【备战2023高考】数学考点全复习——第72讲《正态分布》精选题（新高考专用）

第72讲 正态分布

【基础知识回顾】 

正态分布

(1)定义

若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝·e，x∈R，其中，μ∈R，σ＞0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2).

(2)正态曲线的特点

①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称.

②曲线在x＝μ处达到峰值.

③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴.

(3)3σ原则

①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；

②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；

③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.

(4)正态分布的均值与方差

若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.

1、已知随机变量服从正态分布，若，则（       ）

A．0.977 B．0.954 C．0.5 D．0.023

2、某校高三年级有1000人参加期末考试，经统计发现数学成绩近似服从正态分布，且成绩不低于140分的人数为100，则此次考试数学成绩高于100分的人数约为(       )

A．700 B．800 C．900 D．950

3、已知随机变量X服从正态分布N，若，则（       ）

A． B． C． D．

4、设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）

A．

B．

C．对任意正数，

D．对任意正数，

5、（多选题）正态分布的正态密度曲线如图所示，则下列选项中，可以表示图中阴影部分面积的是（       ）.

A． B．

C． D．

6、（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）首届国家最高科学技术奖得主，杂交水稻之父袁隆平院士为全世界粮食问题和农业科学发展贡献了中国力量，某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时，发现株高(单位：cm)服从正态分布N(100，102)，若测量10000株水稻，株高在(80,90)的约有________株．

(附～，，)

考向一 利用正态分布求概率

例1、“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)服从正态分布，其密度曲线函数为，则下列说法正确的是（    ）

A．该地水稻的平均株高为100cm

B．该地水稻株高的方差为10

C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大

D．随机测量一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)(单位：cm)的概率一样大

变式1、设，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（       ）

A． B．

C． D．

变式2、设随机变量服从正态分布，若，则实数（       ）

A．3 B．4 C．1 D．2

变式3、（2021·山东高三其他模拟）设随机变量，若，则_______．

变式4、（2021·山东德州市·高三二模）若随机变量，且，则______．

考向二 正态分布的综合性问题

例2、（2021·山东日照市·高三其他模拟）为了了解扬州市高中生周末运动时间，随机调查了名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如下的频数分布表：

（1）从周末运动时间在的学生中抽取人，在的学生中抽取人，现从这人中随机推荐人参加体能测试，记推荐的人中来自的人数为，求的分布列和数学期望；

（2）由频数分布表可认为：周末运动时间服从正态分布，其中为周末运动时间的平均数，近似为样本的标准差，并已求得．可以用该样本的频率估计总体的概率，现从扬州市所有高中生中随机抽取名学生，记周末运动时间在之外的人数为，求（精确到）；

参考数据1：当时，，，．

参考数据2：，.

变式1、（2021·湖南高三模拟）扶贫期间，扶贫工作组从地到地修建了公路，脱贫后，为了了解地到地公路的交通通行状况，工作组调查了从地到地行经该公路的各种类别的机动车共4000辆，汇总行车速度后作出如图所示的频率分布直方图.

（1）试根据频率分布直方图，求样本中的这4000辆机动车的平均车速（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）.

（2）由频率分布直方图可大致认为，该公路上机动车的行车速度服从正态分布，其中，分别取调查样本中4000辆机动车的平均车速和车速的方差（）.

（ⅰ）请估计该公路上10000辆机动车中车速不低于84.8千米/时的车辆数（精确到个位）；

（ⅱ）现从经过该公路的机动车中随机抽取10辆，设车速低于84.8千米/时的车辆数为，求的数学期望.

附：若，则，，，取.

变式2、为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及X的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

经计算得，，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，.

用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.

附：若随机变量Z服从正态分布，则，，.

方法总结：对于正态分布题型的数据分析，需要结合μ，σ的含义来进行理解，根据题设中如P(μ－σ<X≤μ＋σ)≥0.682 7；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≥0.954 5；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≥0.997 3来寻找对应条件下的样品数，计算出概率值，再根据题设进行求解，此类题型对数据分析能力要求较高，在统计数据时必须保证数据的准确性，特别是统计个数和计算μ－σ，μ＋σ等数据时．

1、（2021·山东青岛市·高三二模）若随机变量服从正态分布，，则实数等于（    ）

A． B．0 C．1 D．2

2、（2021·山东济宁市·高三二模）已知随机变量服从正态分布，若，则（    ）

A． B． C． D．

3、（2021·山东青岛市·高三三模）某机械厂对一台自动化机床生产的标准零件尺寸进行统计发现，零件尺寸误差近似服从正态分布（误差单位），已知尺寸误差的绝对值在内的零件都是合格零件，若该机床在某一天共生产了个零件，则其中合格的零件总数为___________.

附：随机变量服从正态分布，则，.

4、（2021·湖北武汉市高三三模）某班有60名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（    ）

A．10 B．9 C．8 D．7

5、（2021·全国高三零模）对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9545，至少要测量_____次（若，则）．

6、（2020·全国高一课时练习）冠状病毒是一个大型病毒家族，可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病．出现的新型冠状病毒（nCoV）是从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等．在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡．某医院为筛查冠状病毒，需要检测血液中的指标．现从采集的血液样品中抽取500份检测指标的值，由测量结果得下侧频率分布直方图：

（1）求这500份血液样品指标值的平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表，记作）；

（2）由频率分布直方图可以认为，这项指标的值X服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．在统计学中，把发生概率小于3‰的事件称为小概率事件（正常条件下小概率事件的发生是不正常的）．该医院非常关注本院医生健康状况，随机抽取20名医生，独立的检测血液中指标的值，结果发现4名医生血液中指标的值大于正常值20.03，试根据题中条件判断该院医生的健康率是否正常，并说明理由．

附：参考数据与公式：， ，；若，则①；②；③．，，，．

7、（2021·山东临沂市·高三二模）2021年是“十四五”规划开局之年，也是建党100周年．为了传承红色基因，某学校开展了“学党史，担使命”的知识竞赛．现从参赛的所有学生中，随机抽取100人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图．

（1）求频率分布直方图中的值，并估计该校此次竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；

（2）在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩高于75分的学生中随机抽取7人查看他们的答题情况，再从这7人中随机抽取3人进行调查分析，求这3人中至少有1人成绩在内的概率；

（3）假设竞赛成绩服从正态分布，已知样本数据的方差为121，用平均分作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，求该校本次竞赛的及格率（60分及以上为及格）．

参考数据：，，．

8、（2021·山东烟台市·高三二模）随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2020年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分视为100分）作为样本，整理得到如下频数分布表：

（1）假定笔试成绩不低于90分为优秀，若从上述样本中笔试成绩不低于80分的考生里随机抽取2人，求至少有1人笔试成绩为优秀的概率；

（2）由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩近似服从正态分布，其中近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替），，据此估计该市全体考生中笔试成绩不低于85.9的人数（结果四舍五入精确到个位）

（3）考生甲为提升综合素养报名参加了某拓展知识竞赛，该竞赛要回答3道题，前两题是哲学知识，每道题答对得3分，答错得0分；最后一题是心理学知识，答对得4分，答错得0分．已知考生甲答对前两题的概率都是，答对最后一题的概率为，且每道题答对与否相互独立，求考生甲的总得分的分布列及数学期望．

（参考数据：；若，则，，．）