北京市第二中学朝阳学校2022—2023学年八年级上学期数学期中考试试卷（含答案）

这是一份北京市第二中学朝阳学校2022—2023学年八年级上学期数学期中考试试卷（含答案），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
北京市第二中学朝阳学校2022—2023学年八年级上学期期中考试
数学试卷
一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题3分，共30分）
1．（3分）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）过△ABC的顶点A，作BC边上的高，下列作法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）如图，直线m∥n，∠1＝70°，∠2＝30°，则∠A等于（　　）

A．30° B．35° C．40° D．50°
4．（3分）小明用长度分别为5，a，9的三根木棒首尾相接组成一个三角形，则a可能的值是（　　）
A．4 B．6 C．14 D．15
5．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．x3+x2＝x5 B．（xy）2＝x2y2 C．x2•x3＝x6 D．（x2）3＝x5
6．（3分）如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，则∠BFD的度数是（　　）

A．15° B．25° C．30° D．10°
7．（3分）若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．（3分）如图，△ACB≌△A′CB′，∠A′CB＝30°，∠ACB′＝110°，则∠ACA′的度数是（　　）

A．20° B．30° C．35° D．40°
9．（3分）若等腰三角形一个内角为100°，则此等腰三角形的顶角为（　　）
A．100° B．40° C．100°或40° D．80°
10．（3分）如图，∠MAN＝100°，点B，C是射线AM，AN上的动点，∠ACB的平分线和∠MBC的平分线所在直线相交于点D，则∠BDC的大小为（　　）

A．50° B．60°
C．80° D．随点B，C的移动而变化
二、填空题（每小题2分，共16分）
11．（2分）如图，∠1＝∠2，BC＝EF，若要使△ABC≌△DEF，还需要添加条件：　 　（只写一个即可）．

12．（2分）已知点A（﹣1，3）与点B关于x轴对称，则点B的坐标是 　 　．
13．（2分）等腰三角形两边长分别为4cm，2cm，则其周长是　 　cm．
14．（2分）如图，点P是∠BAC的平分线上一点，PB⊥AB于B，且PB＝5cm，AC＝12cm，则△APC的面积是　 　cm2．

15．（2分）如图，AD是△ABC的角平分线，BE是△ABC的高，∠BAC＝40°，则∠AFE的度数为　 　．

16．（2分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是24，则△ABE的面积是　 　．

17．（2分）如图，△ABC中，AB+BC＝10，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D和E，则△BCD的周长是　 　．

18．（2分）我们把满足下面条件的△ABC称为“黄金三角形”：
①△ABC是等腰三角形；
②在三角形的某条边上存在不与顶点重合的点P，使得P与P所在边的对角顶点连线把△ABC分成两个不全等的等腰三角形．
（1）△ABC中，AB＝AC，∠A：∠C＝1：2，可证△ABC是“黄金三角形”，此时∠A的度数为　 　．
（2）△ABC中，AB＝AC，∠A为钝角．若△ABC为“黄金三角形”，则∠A的度数为　 　．
三、解答题（19题和20题，每题8分，21题4分，22题3分，23题和24题4分，25题5分，26题4分，27题和28题7分，共54分）
19．（8分）计算：
（1）a2•a4+（2a3）2．
（2）4a2b•（﹣3a3b2）÷2a4b．
20．（8分）因式分解：
（1）3x2﹣12．
（2）m3﹣2m2+m．
21．（4分）化简求值：（2x﹣1）2﹣（2x+1）（2x﹣1），其中x＝2．
22．（3分）如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB．
要求：尺规作图，并保留作图痕迹．（不要求写作法）

23．（4分）如图，点F、C在BE上，BF＝CE，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：∠A＝∠D．

24．（4分）点D为△ABC的边BC的延长线上的一点，DF⊥AB于点F，交AC于点E，∠A＝35°，∠D＝40°，求∠ACD的度数．

25．（5分）根据题意，先在图中作出辅助线，再完成下列填空：
如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE所在直线是BC的垂直平分线，点E为垂足，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延长线于N，
求证：BM＝CN．
证明：连接DB，DC，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AN，
∴DM＝DN（①　 　）
∵DE是BC的垂直平分线
∴DB＝②　 　（ 　 　）．
在△BDM和△CDN中，
∴△BDM≌OCDN（④　 　）．
∴BM＝CN（⑤　 　）．

