天津市滨海新区第四共同体2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷（含答案）

这是一份天津市滨海新区第四共同体2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷（含答案），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
天津市滨海新区第四共同体2022-2023学年九年级（上）期中数学试卷题号一二三总分得分    一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）   下列图形中，是中心对称图形的是(    )A.  B.  C.  D.    一元二次方程的解为(    )A.  B.
C. ， D. ，   用配方法解方程，变形后的结果正确的是(    )A.  B.  C.  D.    把抛物线向右平移个单位，则平移后所得抛物线的表达式为(    )A.  B.  C.  D.    二次函数的图象的顶点坐标是(    )A.  B.  C.  D.    二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是(    )
 A.  B.  C.  D.    如图，已知是的直径，过点的弦平行于半径，若的度数是，则的度数是(    )A.    B.    C.    D.    如图，是的直径，弦于点，若，，则弦的长是(    )A.     B.
C.     D.    如图所示，四边形为的内接四边形，，则的大小是(    )A.
B.
C.
D. 如图，在中，将绕点顺时针旋转得到，且于点，则的度数为(    )A.
B.
C.
D. 如图，边长为的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，连接，则的长是(    )A.
B.
C.
D. 如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：；；当时，随的增大而增大；一元二次方程的两根分别为，；若，为方程的两个根，则且，其中正确的结论有个．(    )A.
B.
C.
D.  二、填空题（本大题共6小题，共18分）在直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______．若方程是关于的一元二次方程，则满足的条件是______．已知二次函数为常数的图象与轴有两个交点，其中一个交点为，则另一个交点是______．已知点、、在抛物线，则，，的大小关系是______用“”连接．如图，等腰内接于，已知，，是的直径，如果，则______．
 如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转后得，直线、相交于点取的中点，连接，则长的最大值为______ ．
   三、解答题（本大题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
解下列方程：
；
．本小题分
已知二次函数．
该二次函数图象的对称轴为直线______，顶点坐标为______；
请在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象，并根据图象直接写出当时，的取值范围．
本小题分
如图，为的切线，为切点，过点作，垂足为点，交于点，延长与的延长线交于点．
求证：为的切线；
若，，求的长．
本小题分
在中，，将绕点顺时针旋转，得，，分别是点，的对应点．记旋转角为．

Ⅰ如图，连接，若，，，求的长；
Ⅱ如图，连接，若，求证：．本小题分
一种工艺品的进价为元，标价元出售，每天可售出件，根据销售统计，一件工艺品每降价元出售，则每天可多售出件．设该工艺品每件降价元，请回答下列问题：
用含的代数式表示：
降价后每售一件该工艺品获得利润______元；
降价后平均每天售出______件该工艺品
每天获得利润为元，求每天获得的利润与降价元之间的函数关系式？要使每天获得的利润最大，每件需降价多少元？最大利润为多少元？本小题分
如图，将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，使点恰好落到线段上的点处，连接，连接交于点．
求证：平分；
取的中点，连接，求证：；
若，求的长．
本小题分
如图，关于的二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且过点．
求的值及该二次函数图象的对称轴；
连接，，，求的面积；
在上方抛物线上有一动点，请直接写出的面积取到最大值时，点的坐标．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：．
根据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行解答即可．
此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形定义．
 2.【答案】 【解析】解：，
或，
，，
故选：．
直接利用因式分解法得出方程的根．
此题主要考查了一元二次方程的解法，正确理解因式分解法解方程是解题关键．
 3.【答案】 【解析】解：，
，即，
故选：．
两边都加上一次项系数一半的平方，然后写成完全平方式即可．
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：把抛物线向右平移个单位，则平移后所得抛物线的表达式为，
故选：．
根据二次函数图象的平移规律即左加右减，上加下减求解即可．
本题考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：二次函数，
该函数图象的顶点坐标为，
故选：．
根据题目中的函数解析式，可以直接写出该函数图象的顶点坐标．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 6.【答案】 【解析】解：由二次函数图象，得出，，
A、一次函数图象，得，，故A错误；
B、一次函数图象，得，，故B错误；
C、一次函数图象，得，，故C正确；
D、一次函数图象，得，，故D错误；
故选：．
可先根据二次函数的图象判断、的符号，再判断一次函数图象与实际是否相符，判断正误．
本题考查了二次函数图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
 7.【答案】 【解析】解：，，
，
，
故选：．
根据平行线的性质及圆周角定理求解即可．
此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：连接，
是的直径，弦，
，，
，，
，，
在中，，
．
故选：．
连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理计算即可．
本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：四边形为的内接四边形，
，
，
，
，
故选：．
根据圆内接四边形的性质得出，求出，根据圆周角定理得出，再求出答案即可．
本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，能熟记圆内接四边形的对角互补是解此题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：由旋转的性质可知：，，
，
，
．
，
故选：．
根据三角形内角和定理求出即可解决问题．
本题考查旋转变换，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 11.【答案】 【解析】解：连接、，

