∴Q∈β，
则Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点，
∴α∩β＝PQ.
又A1C∩β＝R，∴R∈A1C.
∴R∈α，且R∈β，
则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．
变式2、 如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，G，H分别是CD和AD上的点.若EH与FG相交于点K.
求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点.



证明　因为K∈EH，EH⊂平面ABD，
所以K∈平面ABD，同理K∈平面CBD，而平面ABD∩平面CBD＝BD，
因此K∈BD，所以EH，BD，FG三条直线相交于同一点.



方法总结：1．证明点或线共面问题的2种方法
(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；
(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．
2．证明点共线问题的2种方法
(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；
(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上．
3．证明线共点问题的常用方法
先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点
考向二 判断空间直线的位置关系
例2、若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　)
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
【答案】D　
【解析】由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．
变式1、如图，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为________(填序号)．
【答案】③④
【解析】直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误．
变式2、(多选)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，则在这个正四面体中(　　)
A.GH与EF平行
B.BD与MN为异面直线
C.GH与MN成60°角
D.DE与MN垂直
【答案】　BCD
【解析】　还原成正四面体A－DEF，如图所示，
其中H与N重合，A，B，C三点重合，易知GH与EF异面，BD与MN异面.
连接GM，∵△GMH为等边三角形，
∴GH与MN成60°角.
由图易得DE⊥AF，又MN∥AF，
∴MN⊥DE，
因此正确的选项是B，C，D.
变式3、 (1)(多选)(2022·福州质检)四棱锥P－ABCD的所有棱长都相等，M，N分别为PA，CD的中点，下列说法正确的是(　　)
A.MN与PD是异面直线
B.MN∥平面PBC
C.MN∥AC
D.MN⊥PB
【答案】　ABD
【解析】　如图所示，取PB的中点H，连接MH，HC，
由题意知，四边形MHCN为平行四边形，且MN∥HC，所以MN∥平面PBC，设四边形MHCN确定平面α，又D∈α，故M，N，D共面，但P∉平面α，D∉MN，因此MN与PD是异面直线；故A，B说法均正确.
若MN∥AC，由于CH∥MN，则CH∥AC，
事实上AC∩CH＝C，C说法不正确；
因为PC＝BC，H为PB的中点，所以CH⊥PB，又CH∥MN，所以MN⊥PB，D说法正确.
(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，则EF与BD1的位置关系是(　　)
A.相交但不垂直 B.相交且垂直
C.异面 D.平行
【答案】　D
【解析】　连接D1E并延长，与AD交于点M，由A1E＝2ED，可得M为AD的中点，

连接BF并延长，交AD于点N，因为CF＝2FA，可得N为AD的中点，所以M，N重合，所以EF和BD1共面，且＝，＝，所以＝，所以EF∥BD1.
方法总结：1.异面直线的判定方法：
(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.
(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.
2.点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系.
考向三 异面直线所成的角
例3、如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
【答案】　D
【解析】连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1或其补角为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，易得A1C1＝，A1B＝BC1＝，故cos∠A1BC1＝＝，即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.



变式、 (1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
【答案】　C
【解析】　法一　如图，补上一相同的长方体CDEF－C1D1E1F1，连接DE1，B1E1.易知AD1∥DE1，则∠B1DE1为异面直线AD1与DB1所成角.因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，所以DE1＝
＝＝2，
DB1＝＝，B1E1＝＝＝，在△B1DE1中，由余弦定理，
得cos∠B1DE1＝＝，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.
法二　如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM，易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成角.因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，AD1＝＝2，DM＝＝，
DB1＝＝，所以OM＝AD1＝1，OD＝DB1＝，于是在△DMO中，由余弦定理，
得cos∠MOD＝＝，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.
(2)(2022·湖北重点高中联考)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，且斜边BC＝2，D是BC的中点，若AA1＝，则异面直线A1C与AD所成角的大小为(　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
【答案】　C
【解析】　如图，取B1C1的中点D1，连接A1D1，则AD∥A1D1，∠CA1D1(或其补角)就是异面直线A1C与AD所成的角.
连接D1C.
∵A1B1＝A1C1，∴A1D1⊥B1C1，又A1D1⊥CC1，B1C1∩CC1＝C1，∴A1D1⊥平面BCC1B1，∵D1C⊂平面BCC1B1，∴A1D1⊥D1C，∴△A1D1C为直角三角形，
在Rt△A1CD1中，A1C＝2，CD1＝，
∴∠CA1D1＝60°.
方法总结：方法总结：用平移法求异面直线所成的角的三步骤
(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；
(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；
(3)三求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角

1、(2021·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　　)
A. B. C. D.
【答案】　D
【解析】　如图，连接C1P，因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，且P为B1D1的中点，所以C1P⊥B1D1，又C1P⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，B1D1，BB1⊂平面B1BP，所以C1P⊥平面B1BP.又BP⊂平面B1BP，所以有C1P⊥BP.连接BC1，则AD1∥BC1，所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角.设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则在Rt△C1PB中，C1P＝B1D1＝，BC1＝2，sin ∠PBC1＝＝，所以∠PBC1＝.
2、(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则(　　)

A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
【答案】B
【解析】　过E作EQ⊥CD于Q，连接BD，QN，BE，易知点N在BD上．∵平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，∴EQ⊥平面ABCD，∴EQ⊥QN，同理可知BC⊥CE，设CD＝2，易知EQ＝，QN＝1，则EN＝＝＝2，BE＝＝＝2.易知BE＝BD，又∵M为DE的中点，∴BM⊥DE，∴BM＝＝＝，∴BM＝>2＝EN.∴BM≠EN.

又∵点M，N，B，E均在平面BED内，∴BM，EN在平面BED内，又BM与EN不平行，∴BM，EN是相交直线，故选B.
3、(2018·全国Ⅱ卷)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.由条件可知D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，)，B1(1，1，)，所以＝(－1，0，)，＝(1，1，).则cos〈，〉＝＝＝，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.

4、(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】 C
【解析】取DD1中点F，连EF，AF，AE，易知EF∥DC，所以∠AEF为两异面直线所成的角．在Rt△AEF中，令正方体棱长为1，则EF＝1，AF＝，所以tan∠AEF＝＝.故选C.