26．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（1，0），C（1，2）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）如果要使以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等，写出所有符合条件的点D坐标．

27．（7分）在△ABC中，AB＞BC，直线l垂直平分AC．
（1）如图1，作∠ABC的平分线交直线l于点D，连接AD，CD．
①补全图形；
②判断∠BAD和∠BCD的数量关系，并证明．
（2）如图2，直线l与△ABC的外角∠ABE的平分线交于点D，连接AD，CD．求证：∠BAD＝∠BCD．

28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形W，给出如下定义：图形W关于经过点（m，0）且垂直于x轴的直线的对称图形为W'，若点P恰好在图形W'上，则称点P是图形W关于点（m，0）的“关联点”．
（1）若点P是点Q（3，2）关于原点的“关联点”，则点P的坐标为　 　；
（2）如图，在△ABC中，A（1，1），B（6，0），C（4，﹣2）．
①点C关于x轴的对称点为C'，将线段BC'沿x轴向左平移d（d＞0）个单位长度得到线段EF（E，F分别是点B，C'的对应点），若线段EF上存在两个△ABC关于点（1，0）的“关联点”，则d的取值范围是　 　．
②已知点M（m+1，0）和点N（m+3，0），若线段MN上存在△ABC关于点（m，0）的“关联点”，求m的取值范围．


北京市第二中学朝阳学校2022—2023学年八年级上学期期中考试
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题3分，共30分）
1．（3分）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形的概念．
2．（3分）过△ABC的顶点A，作BC边上的高，下列作法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
【解答】解：△ABC中BC边上的高的是D选项．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．
3．（3分）如图，直线m∥n，∠1＝70°，∠2＝30°，则∠A等于（　　）

A．30° B．35° C．40° D．50°
【分析】首先根据平行线的性质求出∠3的度数，然后根据三角形的外角的知识求出∠A的度数．
【解答】解：如图，∵直线m∥n，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝70°，
∴∠3＝70°，
∵∠3＝∠2+∠A，∠2＝30°，
∴∠A＝40°，
故选：C．

【点评】本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质，关键是求出∠3的度数，此题难度不大．
4．（3分）小明用长度分别为5，a，9的三根木棒首尾相接组成一个三角形，则a可能的值是（　　）
A．4 B．6 C．14 D．15
【分析】根据三角形的三边关系：三角形任何两边之和都大于第三边，任何两边之差都小于第三边，可判定求解．
【解答】解：由题意得9﹣5＜a＜9+5，
解得4＜a＜14，
故a可能的值是6，
故选：B．
【点评】本题主要考查三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关键．
5．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．x3+x2＝x5 B．（xy）2＝x2y2 C．x2•x3＝x6 D．（x2）3＝x5
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、x3与x2不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、（xy）2＝x2y2，故B符合题意；
C、x2•x3＝x5，故C不符合题意；
D、（x2）3＝x6，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6．（3分）如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，则∠BFD的度数是（　　）

A．15° B．25° C．30° D．10°
【分析】先由三角形外角的性质求出∠BDF的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵Rt△CDE中，∠C＝90°，∠E＝30°，
∴∠BDF＝∠C+∠E＝90°+30°＝120°，
∵△BDF中，∠B＝45°，∠BDF＝120°，
∴∠BFD＝180°﹣45°﹣120°＝15°．
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
7．（3分）若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】根据任何多边形的外角和都是360°，利用360°除以外角的度数就可以求出多边形的边数．
【解答】解：∵360÷40＝9，
∴这个多边形的边数是9．
故选：C．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
8．（3分）如图，△ACB≌△A′CB′，∠A′CB＝30°，∠ACB′＝110°，则∠ACA′的度数是（　　）

