高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式第2课时教案设计

第2课时　诱导公式五、六

(教师独具内容)

课程标准：1.了解诱导公式五、六的意义和作用.2.理解诱导公式五、六的推导过程.3.能综合运用诱导公式一～六解决简单三角函数式的求值、化简与证明问题．

教学重点：诱导公式五、六的推导过程及诱导公式一～六的综合应用．

教学难点：诱导公式五、六的推导过程.

【知识导学】

知识点　诱导公式五、六

【新知拓展】

(1)公式五、六中的角α是任意角．

(2)诱导公式一～六中的角可归纳为k·±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”．

①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的．

②“奇”“偶”是对诱导公式k·±α中的整数k来讲的．

③“象限”指k·±α中，将α看成锐角时，k·±α所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．

(3)利用诱导公式五、六，结合诱导公式二，还可以推出如下公式：

sin＝－cosα，cos＝－sinα，

sin＝－cosα，cos＝sinα.

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)角－α与角α的终边关于y轴对称．(　　)

(2)由诱导公式五、六，能够推导出tan与tanα的关系．(　　)

(3)sin＝－sinα.(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)×

2．做一做

(1)已知sin＝，那么cosα＝(　　)

A．－    B．－ 

C.   D.

(2)已知角α的终边经过点P0(－3，－4)，则cos的值为(　　)

A．－   B. 

C.    D．－

(3)化简：sin＝________.

答案　(1)C　(2)A　(3)－cosα

题型一   利用诱导公式五、六求值

例1　已知cos＝，求值：

＋.

[解]　原式＝＋

＝－sinα－sinα

＝－2sinα.

又cos＝，所以－sinα＝.

所以原式＝－2sinα＝.

金版点睛

诱导公式应用中需注意的问题

诱导公式的应用，就是化归思想的应用，求值过程就是由未知角的三角函数向已知角的三角函数的转化过程．解题时要密切注意角之间的关系，特别是互余、互补关系，为应用诱导公式创造条件．

　已知cos(π＋α)＝－，求cos的值．

解　∵cos(π＋α)＝－cosα＝－，

∴cosα＝，∴α为第一或第四象限角．

①若α为第一象限角，

则cos＝－sinα＝－

＝－＝－；

②若α为第四象限角，则

cos＝－sinα＝

＝＝.

综上，cos＝或－.

题型二  化简三角函数式

例2　化简：＋

.

[解]　∵sin＝cosα，cos＝sinα，

cos(π＋α)＝－cosα，sin(π－α)＝sinα，

cos＝－sinα，sin(π＋α)＝－sinα，

∴原式＝＋

＝－sinα＋sinα＝0.

金版点睛

用诱导公式化简求值的方法

(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少．

(2)对于kπ±α(k∈Z)和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名．

　(1)sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＋sin290°的值等于________；

(2)化简：＋.

答案　(1)　(2)见解析

解析　(1)因为sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，

sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，

sin2x°＋sin2(90°－x°)＝sin2x°＋cos2x°＝1(1≤x≤44，x∈N)，

所以原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin290°＋sin245°＝45＋2＝.

(2)因为tan(3π－α)＝－tanα，sin(π－α)＝sinα，

sin＝－cosα，sin(2π－α)＝－sinα，

cos＝cos＝－sinα，

sin＝－cosα，cos(2π＋α)＝cosα，

所以原式＝＋

＝－

＝＝＝1.

题型三  利用诱导公式证明三角恒等式

例3　求证：

＝1.

[证明]　∵左边＝

＝＝1＝右边．

∴原式成立．

金版点睛

三角恒等式的证明策略

对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．

　求证：＋

＝.

证明　∵左边＝＋

＝＋＝

＝＝＝右边．

∴原式成立．

1．已知sin40°＝a，则cos50°等于(　　)

A．±a    B．－a 

C．a   D.

答案　C

解析　cos50°＝cos(90°－40°)＝sin40°＝a.

2．已知sin＝，α∈，则tanα的值为(　　)

A．－2    B．2 

C．－   D.

答案　A

解析　因为sin＝cosα＝.

又α∈，所以sinα＝－＝－，

则tanα＝－2.

3．已知tan(3π＋α)＝2，则

＝________.

答案　2

解析　由tan(3π＋α)＝2，得tanα＝2，所以

原式＝

＝＝＝＝2.

4．若sin＝，则cos2θ－sin2θ＝________.

答案　－

解析　sin＝cosθ＝，从而sin2θ＝1－cos2θ＝，所以cos2θ－sin2θ＝－.

5．已知sin＝，求cossin的值．

解　cossin

＝cossin

＝sinsin＝×＝.