【备战2023高考】数学考点全复习——第67讲《章末检测十》精选题（新高考专用）

第67讲 章末检测十

一、单选题

1、（2022·山东济南·高三期末）的展开式中，的系数为（       ）

A．40 B． C．80 D．

【答案】D

【解析】因为的展开式为

令，所以的系数为.

故选：D.

2、(2022·江苏海安中学期初)从三个小区中选取6人做志愿者，每个小区至少选取1人，则不同的选取方案数为

A．10             B．20              C．540            D．1080

【答案】C

【解析】由题意，①当6个人分为2，2，2三个小组，分别来自三个小区，共有＝90种，②当6个人分为4，1，1三个小组，分别来自三个小区，共有＝90种，③当6个人分为3，2，1三个小组，分别来自三个小区，共有＝360种，综上，共有90＋90＋360＝540种，故答案选C．

3、(2022·青岛期初考试)为调查新冠疫苗接种情况，需从5名志愿者中选取3人到3个社区进行走访调查，每个社区1人，若甲乙两人至少有一人入选，则不同的选派方法有

A．12种           B．18种          C．36种            D．54种

【答案】D

【解析】由题意，①若从甲乙两人中选一人作为志愿者时，则有种，从剩下的3人中选2人作为志愿者，则有种，所以选派到3个社区有种，则共有＝36种；②若甲乙两人都被选作志愿者，则从剩下的3人中选1人作为志愿者即可，则有种，所以选派到3个社区有种，则共有＝18种；综上，不同的选派方法有36＋18＝54种，故答案选D．

4、(2022·江苏省第一次大联考)若二项式(－x)n的展开式中所有项的系数和为，则展开式中二项式系数最大的项为

A．－x3          B．x4             C．－20x3               D．15x4

【答案】A

【解析】由题意可知，令x＝1，则(－1)n＝，解得n＝6，所以展开式中二项式系数最大的项为T4＝()3(－x)3＝－x3，故答案选A．

5、(2022·江苏南京市二十九中学高三10月月考)若多项式，则（    ）

A. 56 B.  C.  D. 120

【答案】D

【解析】：，则由的展开式的系数确定，因为的通项为，所以

故选：D

6、（2022·广东东莞·高三期末）的展开式中项的系数是（       ）

A．9 B．10 C．11 D．12

【答案】B

【解析】当且，的展开式通项为，

所以，的展开式中含的系数为，

的展开式中，含项的系数是.

故选：B.

7、(2022·湖南省雅礼中学开学考试)数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求．现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三3学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有

A．60种           B．78种           C．84种          D．144种

【答案】B

【解析】由题意可知，三年修完四门]课程，则每位同学每年所修课程数为1，1，2或0，1，3或0，2，2．①若是1，1，2，则先将4门学科分成三组种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有·＝36种；②若是0，1，3，则先将4门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共·＝24种；③若是0，2，2，则先将4门学科分成三组不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有·＝18种．所以每位同学的不同选修方式有36＋24＋18＝78种．故答案选B．

8、(2022·湖北华中师大附中等六校开学考试联考)的展开式中，的系数为（    ）.

A. 120 B. 480 C. 240 D. 320

【答案】A

【解析】的展开式中，项是由6个因式中，

1个因式出，3个因式出，2个因式出，

含的项为，的系数为，故选：A.

二、多选题

9、（2022·江苏常州·高三期末）如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法数为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【解析】选项A：表示先着色中间两格下面一格.从4种颜色取3种，有个方法，上面一格，从与中间两格不同的颜色中取出一个，有个方法，故共有个不同方法.正确；

选项B：,方法总数不对.错误；

选项C：表示先对中间两格涂颜色. 从4种颜色取2种，共有个方法，上下两格都是从与中间两格不同的颜色中取出一个，有个方法.故共有个不同方法.正确；

选项D：表示两种情况：①上下两格颜色相同，中间两格从3个剩下的颜色取2种，共有个不同方法；②上下两格颜色不同，中间两格从2个剩下的颜色取2种，共有个不同方法. 综合①②可知方法总数为：个不同方法.正确.