A．20° B．30° C．35° D．40°
【分析】根据全等三角形对应角相等，∠ACB＝∠A′CB′，所以∠ACA′＝∠BCB′，再根据角的和差关系代入数据计算即可．
【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，
∴∠ACB＝∠A′CB′，
∴∠ACB﹣∠A′CB＝∠A′CB′﹣∠A′CB，
即∠ACA′＝∠BCB′，
∵∠A′CB＝30°，∠ACB′＝110°，
∴∠ACA′＝（110°﹣30°）＝40°．
故选：D．
【点评】本题主要考查全等三角形对应角相等的性质，对应角都减去∠A′CB得到两角相等是解决本题的关键．
9．（3分）若等腰三角形一个内角为100°，则此等腰三角形的顶角为（　　）
A．100° B．40° C．100°或40° D．80°
【分析】题中没有指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解．
【解答】解：①当这个角是顶角时，底角＝（180°﹣100°）÷2＝40°；
②当这个角是底角时，另一个底角为100°，因为100°+100°＝200°，不符合三角形内角和定理，所以舍去．
故选：A．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用，关键是分情况进行分析．
10．（3分）如图，∠MAN＝100°，点B，C是射线AM，AN上的动点，∠ACB的平分线和∠MBC的平分线所在直线相交于点D，则∠BDC的大小为（　　）

A．50° B．60°
C．80° D．随点B，C的移动而变化
【分析】根据角平分线定义得出∠ACB＝2∠DCB，∠MBC＝2∠CBE，根据三角形外角性质得出2∠D+∠ACB＝∠A+∠ACB，求出∠A＝2∠D，即可求出答案．
【解答】解：∵CD平分∠ACB，BE平分∠MBC，
∴∠ACB＝2∠DCB，∠MBC＝2∠CBE，
∵∠MBC＝2∠CBE＝∠A+∠ACB，∠CBE＝∠D+∠DCB，
∴2∠CBE＝∠D+∠DCB，
∴∠MBC＝2∠D+∠ACB，
∴2∠D+∠ACB＝∠A+∠ACB，
∴∠A＝2∠D，
∵∠A＝100°，
∴∠D＝50°．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形外角性质和角平分线定义的应用，关键是求出∠A＝2∠D．
二、填空题（每小题2分，共16分）
11．（2分）如图，∠1＝∠2，BC＝EF，若要使△ABC≌△DEF，还需要添加条件：　AC＝DF（答案不唯一）　（只写一个即可）．

【分析】此题是一道开放型的问题，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．
【解答】解：添加的条件是AC＝DF，
理由是：在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故答案为：AC＝DF（答案不唯一）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
12．（2分）已知点A（﹣1，3）与点B关于x轴对称，则点B的坐标是 　（﹣1，﹣3）　．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），据此即可求得点（﹣2，﹣3）关于x轴对称的点的坐标．
【解答】解：∵A（﹣1，3）与点B关于x轴对称，
∴对称点B的坐标是（﹣1，﹣3）．
故答案为：（﹣1，﹣3）．
【点评】本题主要考查了直角坐标系点的对称性质，正确记忆横纵坐标关系是解题关键．
13．（2分）等腰三角形两边长分别为4cm，2cm，则其周长是　10　cm．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4cm和2cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：①4cm为腰，2cm为底，此时周长为10cm；
②4cm为底，2cm为腰，则两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去．
∴其周长是10cm．
故填10．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
14．（2分）如图，点P是∠BAC的平分线上一点，PB⊥AB于B，且PB＝5cm，AC＝12cm，则△APC的面积是　30　cm2．

【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得点P到AC的距离等于5，从而求得△APC的面积．
【解答】解：∵AP平分∠BAC交BC于点P，∠ABC＝90°，PB＝5cm，
∴点P到AC的距离等于5cm，
∵AC＝12cm，∴△APC的面积＝12×5÷2＝30cm2，
故答案为30．

【点评】本题主要考查了角平分线的性质定理，难度适中．
15．（2分）如图，AD是△ABC的角平分线，BE是△ABC的高，∠BAC＝40°，则∠AFE的度数为　70°　．