由旋转性质得，，，
为等边三角形，
，
，
，
故选：．
连接、，证明为等边三角形，求得便可得出结果．
本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质与判定，关键是证明为等边三角形．
 12.【答案】 【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线与轴交点在轴上方，
，
，正确，符合题意．
抛物线经过点，
，
，
，
，
，正确，符合题意．
由图象可得时，随增大而增大，
错误，不符合题意．
由可得方程的解为和，
抛物线经过，对称轴为直线，
抛物线与轴另一个交点为，
和是方程的根，
，，
，
，
，，正确，符合题意．
抛物线经过，，
，
将化为，
由图象得抛物线与直线交点在轴下方，
且，正确，符合题意．
故选：．
根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置判断由对称轴为直线可得，根据抛物线经过点可得，再由可判断由图象对称轴及开口方向由抛物线经过可得抛物线经过，进而可得，，因为的根为和，将与的关系代入求解可判断将转化为抛物线与直线的交点可判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 13.【答案】 【解析】解：在直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是．
故答案为：．
直接利用关于原点对称点的性质得出答案．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
 14.【答案】 【解析】解：关于的方程是一元二次方程，
，
解得．
故答案是：．
根据一元二次方程的定义得到，据此求得的取值范围．
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是，特别要注意的条件．
 15.【答案】 【解析】解：设另一个交点坐标为，
，
，
二次函数图象的对称轴为，
，
，
另一个交点是，
故答案为：．
首先求出二次函数为常数的图象的对称轴，然后根据图象与轴的两个交点关于对称轴对称即可得到答案．
本题主要考查了抛物线与轴交点的知识，解答本题的关键是求出抛物线图象的对称轴，利用对称知识进行解答，此题难度不大．
 16.【答案】 【解析】解：当时，；
当时，；
当时，，
所以．
故答案为：．
先分别计算出自变量为、和所对应的函数值，然后比较函数值的大小即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
 17.【答案】 【解析】解：，，
，
四边形内接于，
，
是的直径，
，
，
由圆周角定理得，，
．
故答案为：．
根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，根据圆内接四边形的性质得到，根据圆周角定理、勾股定理计算即可．
本题考查的是三角形外接圆与外心、直角三角形的性质，掌握圆周角定理、勾股定理是解题的关键
 18.【答案】 【解析】解：取的中点，连接、，如图：

是由绕点旋转得到，
，，，
设，则，
在四边形中，，
在中，，，，
，
中，，
是中位线，
，
而，
当、、在一条直线上时，最大，最大值为，
故答案为：．
设，可得，根据四边形内角和可得，取的中点，连接、，则，，继而可得，即可得到答案．
本题主要考查旋转的性质、直角三角形的性质及勾股定理、中位线定理，构建以为边的三角形，根据三角形三边关系得出的长度范围是解题的关键．
 19.【答案】解：，
，，，
，
，
，；
，
，
，
，
，
或，
，． 【解析】利用解一元二次方程公式法，进行计算即可解答；
利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程配方法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
 20.【答案】   【解析】解：，
二次函数图象的对称轴为直，顶点坐标为，
故答案为：；；
列表： 描点、连线，画出函数图象如图：
如图，当时，的取值范围是．
把二次函数化为顶点式即可得到答案；
用描点法画出二次函数的图象，根据图象即可得到答案．
本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象，根据点的坐标画出函数图象利用数形结合解决问题是解题的关键．
 21.【答案】证明：连接，

，，
，
是的切线，
，
在与中，
，
≌，
，
，
是的切线；
解：，，
在中，，
、为的切线，
，
在中，，即，
，
在中，． 【解析】连接，根据切线的性质得到，证明≌，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理证明结论；
根据勾股定理得出，根据切线的性质得到，再根据勾股定理得出，最后根据勾股定理即可得解．
此题考查了切线的判定与性质、勾股定理，熟记切线的判定与性质是解题的关键．
 22.【答案】Ⅰ解：，，
，
是旋转得到的，
≌．
，
在中，根据勾股定理，
得 ；
Ⅱ证明：由Ⅰ知，，
又，
是等边三角形．
，
又，
，
． 【解析】由旋转知，再利用勾股定理即可；
若，则是等边三角形．从而，即可解决问题．
本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，平行线的判定等知识，熟练掌握旋转前后图形是全等的是解题的关键．
 23.【答案】   【解析】解：该工艺品每件降价元，
降价后每售一件该工艺品获得利润为元；
降价后平均每天售出件工艺品，
故答案为：；；
由题意得：


，
，
当时，每天获得的利润最大，最大利润为元．
每天获得的利润与降价元之间的函数关系式为：，要使每天获得的利润最大，每件需降价元，最大利润为元．
根据实际售价进价利润得出结论；
根据一件工艺品每降价元出售，则每天可多售出件得出销售量；
根据利润单价利润销售量列出函数解析式，在根据函数的性质求最值．
本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 24.【答案】证明：将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，使点恰好落到线段上的点处，
，
，
，
，
，
平分；
证明：过点作于，如图：

平分，，，
，
，
，，，
≌，
，即点是中点，
点是中点，
是的中位线，
；
解：过点作于，过作于，如图：

，
，
，
，
，
，
，，
在中，
，
的长为． 【解析】根据旋转的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，可证得结论；
过点作的垂线，根据角平分线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的中位线定理即可得到结论；
过点作的垂线，由含角的直角三角形和勾股定理即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
 25.【答案】解：把点代入二次函数中得：，
，
，
对称轴是：直线；
如图，连接，

当时，，
，，
，
，，
的面积；
如图，过点作轴，交于点，

，，
设直线的解析式为，
则，解得：，
直线的解析式为：，
设点的坐标为，则，
点是在上方抛物线上有一动点，
，，
，
，
当时，的面积有最大值，此时点的坐标为 【解析】直接把点代入二次函数中得的值，从而可得结论；
根据三角形的面积差可得结论；
如图，过点作轴，交于点，利用待定系数法可得直线的解析式，设点的坐标为，则，表示的长，根据三角形的面积公式并配方成顶点式可得结论．
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，轴对称，三角形的面积，二次函数的性质，方程思想等知识．在中求得抛物线的对称轴是解题的关键，在中连接利用面积和与差是解题的关键，在中求得的长，用配方法配方成顶点式是解题的关键．