山东省济宁市微山县第二中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题

2022—2023学年第一学期期中质量检测

高三数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，集合，则（    ）

A．          B．         C．        D．

2．给出的下列条件中能成为的充要条件的是（    ）

A．       B．      C．      D．

3．已知数列成等差数列，其前n项和为，若，则（    ）

A．7          B．6           C．5          D．4

4．函数是偶函数，则a，b的值可能是（    ）

A．       B．      C．      D．

5．已知向量，若，且，则的最小值为（    ）

A．         B．         C．         D．

6．已知函数，函数的图象可以由函数的图象先向左平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的得到，若是函数的一个极大值点，是与其相邻的一个零点，则的值为（    ）

A．           B．0         C．1          D．

7．已知函数，且，则实数a的取值范围是（    ）

A．         B．     C．       D．

8．设，则（    ）

A．        B．       C．       D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（    ）

A．为递减数列                B．

C．是数列中的最大项      D．

10．数学家们在探寻自然对数底与圆周率之间的联系时，发现了如下的公式：

（1）

（2）

（3）

据此判断以下命题正确的是（    ）（已知i为虚数单位）

A．      B．    C．    D．

11．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为1，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则（    ）

A．与能构成一组基底                 B．

C．在向量上的投影向量的模为      D．的最大值为

12．设定义在R上的函数与的导函数分别为和，若， ，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（    ）

A．              B．函数的图象关于对称

C．      D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．设，则使得命题“若，则”为假命题的一组a，b的值是________．

14．设函数，若存在最小值，则a的取值范围为________．

15．若的边长成等差数列，且边a，c的等差中项为1，则的取值范围是________．

16．定义：设函数在上的导函数为，若在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为．若在区间上，则称函数在区间上为“凹函数”．

已知在区间上为“凹函数”，则实数a的取值范围为___________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（10分）

命题已知幂函数在上单调递增，且函数在上单调递增时，实数a的范围为集合A﹔命题关于x的不等式的解集为B．

（1）若命题P为真命题，求集合A；

（2）在（1）的条件下，若是的充分不必要条件．求实数t的取值范围．

18．（12分）

在①，②，③这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并解答．

已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且__________．

（1）求角B；

（2）若，点D是AC的中点，求线段BD的取值范围．

19．（12分）

已知，抛物线与x轴正半轴相交于点A，在点A处的切线在y轴上的截距为

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

20．（12分）

2022年夏季各地均出现了极端高温天气，空调便成了很好的降温工具，而物体的降温遵循牛顿冷却定律．如果物体的初始温度为，则经过一定时间t后的温度T满足，其中是环境温度，h称为半衰期，现将一杯80℃的茶水放在25℃的空调房间，1分钟后茶水降至75℃．（参考数据：，）

（1）经研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃，为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待多少分钟?（保留整数）

（2）为适应市场需求，2022年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产x千台空调，需另投入成本万元，且已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完．问2022年该企业该型号的变频空调的总产量为多少千台时，获利最大?并求出最大利润．

21．（12分）

已知函数．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若函数在区间上恰有3个零点，

（i）求实数a的取值范围；（ii）求的值．

22．（12分）

已知函数．

（1）讨论函数极值点的个数；

（2）若，求证：．

2022-2023学年第一学期期中质量检测

高三数学试卷答案

一、选择题

8：提示：同时取对数，然后构造函数，利用单调性解决问题

二、选择题

12.【答案】AC

【详解】因为为奇函数，所以，取可得，A对，

因为，所以；所以，又，，故，所以函数的图象关于点对称，B错，

因为，所以，所以，为常数，

因为，所以，所以，取可得，所以，又，所以，所以，所以，故函数为周期为4的函数，

因为，所以，，所以，所以

，

所以，

由已知无法确定的值，故的值不一定为0，D错；

因为，所以，，

所以，故函数为周期为4的函数，

所以函数为周期为4的函数，

又，，，，

所以，所以，C对，故选：AC.

三、填空题

13.（答案不唯一，只要满足即可 ）

 14.       15.

16.答案：

.解析：上恒成立；所以

则所以，令，在上为增函数，

所以，则即：

四、解答题

17.解：（1）由幂函数的定义得：，解得或，

当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去；

当时，在上单调递增，符合题意；

综上可知：.所以，由在上单调递增，

得，解得，则，

解得……………………………………………………………………………..5分

（2）由得： x＝或x＝，

综上，的解集为B＝，

若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则AB，即（等号不同时成立就可以），

得：，所以实数m的取值范围是．………………………………….10分

18.（1）解：选择条件①：

根据正弦定理，可得：

可得：

根据余弦定理，可得：

………………………………….6分

选择条件②：由及正弦定理可得，

所以，，

、，，所以，，则.………………………….6分

选择条件③：

易知：，可得：

根据正弦定理，可得：        

可得：；整理可得：

………………………………….6分

（2）解：因为，所以，，

由已知，即，所以，，

所以，，

即

，所以，.…………………………….12分

19.解：（1）因为,所以抛物线与轴正半轴的交点坐标为，

，

所以切线方程，则                        5分

（2）解：

当n为奇数时

当n为偶数时

            11分

所以 …………………………….12分

20.（1）根据题意，，即，

设茶水从降至大约用时t分钟，则，

即，即……………2分

两边同时取对数：…………….3分

解得，所以从泡茶开始大约需要等待分钟…………….5分

（2）设2022年该企业该型号的变频空调的利润为，

当时，，，所以递增，递减，则…………………………….8分

当时，，

因为，当且仅当时，等号成立，

则当时，取得最大值3380万元. …………………………….11分

因为，所以当该企业该型号的变频空调总产量为60千台时，获利最大，最大利润为3380万元. …………………………….12分

21解：（1）

；…………………………….3分

令，解得：，

的单调递增区间为.……………………………4分

（2）

（i）由（1）得：，

当时，，

设，则在区间上恰有个零点等价于与在上恰有个不同的交点；…………………………….6分

作出在上的图像如下图所示，

由图像可知：当时，与恰有个不同的交点，

实数的取值范围为；…………………………….8分

（ii）设与的个不同的交点分别为，

则，，，

即，

整理可得：，，…………………………….10分

.…………………………….12分

22.解：（1）由题意，设，

只需考虑函数在的零点个数，

①当时，函数在内没有零点. …………………………….2分

②当时，函数在单调递增，且时，；时，.

函数在内有唯一一个零点. …………………………….3分

③当时，，则时，；时，.

则是函数在上唯一的极小值点，且.

且或时，均有.

若，即时，没有零点；

若，即时，有唯一一个零点；

若，即时，有且仅有两个零点. …………………………….5分

综上所述，时，有且仅有两个零点；或时，有唯一一个零点；时，没有零点. …………………………….6分

（2）证明：不等式即为，

即证明，

令，只需证明即可. ……………….7分

又，则时，；时，.

则时，取得极大值，且，也即为最大值.

由得，

则时，；时，.

则时，取得极小值，且，也即为最小值. ………….10分

因为

所以，则

所以时，.…………………………….12分