数学2.4 圆的方程教案及反思

2.4.2　圆的一般方程

课后篇巩固提升

基础达标练

1.已知圆的圆心为(-2,1),其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上,则这个圆的方程是(　　)

A.x2+y2+4x-2y-5=0 B.x2+y2-4x+2y-5=0

C.x2+y2+4x-2y=0 D.x2+y2-4x+2y=0

解析设直径的两个端点分别为A(a,0),B(0,b),圆心为点(-2,1),由线段中点坐标公式得=-2,=1,解得a=-4,b=2.∴半径r=,∴圆的方程是(x+2)2+(y-1)2=5,即x2+y2+4x-2y=0.

答案C

2.若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心,则a的值为(　　)

A.-1 B.1 C.3 D.-3

解析将圆x2+y2+2x-4y=0化为标准方程(x+1)2+(y-2)2=5,可得圆心(-1,2).

∵直线3x+y+a=0过圆心,

∴将(-1,2)代入直线3x+y+a=0,可得a=1.

答案B

3.已知圆C的圆心坐标为(2,-3),且点(-1,-1)在圆上,则圆C的方程为(　　)

A.x2+y2-4x+6y+8=0 B.x2+y2-4x+6y-8=0

C.x2+y2-4x-6y=0 D.x2+y2-4x+6y=0

解析易知圆C的半径为,所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13,展开得一般方程为x2+y2-4x+6y=0.

答案D

4.已知三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　)

A.10 B.4 C.5 D.

解析设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圆M过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7),可得解得即圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0,即为(x-1)2+(y+2)2=25,圆心(1,-2)到原点的距离为.故选D.

答案D

5.圆C:x2+y2+4x-2y+3=0的圆心是　　　　　.半径是　　　　　. 

解析由圆C:x2+y2+4x-2y+3=0,得(x+2)2+(y-1)2=2,∴圆C的圆心坐标为(-2,1),半径为.

答案(-2,1)　

6.过圆x2+y2=4上一点P作x轴的垂线,垂足为H,则线段PH的中点M的轨迹方程为　. 

解析设M(x,y),则P(x,2y).

∵点P(x,2y)在圆x2+y2=4上,∴x2+4y2=4.

答案x2+4y2=4

7.若圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,则当圆面积最大时,圆心坐标为　　　　. 

解析将圆的方程配方得x+2+(y+1)2=-k2+1,即r2=1-k2>0,∴rmax=1,此时k=0.

∴圆心为(0,-1).

答案(0,-1)

8.求经过A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程.

解设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,令y=0,得x2+Dx+F=0.

∴圆在x轴上的截距之和为x1+x2=-D.令x=0,得y2+Ey+F=0,

∴圆在y轴上的截距之和为y1+y2=-E.

由题知x1+x2+y1+y2=-(D+E)=2,

∴D+E=-2. ①

又A(4,2),B(-1,3)在圆上,

∴16+4+4D+2E+F=0, ②

1+9-D+3E+F=0. ③

由①②③解得D=-2,E=0,F=-12.

故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0.

能力提升练

1.曲线x2+y2+2x-2y=0关于(　　)

A.直线x=轴对称 B.直线y=-x轴对称

C.点(-2,)中心对称 D.点(-,0)中心对称

解析原方程化为(x+)2+(y-)2=4,表示以(-)为圆心,半径长为2的圆.又圆过原点,故原点与圆心的连线方程为y=-x,圆关于此直线轴对称,故应选B.

答案B

2.(多选题)若点(1,-1)在圆x2+y2-x+y+m=0外,则下列可能为m值的有(　　)

A. B. C. D.1

解析x2+y2-x+y+m=0可化为x-2+y+2=-m,

则-m>0,解得m<.

因为点(1,-1)在圆外,所以1+1-1-1+m>0,

即m>0,所以0<m<.对照选择项,知AB可能.

答案AB

3.已知点P(5,3),点M在圆x2+y2-4x+2y+4=0上运动,则|PM|的最大值为　　　　　. 

解析圆x2+y2-4x+2y+4=0可化为(x-2)2+(y+1)2=1,圆心为C(2,-1),半径为1,

∴|PC|==5,

∴|PM|的最大值为5+1=6.

答案6

4.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0的圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径为,则圆C的一般方程为　　　　　　　. 

解析因为圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0的圆心C-,-在直线x+y-1=0上,

所以--1=0,即D+E=-2, ①

又r=,所以D2+E2=20, ②

联立①②可得,

又圆心在第二象限,所以-<0,D>0,

所以

所以所求的圆的方程为x2+y2+2x-4y+3=0.

答案x2+y2+2x-4y+3=0

5.圆C过点A(6,0),B(1,5),且圆心在直线l:2x-7y+8=0上.

(1)求圆C的方程;

(2)P为圆C上的任意一点,定点Q(8,0),求线段PQ中点M的轨迹方程.

解(1)(方法1)直线AB的斜率k==-1,

所以线段AB的垂直平分线m的斜率为1.

线段AB的中点的横坐标和纵坐标分别为x=,y=.因此,直线m的方程为y-=x-,即x-y-1=0.

又圆心在直线l上,所以圆心是直线m与直线l的交点.联立方程组解得

所以圆心坐标为C(3,2).

又半径r=|CA|=,

则所求圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=13.

(方法2)设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.

由题意得解得

所以所求圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=13.

(2)设线段PQ的中点M(x,y),P(x0,y0),

则解得

将P(2x-8,2y)代入圆C的方程中,得(2x-8-3)2+(2y-2)2=13,即线段PQ中点M的轨迹方程为x-2+(y-1)2=.

素养培优练

　设△ABC的顶点坐标A(0,a),B(-,0),C(,0),其中a>0,圆M为△ABC的外接圆.

(1)求圆M的方程.

(2)当a变化时,圆M是否过某一定点?请说明理由.

解(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.

∵圆M过点A(0,a),B(-,0),C(,0),

∴

解得D=0,E=3-a,F=-3a.

∴圆M的方程为x2+y2+(3-a)y-3a=0.

(2)圆M的方程可化为(3+y)a-(x2+y2+3y)=0.由

解得x=0,y=-3.

∴圆M过定点(0,-3).