青海省西宁市湟中区2022-2023学年高三上学期期中考试数学（理）试题（含答案）

湟中区高三数学试卷（理科）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．（    ）

A． B． C． D．

3．若点在双曲线的一条渐近线上，则（    ）

A．2 B． C． D．

4．已知向量，满足，，且，的夹角为30°，则（    ）

A． B．7 C． D．3

5．青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一．如图，这是景德镇青花瓷，现往该青花瓷中匀速注水，则水的高度y与时间x的函数图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

6．已知函数，则（    ）

A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称

C．的最大值为  D．的图象关于直线对称

7．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在C上，AB⊥l于B，若，则（    ）

A． B． C． D．

8．某校高三（1）班有56名学生，学号为01到56，现采用随机数表法从该班抽取8名学生参与问卷调查．已知随机数表中第2行和第3行的各数如下：

95  29  32  60  57  34  81  32  08  92  15  64  59  72  08  26

75  90  86  73  51  98  75  81  70  09  16  21  80  89  79  30

若从随机数表的第2行第5列的数开始向右读，则抽取的第6名学生的学号是（    ）

A．08 B．26 C．51 D．09

9．我国历史文化悠久，“爱”铜方彝是商代后期的一件文物，其盖似四阿式屋顶，盖为子口，器为母口，器口成长方形，平沿，器身自口部向下略内收，平底、长方形足、器内底中部及盖内均铸一“爱”字．通高24cm，口长13.5cm，口宽12cm，底长12.5cm，底宽10.5cm．现估算其体积，上部分可以看作四棱锥，高约8cm，下部分看作台体，则其体积约为（参考数据：，）（    ）

A． B． C． D．

10．在等比数列中，，，则（    ）

A．2 B． C．2或 D．

11．已知函数满足，函数与图象的交点分别为，，，，，则（    ）

A．－10 B．－5 C．5 D．10

12．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13．已知等差数列的前n项和为，，则______．

14．设x，y满足约束条件则的最大值为______．

15．已知球O的体积为，正四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，底面边长为4，则其高为______．

16．若，则______；______．（本题第一空2分，第二空3分）

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．

（1）求B；

（2）若，且△ABC的面积为12，求b．

18．（12分）

某地教体局为了解该地中学生暑假期间阅读课外读物的情况，从该地中学生中随机抽取100人进行调查，根据调查所得数据，按，，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求频率分布直方图中m的值，并估计该地中学生暑假期间阅读课外读物数量的平均值；（各组数据用该组中间值作代表）

（2）若某中学生在暑假期间阅读课外读物不低于6本，则称该中学生为阅读达人，以样本各组的频率代替该组的概率，从该地中学生中随机抽取4人，记抽取到的中学生为阅读达人的人数为X，求X的分布列与数学期望．

19．（12分）

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，，，DE⊥AD，AC⊥BE．

（1）证明：平面ADEF⊥平面ABCD．

（2）求平面ACE与平面ABF所成锐二面角的余弦值．

20．（12分）

已知椭圆过点，，分别为左、右焦点，P为第一象限内椭圆C上的动点，直线，与直线分别交于A，B两点，记△PAB和的面积分别为，．

（1）试确定实数t的值，使得点P到的距离与到直线的距离之比为定值k，并求出k的值；

（2）在（1）的条件下，若，求的值．

21．（12分）

已知函数．

（1）若是的极值点，求的单调区间；

（2）若关于x的方程恰有一个解，求a的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是．

（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（2）设点，直线l与曲线C交于A，B（均异于点P）两点，若，求m的值．

23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）

已知函数的最小值为m．

（1）求m的值；

（2）若，，且，求的最小值．

湟中区高三数学试卷参考答案（理科）

1．B  因为，，

所以．

2．C  ．

3．C  依题意得点在直线上，则．

4．A  ．

5．C  由图可知该青花瓷上、下细，中间粗，则在匀速注水的过程中，水的高度先一直增高，且开始时水的高度增高的速度越来越慢，到达瓷瓶最粗处之后，水的高度增高的速度越来越快，直到注满水，结合选项所给图象，C选项符合．

6．B  由题可得．

对于A选项，因为，所以A不正确；

对于B选项，，故B正确；

对于C选项，的最大值为1，故C不正确；

对于D选项，，故D不正确．

7．D  因为AB⊥l，所以．设l与x轴的交点为D，因为，所以．因为，所以．

8．C  由题意可知抽取的学生的学号依次为32，34，08，15，26，51，09，16，则抽取的第6名学生的学号是51．

9．D  因为，

，所以．

10．A  设的公比为q，因为所以（舍去）或所以，．

11．B  因为，所以的图象关于点对称，又的图象关于点对称，所以．

12．A  令，，∴为递增函数，当时，，即当时，，∴，即．

∴，即．综上，．

13．168  因为，所以．

14．4  作出可行域（图略），当直线经过点时，z有最大值，最大值为4．

15．1  设球O的半径为R，则，所以，则该正四棱锥的侧棱长为3．因为该正四棱锥的底面边长为4，所以底面对角线长为，故该正四棱锥的高为．

16．1；0  令，得；令，得，

所以．

17．解：（1）因为，所以．

因为，所以，故．

（2）因为，解得．

由余弦定理可得，

所以．

18．解：（1）由图可知，解得．

则该地中学生暑假期间阅读课外读物数量的平均值．

（2）由频率分布直方图可知从该地中学生中随机抽取1人，此人是阅读达人的频率为，则从该地中学生中随机抽取1人，抽到阅读达人的概率为，

从而，故．

X的分布列为

X的数学期望．

19．（1）证明：如图，连接BD．

因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD．

因为AC⊥BE，BE，平面BDE，且，所以AC⊥平面BDE．

因为平面BDE，所以AC⊥DE．

因为DE⊥AD，AD，平面ABCD，且，所以DE⊥平面ABCD．

因为平面ADEF，所以平面ADEF⊥平面ABCD．

（2）解：由题意可得DA，DC，DE两两垂直，故以D为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz．

设，则，，，，故，，．

设平面ACE的法向量为，

则令，得

由题意易证AD⊥平面ABF，则平面ABF的一个法向量为．

设平面ACE与平面ABF所成的锐二面角为，则．

20．解：（1）设椭圆的焦距为，，，

则，，，，

所以椭圆C的方程为．

设，则，

因为，所以，

因为k为定值，所以，解得，．

（2）由，，得直线，所以，

同理得，，

所以，

化简得或，

解第一个方程，得，第二个方程无实根．

【方法一】（距离公式）因为，，，，，，，所以．

【方法二】（相似三角形）因为，所以，

所以，所以．

21．解：（1），

因为是的极值点，所以，即，

易知在上单调递增，且．

所以当时，，此时单调递减；

当时，，此时单调递增．

所以的单调递增区间是，单调递减区间是．

（2）易知，，．

令，则恒成立，所以在上单调递增，

且，，

故存在，使得，当时，，当时，，

所以当时，，单调递减，

当时，，单调递增，所以当时，取得极小值．

由，得，则，

因为关于x的方程恰有一个解，所以，

则，当时，等号成立，

由，可得．

故a的取值范围是．

22．解：（1）由（为参数），得，

故曲线C的普通方程为．

由，得，

故直线l的直角坐标方程为．

（2）由题意可知直线l的参数方程为（t为参数）．

将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程并整理得，

设A，B对应的参数分别是，，

则，，

因为，所以，解得或．

23．解：（1）由题意可得

则在上单调递减，在上单调递增，

故，即．

（2）由（1）可知，则．

因为，所以．

因为，所以，当且仅当时，等号成立，

即的最小值为．