故选：ACD

10、(2022·江苏泰州中学高三10月月考)已知，则（    ）

A. 的展开式中的常数项是56

B. 的展开式中的各项系数之和为0

C. 的展开式中的二项式系数最大值是70

D. 的展开式中不含的项

【答案】BC

【解析】二项展开式通项公式为，

，，常数项为，A错；

，，第6项是含的项，D错；

令得所有项系数和，B正确；

，因此二项式系数的最大值为，C正确．

故选：BC．

11、（2022·江苏宿迁·高三期末）已知的展开式中共有7项，则（       ）

A．所有项的二项式系数和为64

B．所有项的系数和为1

C．二项式系数最大的项为第4项

D．有理项共4项

【答案】ACD

【解析】因为的展开式中共有7项，

所以，

对于A，所有项的二项式系数和为，所以A正确，

对于B，令，则所有项的系数和为，所以B错误，

对于C，由于二项式的展开项共有7项，所以二项式系数最大的项为第4项，所以C正确，

对于D，的展开式的通项公式为，当时，展开式的项为有理项，所以有理项有4项，所以D正确，

故选：ACD

12、(2022·江苏第一次百校联考)若二项式展开式中二项式系数之和为an，展开式的各项系数之和为bn，各项系数的绝对值之和为cn，则下列结论正确的是

A．anbn＝cn                    B．存在n∈N*，使得bn＋cn≥an

C．＋的最小值为2          D．b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn＜2

【答案】AB

【解析】由题意可得，an＝2n，bn＝()n，cn＝()n，因为anbn＝2n·()n＝()n＝cn，所以选项A正确；因为＝＝()n＋()n≤＋＝1，所以选项B正确；因为＋＝()n＋2n≥＋2＝，当且仅当n＝1时取等号，所以选项C错误；因为bn＝()n，当n≥3时，b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn≥2，所以选项D错误；综上，答案选AB．

三、填空题

13、（2022·山东莱西·高三期末）在的展开式中，的系数为___________；

【答案】

【解析】由二项展开式的通项公式得

，其中令，即，

故展开式中的系数为.

故答案为：.

14、（2022·山东青岛·高三期末）某班级周三上午共有4节课，只能安排语文､数学､英语､体育和物理，若数学必须安排，且连续上两节，但不能安排二三节，除数学外的其他学科最多只能安排一节，体育不能安排在第一节，则不同的排课方式共___________种（用数字作答）.

【答案】21

【解析】当数学排在一二节时，则从语文、英语、体育和物理中任选2科，排在三四节，则种排法，

当数学排在三四节时，先从语文、英语和物理中任选1科，排在第一节，再从剩下的3科中任选1科，排在第二节，则有种排法，

由分步加法原理可得共有种排法，

故答案为：21

15、(2022·武汉部分学校9月起点质量检测)(x＋2y)(x－y)5展开式中x2y4项的系数为______．

【答案】－15

【解析】由题意可知，(x－y)5的展开式通式为x(－y)，则(x＋2y)(x－y)5的展开式中x2y4项的系数为(－1)4＋2(－1)3＝－15．

16、（2022·河北保定·高三期末）某体育赛事组织者招募到8名志愿者，其中3名女性，5名男性，体育馆共有三个入口，每个入口需要分配不少于2个且不多于3个志愿者，每名志愿者都要被分配，则3名女志愿者被分在同一个入口的概率为___________，每个入口都有女志愿者的分配方案共有___________种.

【答案】          540

【解析】由题意可知，有一个入口有2名志愿者，两个入口有3名志愿者，分配方案共有种，3名女志愿者在同一个入口的分配方案共有种，故3名女志愿者被分在同一个入口的概率为，每个入口都有女志愿者的分配方案共有种.