【分析】先根据角平分线的性质得出∠EAF的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠BAC＝40°，
∴∠EAF＝20°．
∵BE⊥AC，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AFE＝90°﹣20°＝70°．
故答案为：70°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
16．（2分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是24，则△ABE的面积是　6　．

【分析】根据三角形的面积公式，得△ABE的面积是△ABD的面积的一半，△ABD的面积是△ABC的面积的一半．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△ABC＝12．
∵BE是△ABD的中线，
∴S△ABE＝S△ABD＝6．
故答案为：6
【点评】此题主要是根据三角形的面积公式，得三角形的中线把三角形的面积分成了相等的两部分．
17．（2分）如图，△ABC中，AB+BC＝10，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D和E，则△BCD的周长是　10　．

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到AD＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝DC，
∴△BCD的周长＝BC+BD+DC＝BC+BD+AD＝AB+BC＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
18．（2分）我们把满足下面条件的△ABC称为“黄金三角形”：
①△ABC是等腰三角形；
②在三角形的某条边上存在不与顶点重合的点P，使得P与P所在边的对角顶点连线把△ABC分成两个不全等的等腰三角形．
（1）△ABC中，AB＝AC，∠A：∠C＝1：2，可证△ABC是“黄金三角形”，此时∠A的度数为　36°　．
（2）△ABC中，AB＝AC，∠A为钝角．若△ABC为“黄金三角形”，则∠A的度数为　108°　．
【分析】（1）由AB＝AC得到∠B＝∠C，再根据∠A：∠C＝1：2和三角形内角和得到∠A+2∠A+2∠A＝180°，然后可求出∠A的度数；
（2）如图，利用黄金三角形的定义得到△ABD和△ADC都为等腰三角形，设∠B＝x，则可表示出∠C＝∠B＝∠CAD＝x，∠BDA＝∠BAD＝2x，然后利用三角形内角和得到x+x+2x+x＝180°，解方程得到x＝36°，然后计算2x+x即可．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠A：∠C＝1：2，
而∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+2∠A+2∠A＝180°，
∴∠A＝36°；
（2）如图，∵△ABC为“黄金三角形”，
∴△ABD和△ADC都为等腰三角形，
设∠B＝x，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝x，
∴∠CAD＝x，
∴∠BDA＝∠BAD＝x+x＝2x，
∴x+x+2x+x＝180°，解得x＝36°，
∴∠BAC＝2x+x＝108°．
故答案为36°，108°．

【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．也考查了等腰三角形．
三、解答题（19题和20题，每题8分，21题4分，22题3分，23题和24题4分，25题5分，26题4分，27题和28题7分，共54分）
19．（8分）计算：
（1）a2•a4+（2a3）2．
（2）4a2b•（﹣3a3b2）÷2a4b．
【分析】（1）首先计算乘方和乘法，然后合并同类项，求出算式的值即可．
（2）首先计算乘法，然后计算除法，求出算式的值即可．
【解答】解：（1）a2•a4+（2a3）2
＝a6+4a6
＝5a6．

（2）4a2b•（﹣3a3b2）÷2a4b
＝﹣12a5b3÷2a4b
＝﹣6ab2．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，解答此题的关键是要明确：有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
20．（8分）因式分解：
（1）3x2﹣12．
（2）m3﹣2m2+m．
【分析】（1）先提取公因式，再运用平方差公式分解；
（2）先提取公因式，再运用完全平方公式分解．
【解答】解：（1）3x2﹣12
＝3（x2﹣4）
＝3（x+2）（x﹣2）；
（2）m3﹣2m2+m
＝m（m2﹣2m+1）
＝m（m﹣1）2．
【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法和公式法是解题的关键．
21．（4分）化简求值：（2x﹣1）2﹣（2x+1）（2x﹣1），其中x＝2．
【分析】先根据完全平方公式与平方差公式，合并同类项法则化简代数式，再代值计算便可．
【解答】解：原式＝4x2﹣4x+1﹣（4x2﹣1）
＝4x2﹣4x+1﹣4x2+1
＝﹣4x+2，
当x＝2时，
原式＝﹣4×2+2
＝﹣8+2
＝﹣6．
【点评】本题考查了整式的混合运算，求代数式的值，熟记乘法公式是解题的关键．
22．（3分）如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB．
要求：尺规作图，并保留作图痕迹．（不要求写作法）

