数学必修 第二册6.2 平面向量的运算教学设计

6.2.2　向量的减法运算

1．相反向量

(1)定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量．

(2)性质：①－(－a)＝a.②对于相反向量有：a＋(－a)＝0.

③若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0.

2．向量的减法

(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．

(2)作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量＝a－b，如图所示．

思考：在什么条件下，|a－b|＝|a|＋|b|?

[提示]　当a，b至少有一者为0或a，b非零且反向时成立．

1．非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是(　　)

A．m＝n　　　　　　 B．m＝－n

C．|m|＝|n|   D．方向相反

A　[由条件可知，当m≠0且n≠0时B，C，D项都成立，故选A.]

2．在菱形ABCD中，下列等式中不成立的是(　　)

A.－＝

B.－＝

C.－＝

D.－＝

C　[如图，根据向量减法的三角形法则知A、B、D均正确，C中，－＝－－(＋)＝－2≠，故选C.]

3．化简－＋＋的结果等于(　　)

A.　　　　　　　 B.

C.   D.

B　[原式＝(＋)＋(＋)＝＋0=.]

4．如图，在▱ABCD中，＝a，＝b，用a，b表示向量，，则＝________，＝________.

a＋b　b－a　[由向量加法的平行四边形法则，及向量减法的运算法则可知＝a＋b，＝b－a.]

【例1】　(1)如图所示，四边形ABCD中，若＝a，＝b，＝c，则＝(　　)

A．a－b＋c

B．b－(a＋c)

C．a＋b＋c

D．b－a＋c

(2)如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.

[思路探究]　(1)利用向量减法和加法的几何意义，将向，，转化；

(2)利用几何意义法与定义法求出a＋b－c的值．

(1)A　[＝－＝(＋)－＝a＋c－b.]

(2)[解]　法一：(几何意义法)如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.

法二：(定义法)如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝－c，连接OC，则＝a＋b－c.

图①　　　　　图②

求作两个向量的差向量的两种思路

(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．

(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．

1．如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.

[解]　法一：先作a－b，再作a－b－c即可．

如图①所示，以A为起点分别作向量和，使＝a，＝b.连接CB，得向量＝a－b，再以C为起点作向量，使＝c，连接DB，得向量.则向量即为所求作的向量a－b－c.

图①　　　　　　图②

法二：先作－b，－c，再作a＋(－b)＋(－c)，如图②.

(1)作＝－b和＝－c；

(2)作＝a，则＝a－b－c.

【例2】　(1)如图所示，

①用a，b表示；

②用b，c表示.

(2)化简下列各向量的表达式：

①＋－；

②(－)－(－)；

③(＋＋)－(－－)．

[思路探究]　按照向量加法和减法的运算法则进行化简，进行减法运算时，必须保证两个向量的起点相同．

[解]　(1)由题意知＝a，＝b，＝c.

①＝－＝－－＝－a－b.

②＝－＝－(＋)＝－b－c.

(2)①＋－＝－＝.

②(－)－(－)＝(＋)－(＋)＝－＝0.

③(＋＋)－(－－)

＝(＋)－(－)＝－＝0.

(2)②法一：(加法法则)

原式＝－－＋

＝(＋)－(＋)

＝－＝0；

法二：减法法则(利用相反向量)

原式＝－－＋

＝(－)＋(－)

＝＋＝0；

法三：减法法则(创造同一起点)

原式＝－－＋

＝(－)－(－)－(－)＋(－)

＝－－＋－＋＋－＝0.

1．向量减法运算的常用方法

2．向量加减法化简的两种形式

(1)首尾相连且为和．

(2)起点相同且为差．

解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．

3．与图形相关的向量运算化简

首先要利用向量加减的运算法则、运算律，其次要分析图形的性质，通过图形中向量的相等、平行等关系辅助化简运算．

2．化简下列向量表达式：

(1)－＋－；

(2)(－)＋(－)．

[解]　(1)－＋－＝＋－＝－＝.

(2)(－)＋(－)＝＋＋＋＝＋(＋＋)＝＋0＝.

