高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换第3课时教学设计

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第3课时　两角和与差的正切公式 学 习 目 标核 心 素 养1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．(重点)3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(难点)1.通过利用公式进行化简、证明等问题，培养逻辑推理素养.2.借助公式进行求值，提升数学运算素养. 两角和与差的正切公式名称简记符号公式使用条件两角和的正切T(α＋β)tan(α＋β)＝α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 且tan α·tan β≠1两角差的正切T(α－β)tan(α－β)＝α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan β≠－11．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β等于(　　)A．2　　　　B．1　　　　C.　　　　D．4C　[∵tan(α＋β)＝＝4，且tan α＋tan β＝2，∴＝4，解得tan αtan β＝.]2．求值：tan＝________.－2＋　[tan＝－tan＝－tan＝－＝－＝－2＋.]3．已知tan α＝2，则tan＝________.－3　[tan＝＝＝－3.]4.＝________.　[原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝.]两角和与差的正切公式的正用【例1】　(1)已知α，β均为锐角，tan α＝，tan β＝，则α＋β＝________.(2)如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠BAC＝________.[思路点拨]　(1)先用公式T(α＋β)求tan(α＋β)，再求α＋β.(2)先求∠CAD，∠BAD的正切值，再依据tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)求值．(1)　(2)　[(1)∵tan α＝，tan β＝，∴tan(α＋β)＝＝＝1.∵α，β均为锐角，∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.(2)∵AD⊥BC且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，∴tan∠BAD＝＝，tan∠CAD＝＝，tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)＝＝＝.]1．公式T(α±β)的结构特征和符号规律：(1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．(2)符号规律：分子同，分母反．2．利用公式T(α＋β)求角的步骤：(1)计算待求角的正切值．(2)缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息．(3)根据角的范围及三角函数值确定角．1．(1)已知tanα－＝，则tan α＝________.(2)已知角α，β均为锐角，且cos α＝，tan(α－β)＝－，则tan β＝________.(1)　(2)3　[(1)因为tanα－＝，所以tan α＝tan＝＝＝.(2)因为cos α＝，α为锐角，所以sin α＝，tan α＝，所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝＝＝3.]两角和与差的正切公式的逆用【例2】　(1)＝________.(2)＝________.[思路点拨]　注意特殊角的正切值和公式T(α±β)的结构，适当变形后逆用公式求值．(1)　(2)－1　[(1)原式＝＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝.(2)原式＝＝＝tan(30°－75°)＝－tan 45°＝－1.]公式Tα±β的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.如要特别注意2．已知α、β均为锐角，且sin 2α＝2sin 2β，则(　　)A．tan(α＋β)＝3tan(α－β)B．tan(α＋β)＝2tan(α－β)C．3tan(α＋β)＝tan(α－β)D．3tan(α＋β)＝2tan(α－β)A　[∵sin 2α＝2sin 2β，∴sin[(α＋β)＋(α－β)]＝2sin[(α＋β)－(α－β)]，∴sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝2sin(α＋β)cos(α－β)－2cos(α＋β)sin(α－β)，∴sin(α＋β)cos(α－β)＝3cos(α＋β)sin(α－β)，两边同除以cos(α－β)cos(α＋β)得tan(α＋β)＝3tan(α－β)．]两角和与差的正切公式的变形运用[探究问题]1．两角和与差的正切公式揭示了tan αtan β与哪些式子的关系？提示：揭示了tan αtan β与tan α＋tan β，tan αtan β与tan α－tan β之间的关系．2．若tan α、tan β是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两个根，则如何用a、b、c表示tan(α＋β)?提示：tan(α＋β)＝＝＝－.【例3】　(1)tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°＝________.(2)已知△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＝tan Atan B－1，试判断△ABC的形状．[思路点拨]　(1)看到tan 67°－tan 22°与tan 67°tan 22°想到将tan(67°－22°)展开变形，寻找解题思路．(2)先由关于角A，B的等式求出tan(A＋B)得角A＋B，然后求角C并代入关于角B，C的等式求角B，最后求角A，判断△ABC的形状．(1)1　[∵tan 67°－tan 22°＝tan(67°－22°)(1＋tan 67°tan 22°)＝tan 45°(1＋tan 67°tan 22°)＝1＋tan 67°tan 22°，∴tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°＝1＋tan 67°tan 22°－tan 67°tan 22°＝1.](2)[解]　∵tan A＋tan B＝tan Atan B－1，∴(tan A＋tan B)＝tan Atan B－1，∴＝－，∴tan(A＋B)＝－.又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝，∴C＝.∵tan B＋tan C＋tan Btan C＝，tan C＝，∴tan B＋＋tan B＝，tan B＝，∴B＝，∴A＝，∴△ABC为等腰钝角三角形．1．将例3(1)中的角同时增加1°结果又如何？[解]　∵tan 45°＝tan(68°－23°)＝，∴1＋tan 68°tan 23°＝tan 68°－tan 23°，即tan 68°－tan 23°－tan 68°tan 23°＝1.2．能否为例3(1)和探究1归纳出一个一般结论？若能，试证明．[解]　一般结论：若α－β＝45°(α，β≠k×180°＋90°，k∈Z)，则tan α－tan β－tan αtan β＝1.证明：∵tan 45°＝tan(α－β)＝，∴1＋tan αtan β＝tan α－tan β，即tan α－tan β－tan αtan β＝1.1．整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．2．熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形：(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；(2)1－tan αtan β＝；(3)tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)；(4)tan α·tan β＝1－.提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式．1．公式T(α±β)与S(α±β)、C(α±β)的一个重要区别，就是前者角α、β、α±β都不能取kπ＋ (k∈Z)，而后两者α、β∈R，应用时要特别注意这一点．2．注意公式的变形应用．如：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，1－tan αtan β＝，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)，1＋tan αtan β＝等.1．思考辨析(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．(　　)(2)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立．(　　)(3)tan(α＋β)＝等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)．(　　)[提示]　(1)√.当α＝0，β＝时，tan(α＋β)＝tan＝tan 0＋tan ，但一般情况下不成立．(2)×.两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)．(3)√.当α≠kπ＋(k∈Z)，β≠kπ＋(k∈Z)，α＋β≠kπ＋(k∈Z)时，由前一个式子两边同乘以1－tan αtan β可得后一个式子．[答案]　(1)√　(2)×　(3)√2．若tan β＝3，tan(α－β)＝－2，则tan α＝(　　)A.　　　　B．－　　　　C．1　　　　D．－1A　[tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝.]3．若tan＝3，则tan α的值为________．　[tan α＝tan＝＝＝＝＝.]4．已知cos α＝，cos β＝，其中α，β都是锐角，求tan(α＋β)的值．[解]　因为α，β都是锐角，所以sin α＝＝，sin β＝＝，tan α＝＝2，tan β＝＝，所以tan(α＋β)＝＝－2.