【分析】画∠A的平分线AD和AB的中垂线MN，两线的交点P就是所求的答案．
【解答】解：画∠A的平分线AD，画AB的中垂线MN，两线相交于点P，则P为所求．

【点评】本题主要考查对线段的垂直平分线性质，角的平分线性质，作图﹣复杂作图等知识点的理解和掌握，能正确画图是解此题的关键．
23．（4分）如图，点F、C在BE上，BF＝CE，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：∠A＝∠D．

【分析】根据等式的性质可得BC＝EF，然后再判定△ABC≌△DEF，再根据全等三角形的性质可得∠A＝∠D．
【解答】证明：∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠A＝∠D．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
24．（4分）点D为△ABC的边BC的延长线上的一点，DF⊥AB于点F，交AC于点E，∠A＝35°，∠D＝40°，求∠ACD的度数．

【分析】根据三角形外角的性质，得∠ACD＝∠B+∠A．欲求∠ACD，需求∠B．由DF⊥AB，得∠AFD＝90°．由∠AFD＝∠B+∠D，得∠B＝∠AFD﹣∠D＝50°．
【解答】解：∵DF⊥AB，
∴∠AFD＝90°．
∵∠AFD＝∠B+∠D，
∴∠B＝∠AFD﹣∠D＝90°﹣40°＝50°．
∴∠ACD＝∠B+∠A＝50°+35°＝85°．
【点评】本题主要考查三角形外角的性质、垂直，熟练掌握三角形外角的性质、垂直的定义是解决本题的关键．
25．（5分）根据题意，先在图中作出辅助线，再完成下列填空：
如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE所在直线是BC的垂直平分线，点E为垂足，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延长线于N，
求证：BM＝CN．
证明：连接DB，DC，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AN，
∴DM＝DN（①　角平分线的性质　）
∵DE是BC的垂直平分线
∴DB＝②　CD　（ 　线段垂直平分线的性质　）．
在△BDM和△CDN中，
∴△BDM≌OCDN（④　HL　）．
∴BM＝CN（⑤　全等三角形的对应边相等　）．

【分析】因为ED是BC的垂直平分线，那么BD＝CD，而AD是∠BAC的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，根据角平分线的性质可得DM＝DN，再根据HL可判定Rt△BMD≌Rt△CND，从而有BM＝CN．
【解答】证明：连接DB，DC．
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AN，
∴DM＝DN（角平分线的性质）．
∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB＝CD（线段垂直平分线的性质）．
在Rt△BDM和Rt△CDN中，
．
∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL）．
∴BM＝CN（全等三角形的对应边相等）．
故答案为：角平分线的性质，CD，线段垂直平分线的性质，HL，全等三角形的对应边相等．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的定义以及性质，掌握角平分线的性质以及具体的应用．
26．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（1，0），C（1，2）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）如果要使以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等，写出所有符合条件的点D坐标．

【分析】（1）利用轴对称变换，即可作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）依据以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等，可知两个三角形有公共边BC，运用对称性即可得出所有符合条件的点D坐标．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；

（2）当△BCD与△BCA关于BC对称时，点D坐标为（0，3），
当△BCA与△CBD关于BC的中点对称时，点D坐标为（ 0，﹣1），
△BCA与△CBD关于BC的中垂线对称时，点D坐标为当（2，﹣1）．
【点评】本题主要考查了利用轴对称变换作图以及全等三角形的判定的运用，解题时注意，成轴对称的两个三角形或成中心对称的两个三角形全等．
27．（7分）在△ABC中，AB＞BC，直线l垂直平分AC．
（1）如图1，作∠ABC的平分线交直线l于点D，连接AD，CD．
①补全图形；
②判断∠BAD和∠BCD的数量关系，并证明．
（2）如图2，直线l与△ABC的外角∠ABE的平分线交于点D，连接AD，CD．求证：∠BAD＝∠BCD．

