吉林省松原市前郭县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷（含答案）

2022-2023学年吉林省松原市前郭县九年级（上）期中数学试卷

一、选择题(共6小题，每小题2分，共12分)

1.     下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.     抛物线的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

3.     一元二次方程化为一般形式后，常数项为(    )

A. 6 B.  C. 1 D.

4.     如图，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，若点在线段BC的延长线上，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.     如果，那么a的值是(    )

A. 0 B. 7 C. 0或7 D. 0或

6.     如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于点它的对称轴为直线，则下列说法中正确的有(    )
   ①；②；③；④

A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

二、填空题(本大题共8个小题，每小题3分，共24分)

7.     在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是______.
8.     二次函数与y轴交点的坐标为______.
9.     已知是关于x的一元二次方程，则a的值为______.
10. 如图所示的图形绕其中心至少旋转______度就可以与原图形完全重合．

11. 已知关于x的一元二次方程有一个根为5，则c的值为______.
12. 将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移4个单位，可以得到新的抛物线，则原来抛物线是______.
13. 2022年又是大丰收的一年．某村种的水稻2020年平均每公顷的产量是7200千克，2022年平均每公顷的产量是8400千克，若水稻平均每公顷的产量平均每年的增长率为x，则可列出方程为______.
14. 如图，在平面直角坐标系中，以点为旋转中心，将点逆时针旋转到点则点B的坐标为______.

三、解答题（共12题，共84分）

15. 用公式法解方程：
16. 已知抛物线的顶点坐标为，且过点，求抛物线的解析式．
17. 若直角三角形的两边长分别是方程的两根，求该直角三角形的面积．
18. 已知二次函数
    将其化为的形式；
    当x取何值时，y随x的增大而增大？
19. 如图是某建筑物的一处抛物线形拱门，拱门在竖直平面内与水平屋檐相交于A，B两点，A，B在x轴上，，拱门最高点C在y轴上，C到AB的距离为9m，拱门底部有两点D、E，，点E到直线AB的距离为7m，求DE的长．

20. 如图是的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B都在小正方形的顶点上，请按要求画出图形并计算．
    以点B为中心，将线段AB绕点B逆时针旋转得到线段BC，在图中画出线段BC；
    在的条件下，以BC为一边画四边形BCEF，使其是中心对称图形，且点E，F均在小正方形的顶点上；
    直接写出你画的四边形BCEF的周长．

21. 已知关于x的一元二次方程
    求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
    当时，求此时方程的两个根．
22. 如图，点P是正方形ABCD内部的一点，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，QD，BP的延长线相交于点若正方形ABCD的边长为10，
    求证：四边形APEQ是正方形；
    求BE的长．

23. 鲜埠，古乃采珠之地，素有“珍珠城”之美誉，已知一批珍珠每颗的进价为30元，售价定为50元/颗时，每天可销售60颗，为扩大市场占有率，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，售价每降低2元，每天销量可增加20颗销售单价不低于进价
    写出商家每天的利润元与降价元之间的函数关系；
    当降价多少元时，商家每天的利润最大，最大利润是多少？
    若商家每天的利润至少要达到1440元，则定价应在什么范围内？
24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与数轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线是常数经过点A，点P在此抛物线上，其横坐标为
    求此抛物线的解析式；
    当点P在x轴下方时，结合图象，直接写出m的取值范围；
    当时，直接写出的面积．

25. 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们一起探索旋转的奥秘．老师出示了一个问题：如图①所示，在中，，，点D是边BC上一点，连接AD，将绕着点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，得到
    【操作探究】
    试判断的形状，并说明理由；
    【深入探究】
    希望小组受此启发，如图②，在线段CD上取一点F，使得，连接EF，发现EF和DF有一定的关系，猜想两者的数量关系，并说明理由；
    智慧小组在图②的基础上继续探究，发现CF，FD，DB三条线段也有一定的数量关系，请你直接写出它们的数量关系．

26. 如图，对称轴为直线的抛物线与x轴交于点A、点A在点B的左侧，与y轴交于点C，其中点B的坐标为，点C的坐标为
    求该抛物线的解析式；
    如图①，若点P为抛物线上第二象限内的一点，且到y轴的距离是点M为线段CO上的一个动点，求周长的最小值；
    如图②，将原抛物线绕点A旋转，得新抛物线，在新抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
    