[探究问题]

1．以向量加法的平行四边形法则为基础，能否构造一个图形将a＋b和a－b放在这个图形中？

[提示]　如图所示，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，则a＋b＝，a－b＝.

2．已知向量a，b，那么|a|－|b|与|a±b|及|a|＋|b|三者具有什么样的大小关系？

[提示]　它们之间的关系为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.

(1)当a，b有一个为零向量时，不等式显然成立．

(2)当a，b不共线时，作＝a，＝b，则a＋b＝，如图①所示，根据三角形的性质，有||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|.同理可证||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|.

(3)当a，b非零且共线时，①当向量a与b同向时，作法同上，如图②所示，此时|a＋b|＝|a|＋|b|.②当向量a，b反向时，不妨设|a|>|b|，作法同上，如图③所示，此时|a＋b|＝|a|－|b|.

综上所述，得不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.

【例3】　(1)在四边形ABCD中，＝，若|－|＝|－|，则四边形ABCD是(　　)

A．菱形　　　　　　　　 B．矩形

C．正方形   D．不确定

(2)已知||＝6，||＝9，求|－|的取值范围．

[思路探究]　(1)先由＝判断四边形ABCD是平行四边形，再由向量减法的几何意义将|－|＝|－|变形，进一步判断此四边形的形状．

(2)由|||－|||≤|－|≤||＋||求范围．

(1)B　[∵＝，

∴四边形ABCD为平行四边形，

又∵|－|＝|－|，∴||＝||.

∴四边形ABCD为矩形．]

(2)[解]　∵|||－|||≤|－|≤||＋||，

且||＝9，||＝6，∴3≤|－|≤15.

当与同向时，|－|＝3；

当与反向时，|－|＝15.

∴|－|的取值范围为[3,15]．

1．将本例(2)的条件改为“||＝8，||＝5”，求||的取值范围．

[解]　因为＝－，||＝8，||＝5，

|||－|||≤|－|≤||＋||，

所以3≤||≤13，

当与同向时，||＝3；

当与反向时，||＝13.

所以||的取值范围是[3,13]．

2．在本例(2)条件不变的条件下，求：|＋|的取值范围．

[解]　由|||－|||≤|＋|≤||＋||，

∵||＝6，||＝9，

∴3≤|＋|≤15.

当与同向时，|＋|＝15；

当与反向时，|＋|＝3.

3．本例(2)中条件“||＝9”改为“||＝9”，求||的取值范围．

[解]　＝－，又||＝||，

由|||－|||≤|－|≤||＋||，

∴3≤||≤15.

1．用向量法解决平面几何问题的步骤

(1)将平面几何问题中的量抽象成向量．

(2)化归为向量问题，进行向量运算．

(3)将向量问题还原为平面几何问题．

2．用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键

(1)利用向量证明线段平行且相等，从而证明四边形为平行四边形，只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可．

(2)根据图形灵活应用向量的运算法则，找到向量之间的关系是解决此类问题的关键．

1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－＝就可以把减法转化为加法．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．

2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．

3．以平行四边形ABCD的两邻边AB，AD分别表示向量＝a，＝b，则两条对角线表示的向量为＝a＋b，＝b－a，＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌握.

1．判断正误

(1)0－a＝－a；(　　)

(2)－(－a)＝a；(　　)

(3)a＋(－a)＝0；(　　)

(4)a＋0＝a；(　　)

(5)a－b＝a＋(－b)；(　　)

(6)a＋(－a)＝0.(　　)

[答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√　(6)×

2．化简－＋－＝________.

0　[－＋－

＝(＋)＋(－)

＝＋

＝0.]

3．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.

0　2　[因为a，b为相反向量，∴a＋b＝0，

即|a＋b|＝0，又a＝－b，∴|a－b|＝|2a|＝2.]

4．若a≠0，b≠0且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b所在直线的夹角．

[解]　如图，设＝a，

＝b，

则a－b＝，

因为|a|＝|b|＝|a－b|，

所以||＝||＝||，

所以△OAB是等边三角形，

所以∠BOA＝60°.

因为＝a＋b，且在菱形OACB中

对角线OC平分∠BOA.

所以a与a＋b所在直线的夹角为30°.