【分析】（1）①由题意画出图形；
②过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC交BC的延长线于F，由角平分线的性质可得DE＝DF，由线段垂直平分线的性质可得DA＝DC，由“HL”可证Rt△ADE≌Rt△CDF，可得∠BAD＝∠FCD．可得结论；
（2）过点D作DN⊥AB于N，作DM⊥BE于M，由“HL”可证Rt△ADN≌Rt△CDM，可得∠BAD＝∠BCD．
【解答】解：（1）①补全图形；

②结论：∠BAD+∠BCD＝180°，
理由如下：过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC交BC的延长线于F，

则∠AED＝∠CFD＝90°．
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DF．
∵直线l垂直平分AC，
∴DA＝DC，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，

∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）．
∴∠BAD＝∠FCD．
∵∠FCD+∠BCD＝180°，
∴∠BAD+∠BCD＝180°；
（2）结论：∠BAD＝∠BCD，
理由如下：过点D作DN⊥AB于N，作DM⊥BE于M，
则∠AND＝∠CMD＝90°．

∵BD平分∠ABE，
∴DM＝DN．
∵直线l垂直平分AC，
∴DA＝DC，
在Rt△ADN和Rt△CDM中，

∴Rt△ADN≌Rt△CDM（HL）．
∴∠BAD＝∠BCD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，添加恰当辅助线是本题的关键．
28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形W，给出如下定义：图形W关于经过点（m，0）且垂直于x轴的直线的对称图形为W'，若点P恰好在图形W'上，则称点P是图形W关于点（m，0）的“关联点”．
（1）若点P是点Q（3，2）关于原点的“关联点”，则点P的坐标为　（﹣3，2）　；
（2）如图，在△ABC中，A（1，1），B（6，0），C（4，﹣2）．
①点C关于x轴的对称点为C'，将线段BC'沿x轴向左平移d（d＞0）个单位长度得到线段EF（E，F分别是点B，C'的对应点），若线段EF上存在两个△ABC关于点（1，0）的“关联点”，则d的取值范围是　4＜d≤6．　．
②已知点M（m+1，0）和点N（m+3，0），若线段MN上存在△ABC关于点（m，0）的“关联点”，求m的取值范围．

【分析】（1）根据“关联点”的定义可知P，Q关于原点对称，由此即可解决问题．
（2）①作出△ABC关于直线x＝1对称的△A′B′C′，由题意平移后的线段EF与△A′B′C′的边有两个交点时满足条件，利用图象法解决问题即可．
②作出△ABC关于直线x＝m的对称的△A′B′C′，如果线段MN与△A′B′C′有交点，那么线段MN上存在△ABC关于点（m，0）的“关联点”，由此利用图象法解决问题即可．
【解答】解：（1）∵点P是点Q（3，2）关于原点的关联点，
∴P，Q关于原点对称，
∴P（﹣3，2），
故答案为（﹣3，2）．

（2）①如图1中，

当d＝4时，线段BC′平移到HG位置，此时线段EF上存在1个△ABC关于点（1，0）的“关联点”，
当d＝6时，线段BC′平移到NM位置，此时线段EF上存在2个△ABC关于点（1，0）的“关联点”，
观察图象可知，满足条件的d的范围为：4＜d≤6
故答案为：4＜d≤6．

②如图2中，当m＝3时，线段MN上存在△ABC关于点（m，0）的“关联点”，

如图3中，当m＝5时，线段MN上存在△ABC关于点（m，0）的“关联点”，

如图4中，当m＝7时，线段MN上存在△ABC关于点（m，0）的“关联点”，

如图5中，当m＝9时，线段MN上存在△ABC关于点（m，0）的“关联点”，

观察图象可知满足条件的m的为：3≤m≤5或7≤m≤9．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了轴对称，中心对称，“关联点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会性质特殊点解决问题，属于中考压轴题．