    

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】解：既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：

2.【答案】C 

【解析】解：，
顶点坐标为，
故选：

3.【答案】B 

【解析】解：方程整理得：，则常数项为
故选：

4.【答案】C 

【解析】解：将绕点A按逆时针方向旋转，
，，，
，
，
故选：
 

5.【答案】D 

【解析】解：，
，
或，
，，
故选：
 

6.【答案】A 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
，
，②正确．
抛物线与y轴交点在x轴上方，
，
，①错误．
抛物线与x轴有2个交点，
，③错误．
抛物线经过，抛物线对称轴为直线，
抛物线经过，
时，，
④错误．
故选：

7.【答案】 

【解析】解：点关于原点的对称点的坐标为：
故答案为：
 

8.【答案】 

【解析】解：将代入得，
抛物线与y轴交点坐标为，
故答案为：

9.【答案】 

【解析】解：方程是关于x的一元二次方程，
，且
解得
故答案为：
 

10.【答案】45 

【解析】解：，
该图形绕中心至少旋转45度后能和原来的图案互相重合．
故答案为：
 

11.【答案】15 

【解析】解：是关于x的一元二次方程的一个根，
，
；
故答案为：
将代入方程即可求出c的值．
 

12.【答案】 

【解析】解：将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，可以得到原抛物线
故答案为：
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
故答案为：
 

14.【答案】 

【解析】解：过C作轴于F，过B作交FC的延长线于E，
，
以点为旋转中心，将点逆时针旋转到点B，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
点，点，
，，，
，，
，
故答案为：
 

15.【答案】解：这里，，，


，
，
解得：， 

16.【答案】解：由题意设函数的解析式是
把代入函数解析式得，
解得：，
则抛物线的解析式是 
 

17.【答案】解：，
或
①当长是4的边是直角边时，该直角三角形的面积是；
②当长是4的边是斜边时，第三边是，该直角三角形的面积是
综上，该直角三角形的面积为6或 

18.【答案】解：
，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
时，y随x增大而增大． 

19.【答案】解：设抛物线解析式为，
则点，点，
把代入中，得，
，
该抛物线的解析式为，
，点E到直线AB的距离为7m，
设，则，
，
，
，
答：DE的长为 

20.【答案】解：如图所示，线段BC即为所求；

如图所示，四边形BCEF即为所求；

四边形BCEF的周长 

21.【答案】证明：²²²²，
²，
²，
无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
解：当时，，
由求根公式可知，
，
方程的两个根为4和 

22.【答案】证明：，
，
由旋转得，
四边形APEQ是矩形，
，
四边形APEQ是正方形．
解：正方形ABCD的边长为10，，
，
，
，
，
，
解得或不符合题意，舍去，
，，
，
的长是 

23.【答案】解：由题意得：
，
答：工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系为；
由得：，
，
时，W最大为1690，
即当降价7元时，商家每天的利润最大，最大为1690元；
，
解得：，，
，，
定价应为元之间． 

24.【答案】解：直线与数轴交于点A，与y轴交于点B，
当时，，当时，，
，，
将，代入得，
解得，
；
令，
解得，，
抛物线与x轴交点坐标为，，
抛物线开口向上，
时，点P在x轴下方；
当时，，
，
过P作轴于C，
，，，，，
 

25.【答案】解：结论：为等腰直角三角形．
理由：由旋转得，，
，
，
为等腰直角三角形；

结论：
理由：，，

，
又，，
≌，
；

结论：
理由：，，
，
由性质的性质可知，，
，
，
 

26.【答案】解：对称轴为直线，
，
，
将，代入，
，
解得，
；
点到y轴的距离是2，
点横坐标为，
，
令，则，
解得或，
，，
点关于y轴的对称点为，
连接与y轴交于点M，
，
，
，，
周长的最小值为；
存在点Q，使得为等腰三角形，理由如下：
，，
点旋转后的点，，
设旋转后的抛物线解析式为，
，
解得，
，
，
抛物线的对称轴为直线，
设，
，，，
当时，，
解得或，
或；
当时，，
此时不存在；
当时，，
解得，
；
综上所述：Q点坐标为或或