故答案为：；

四、解答题

17、（2020·全国高三专题练习（理））一场小型晚会有个唱歌节目和个相声节目，要求排出一个节目单．

（1）个相声节目要排在一起，有多少种排法？

（2）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？

（3）前个节目中要有相声节目，有多少种排法？

（要求：每小题都要有过程，且计算结果都用数字表示）

【解析】（1）把两个相声节目捆绑在一起作为一个节目与其他节目排列共有排法；

（2）选两个唱歌节目排在首尾，剩下的3个节目在中间排列，排法为；

（3）5个节目全排列减去后两个都是相声的排法，共有．

18、（2020·全国高三专题练习（理））有个男生和个女生，从中选取人担任门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：

（1）有女生但人数必须少于男生；

（2）某女生一定要担任语文科代表；

（3）某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；

（4）某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表.

【解析】（1）先取后排，有种，后排有种，共有种；

（2）除去该女生后先取后排：种；

（3）先取后排，但先安排该男生：种；

（4）先从除去该男生该女生的人中选人有种，再安排该男生有种，其余人全排有种，共种.

19、（2022栟茶中学开学初考试）2020年初，新型冠状病毒疫情牵动着全国人民的心，某市根据上级要求，在本市某人民医院要选出护理外科、心理治疗方面的专家4人与省专家组一起赶赴武汉参加救助工作，该医院现有3名护理专家，，，5名外科专家，，，，，2名心理治疗专家，.

（1）求人中有1位外科专家，1位心理治疗师的概率；

（2）求至少含有2位外科专家，且外科专家和护理专家不能同时被选的概率.

【解析】由题意知：人民医院从名专家中选出人参加救助工作共有种情况；

（1）设选出的人参加救助工作中有1位外科专家，1位心理治疗师为事件，

则满足事件的情况共有种；

所以人中有1位外科专家，1位心理治疗师的概率为：

；

（2）设选出的人参加救助工作中至少含有2位外科专家，且外科专家和护理专家不能同时被选为事件，

则满足事件的情况为：

①当选择时，

当有位外科专家时，共有种情况；

当有位外科专家时，共有种情况；

当有位外科专家时，共有种情况；

②当不选择时，

当有位外科专家时，共有种情况；

当有位外科专家时，共有种情况；

当有位外科专家时，共有种情况；

综上：满足事件的情况共有种情况；

所以至少含有2位外科专家，且外科专家和护理专家不能同时被选的概率：

.

20、（2021·江苏高二期中）在二项式的展开式中，________．给出下列条件：

①若展开式前三项的二项式系数的和等于46；

②所有奇数项的二项式系数的和为256；

③若展开式中第7项为常数项．

试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题：

（1）求展开式中二项式系数最大的项；

（2）求展开式的常数项．

（备注：如果多个条件分别解得，按第一个条件计分）

【解析】解：选择①：，即，

即，即，解得或（舍去）

选择②：，即，解得．

选择③：，则有，所以．

因为展开式中第7项为常数项，即，所以．

（1）展开式中二项式系数最大的项为第5和第6项，

，

．

（2）展开式通项为：，

令，∴，

∴展开式中常数项为第7项，常数项为．

21、（2021·浙江高二期末）已知展开式的二项式系数和为512，且．

（1）求的值；

（2）求的值；

（3）求被6整除的余数．

【解析】：（1）因为展开式的二项式系数和为512，

所以，解得，

因为，所以，

（2）在中，令，则，

令，可得，

所以

（3）

，

，

因为（）能被6整除，而，即被6整除余数为5，

所以被6整除的余数为5

22、（2022江苏南通市·高三其他模拟）已知.

（1）若，求；

（2）若，求除以9的余数；

（3）若，求.

【解析】（1）因为，所以……①

同时，……②，

①②两式相加得：

所以

（2）因为，所以

因为都能被9整除，所以1除以9的余数就是除以9的余数，

故除以9的余数为1.

（3）因为，所以通项

所以

同时

上述两式相加有

所以.