【备战2023高考】数学考点全复习——第62讲《抛物线的标准方程与性质》精选题（新高考专用）

第62讲 抛物线的标准方程与性质

【基础知识回顾】 

一、抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

二 、抛物线的标准方程与几何性质

三 、 与焦点弦有关的常用结论

设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.

(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．

(3)＋为定值.

(4)以AB为直径的圆与准线相切．

(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．

1、抛物线y＝2x2的准线方程为(　　)

A．y＝－   B．y＝－

C．y＝－   D．y＝－1

【答案】　A

【解析】　由y＝2x2，得x2＝y，故抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－.

2、过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　　)

A．9  B．8  C．7  D．6

【答案】 　B

【解析】　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，

|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1

＝x1＋x2＋2＝8.

3、抛物线y2＝x上一点P到焦点的距离是2，则P点坐标为（     ）

A．    B．    C．   D．

【答案】  D

【解析】  设P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋＝x0＋＝2，∴ x0＝，∴ y0＝±．

4、已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（    ）

A．    B．    C．   D．

【答案】  A

【解析】 因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，且点A(－2，3)在准线上，故＝－2，

解得p＝4，所以y2＝8x，所以焦点F的坐标为(2，0)，这时直线AF的斜率kAF＝＝－．

5、已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是________．

【答案】 　y2＝±4x

【解析】由已知可知双曲线的焦点为

(－，0)，(，0)．

设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则＝，

所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝±4x.

考向一　抛物线的定义及其应用

例1　(1)已知抛物线定点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线x－y＋2＝0上，则抛物线方程为____．

(2)动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为____．

【答案】（1）y2＝－8x或x2＝8y  （2）y2＝4x

【解析】　(1)直线x－y＋2＝0与坐标轴的交点分别为(－2，0)和(0，2)，当焦点为(－2，0)时，抛物线焦点在x轴负半轴上，且p＝4，则抛物线方程为y2＝－8x；当焦点为(0，2)时，抛物线焦点在y轴正半轴上且p＝4，则抛物线方程为x2＝8y；故抛物线方程为y2＝－8x或x2＝8y.

(2)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.

变式1、过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的任意一条直线m，交抛物线于P1，P2两点，求证：以P1P2为直径的圆和该抛物线的准线相切．

证明：如图，设P1P2的中点为P0，过P1，P2，P0分别向准线l引垂线，垂足分别为Q1，Q2，Q0．

根据抛物线的定义，得|P1F|＝|P1Q1|，|P2F|＝|P2Q2|，

所以|P1P2|＝|P1F|＋|P2F|＝|P1Q1|＋|P2Q2|．

因为P1Q1∥P0Q0∥P2Q2，|P1P0|＝|P0P2|，

所以|P0Q0|＝(|P1Q1|＋|P2Q2|)＝|P1P2|．

由此可知，P0Q0是以P1P2为直径的圆P0的半径，且P0Q0⊥l，因此，圆P0与准线相切．

变式2、 (1)若在抛物线y2＝－4x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到A(－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为________.

【答案】　

【解析】　如图，∵y2＝－4x，∴p＝2，焦点坐标为(－1，0).依题意可知当A，P及P到准线的垂足三点共线时，点P与点F、点P与点A的距离之和最小，故点P的纵坐标为1.将y＝1代入抛物线方程求得x＝－，则点P的坐标为.

(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________.

【答案】　

【解析】　如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为＝.

(3)已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为________.

【答案】　2

【解析】　由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1，则|MM1|＝.因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，所以|AA1|＋|BB1|≥6，2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故点M到x轴的距离d≥2，故最短距离为2.

方法总结：与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．

(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．

(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．

考向二   抛物线的标准方程及其几何性质

例2　若抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M点的横坐标及抛物线方程．

【解析】：∵ 点M到对称轴的距离为6，

∴ 设点M的坐标为(x，6)．

∵ 点M到准线的距离为10，

∴ 解得或

故当点M的横坐标为9时，抛物线方程为y2＝4x．

当点M的横坐标为1时，抛物线方程为y2＝36x．

变式1、（1）设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程为(　　)

A.x＝－4     B.x＝－3

C.x＝－2     D.x＝－1

【答案】　A

【解析】　直线2x＋3y－8＝0与x轴的交点为(4，0)，∴抛物线y2＝2px的焦点为(4，0)，∴准线方程为x＝－4.

（2）(2022·广州模拟)已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，点P(4，y0)在抛物线上，K为l与y轴的交点，且|PK|＝|PF|，则y0＝________，p＝________.

【答案】2　4

【解析】　作PM⊥l，垂足为M，由抛物线定义知|PM|＝|PF|，又知|PK|＝|PF|，

∴在Rt△PKM中，sin∠PKM＝＝＝，

∴∠PKM＝45°，∴△PMK为等腰直角三角形，

∴|PM|＝|MK|＝4，

又知点P在抛物线x2＝2py(p＞0)上，

∴解得

变式2、(2022·唐山模拟)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线r：y2＝x，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l1从点P射入，经过r上的点A(x1，y1)反射后，再经r上另一点B(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，经过点Q，则下列结论错误的是(　　)

A．y1y2＝－1

B．|AB|＝

C．PB平分∠ABQ

D．延长AO交直线x＝－于点C，则C，B，Q三点共线

【答案】　A

【解析】　设抛物线的焦点为F，

则F.

因为P，

且l1∥x轴，

故A(1,1)，

故直线AF：y＝＝x－.

由可得y2－y－＝0，

故y1y2＝－，故A错误；

又y1＝1，故y2＝－，

故B，

故|AB|＝1＋＋＝，故B正确；

直线AO：y＝x，由

可得C，故yC＝y2，

所以C，B，Q三点共线，故D正确；

因为|AP|＝－1＝＝|AB|，

故△APB为等腰三角形，

故∠ABP＝∠APB，

而l1∥l2，故∠PBQ＝∠APB，

即∠ABP＝∠PBQ，

故PB平分∠ABQ，故C正确．

方法总结：1．求抛物线标准方程的方法

(1)定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可．

(2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论．

2．抛物线性质的应用技巧

(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．

(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算

1、【2022年全国乙卷】设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（       ）

A．2 B． C．3 D．

【答案】B

【解析】由题意得，，则，

即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，

不妨设点在轴上方，代入得，，

所以.

故选：B

2、【2021年新高考2卷】抛物线的焦点到直线的距离为，则（       ）

A．1 B．2 C． D．4

【答案】B

【解析】抛物线的焦点坐标为，

其到直线的距离：，

解得：(舍去).

故选：B.
3、【2020年新课标1卷理科】已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（       ）

A．2 B．3 C．6 D．9

【答案】C

【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.

故选：C.

4、【2020年新课标3卷理科】设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为直线与抛物线交于两点，且，

根据抛物线的对称性可以确定，所以，

代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，

故选：B.

5、【2019年新课标2卷理科】若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=

A．2 B．3

C．4 D．8

【答案】D

【解析】

因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D

6、【2021年新高考1卷】已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.

【答案】

【解析】抛物线： ()的焦点,

∵P为上一点，与轴垂直，

所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,

不妨设,

因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，

又，

因为，所以,

，

所以的准线方程为

故答案为：.

7、【2020年新高考1卷（山东卷）】斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．

【答案】

【解析】

∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，

又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：

代入抛物线方程消去y并化简得，

解法一：解得     

所以

解法二：

设，则,

过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.

故答案为：