吉林省长春市第一O三中学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷（含答案）

2022-2023学年吉林省长春103中九年级（上）期中数学试卷

一、单选题。（每题3分）

1．要使式子有意义，的取值应满足　　

A． B． C． D．

2．下列计算中，正确的是　　

A． B． C． D．

3．用配方法解方程时，配方结果正确的是　　

A． B． C． D．

4．已知一元二次方程，则下列判断正确的是　　

A．该方程有两个相等的实数根 

B．该方程有两个不相等的实数根 

C．该方程无实数根 

D．该方程根的情况不确定

5．一元二次方程有一根是，则另一根是　　

A． B． C． D．

6．如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为，树的顶端在水中的倒影距自己远，该同学的身高为，则树高为　　．

A．3.4 B．5.1 C．6.8 D．8.5

7．如图，直线，直线分别交，，于点，，，直线分别交，，于点，，．若，，则的长为　　

A．2 B．3 C．4 D．5

8．如图，正方形的边长为6，点，分别在，上，，连接、，与相交于点，连接，取的中点，连接，则的长为　　

A． B． C．5 D．

二、填空题（每题3分）

9．化简的结果为 　　．

10．已知，那么　　．

11．将方程化成一般形式为 　　．

12．2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心3月份的参观人数为100万人，5月份的参观人数增加到144万人．设参观人数的月平均增长率为，则可列方程为 　　．

13．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点为位似中心，画△，使它与的相似比为2，则点的对应点的坐标是　　．

14．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价　　元．

三、解答题。

15．（6分）计算：．

16．（12分）解方程：（1）；

（2）解方程：．

17．（6分）在中，，，，求的三个三角函数值．

18．（7分）图①、图②、图③分别是的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点、、、、、、、、均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹．

（1）在图①中，画线段的中点．

（2）在图②中，画的中位线，点、分别在线段、上，并直接写出与四边形的面积比．

（3）在图③中，画，点在格点上，且被线段分成的两部分图形的面积比为．

19．（7分）如图，利用一面墙，用80米长的篱笆围成一个矩形场地．

（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750平方米？

（2）能否使所围的矩形场地面积为810平方米，为什么？

20．（8分）如图，在四边形中，，，，是对角线的中点，联结并延长交边于点．

（1）求证：；

（2）若，求的值．

21．（8分）【基础巩固】

（1）如图1，在四边形中，对角线平分，，求证：；

【尝试应用】

（2）如图2，四边形为平行四边形，在边上，，点在延长线上，连结，，，若，，，求的长；

【拓展提高】

（3）如图3，在中，是上一点，连结，点，分别在，上，连结，，，若，，，，，求的值．

22．（12分）教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：

先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．

配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．

例如：分解因式．

原式；

例如：求代数式的最小值．

原式．

，

当时，有最小值是2．

根据阅读材料用配方法解决下列问题：

（1）分解因式：；

（2）求代数式的最小值；

（3）若，当　　时，有最 　　值（填“大”或“小” ，这个值是 　　；

（4）当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由．

23．（12分）如图①，在中，，，，为的中点，点从点出发，沿折线向点运动，点在边上以每秒3个单位长度的速度运动，在边上以每秒5个单位长度的速度运动，在点运动过程中，连结，将绕线段的中点旋转得到，设点的运动时间为秒．

（1）的长为 　　；

（2）用含的代数式表示线段的长；

（3）当四边形是轴对称图形时，求出的值；

（4）连结，如图②，当将的面积分成两部分时，直接写出的值．

参考答案与试题解析

1．【解答】解：由题意可知：，

，

故选：．

2．【解答】解：．，故此选项符合题意；

．，故此选项不合题意；

．，故此选项不合题意；，

．，故此选项不合题意；

故选：．

3．【解答】解：，

，

，

，

故选：．

4．【解答】解：在方程中，，，，

△，

该方程有两个不相等的实数根．

故选：．

5．【解答】解：设方程的另一个根为，

根据根与系数的关系得，

解得，

所以方程的另一个根为．

故选：．

6．【解答】解：由相似三角形的性质，设树高米，

则，

．

故选：．

7．【解答】解：，

，

，，

，

解得：，

故选：．

8．【解答】解：四边形为正方形，

，，

，

，

在和中，

，

，

，

，

，

，

点为的中点，

，

，，

，

，

故选：．

9．【解答】解：．

故答案为：．

10．【解答】解：，

．

故答案为：．

11．【解答】解：，

，

故答案为：．

12．【解答】解：依题意得：．

故答案为：．

13．【解答】解：如图所示：△和△与的相似比为2，

点的对应点的坐标是：或．

故答案为：或．

14．【解答】解：设每件衬衫应降价元．

根据题意，得

整理，得

解得，．

“扩大销售量，减少库存”，

应略去，

．

故答案为：20．

15．【解答】解：原式

．

16．【解答】解：（1），

△

，

，

，；

（2），

，

，

，

或，

，．

17．【解答】解：在中，

，，，

．

，

，

．

18．【解答】解：（1）如图①中，点即为所求；

（2）如图②中，线段即为所求；

（3）如图③，画△或即为所求（画出一种即可）．

19．【解答】解：（1）由题意得：，

解得：，

当时，，，

当时，，，

答：当平行于墙面的边长为，斜边长为时，矩形场地面积为；

或当平行于墙面的边长为，邻边长为时矩形场地面积为．

（2）由题意得：，

△，

方程无解，即不能围成面积为的矩形场地．

20．【解答】（1）证明：，

，

，

，

是的中点，，

，

，

，

；

（2）解：，

，

，

，

过点作于点，

设，则，

在中，，，，

．

21．【解答】（1）证明：平分，

，

，

，

，

；

（2）四边形为平行四边形，

，，

，，

，

，

，

，，

，

，

，即，

解得：，

；

（3）过点作交的延长线于点，

，，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

．

22．【解答】解：（1）．

故答案为：．

（2）；

的最小值是3．

（3），

，

，

当的时，有最大值．

故答案为：1，大，．

，

，

，

三个完全平方式子的和为0，所以三个完全平方式子分别等于0．

，，，

得，，，．

是等腰三角形．

23．【解答】解：（1），，，

，

故答案为：10．

（2）点在边、边上的速度分别为每秒3个单位长度、每秒5个单位长度，

点在边上的运动时间为（秒，在边上的运动时间为（秒，

当时，，

当时，．

（3）如图①，取的中点，连结、，

绕线段的中点旋转得到，

、、三点在同一条直线上，且，

四边形是平行四边形，

，为的中点，

，

如图②，点在边上，四边形是轴对称图形，此时四边形是菱形，

由，得，

解得；

如图③，点在边上，四边形是轴对称图形，此时四边形是菱形，

，

设交于点，则，

，

，

，

，

，

解得，

综上所述，的值为或．

（4）设交于点，

将的面积分成两部分，

或，

如图④，点在边上，，则，

，

，

，

，，

△，

，

，

解得；

如图⑤，点在边上，，则，

，

，

，

解得；

如图⑥，点在边上，，

，

，

，

，

解得，

综上所述，的值为或或．