上海市进德中学2022-2023学年九年级上学期期中质量检测数学试卷 (含答案)

这是一份上海市进德中学2022-2023学年九年级上学期期中质量检测数学试卷 (含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市浦东新区进德中学九年级（上）期中数学试卷  第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）在中，，，，那么等于(    )A.  B.  C.  D. 抛物线的顶点坐标是(    )A.  B.  C.  D. 已知，下列说法中不正确的是(    )A.  B. 与方向相同
C.  D. 如图，在四边形中，如果，那么下列条件中不能判定和相似的是(    )
 A.  B. 是的平分线
C.  D. 如图，是放置在正方形网格中的一个角，则的值为(    )A.
B.
C.
D. 已知二次函数的图象上有、两个点，则(    )A.  B.  C.  D. 无法确定第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）已知，那么______．抛物线经过点，那么______．如果两个相似三角形对应边之比是：，那么它们的周长之比等于______．二次函数图象上的最低点的纵坐标为______．已知点是线段的黄金分割点，若，则______．在直角坐标平面内有一点，点与原点的连线与轴的正半轴夹角为，那么角的余弦值是______．如图所示，在▱中，，交于点，，，则______．
如果抛物线与轴的一个交点为，那么与轴的另一个交点的坐标是______．已知在中，，，，点是的重心，那么点到斜边的距离是______．如图，四边形中，，对角线，交于点，已知，______．
 如图，在中，，，为中点，在线段上，，则______．
 若内一点满足，则称点为的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名．如图，已知中，，为的布罗卡尔点，若，则______．
  三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
计算：．本小题分
如图，已知二次函数的对称轴为，过点．
求出，的值；
若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，当的面积为时，求的坐标．
本小题分
如图，已知在中，，垂足为点，，，，点是边的中点．
求边的长；
求的正切值．
本小题分
如图，为了测量建筑物的高度，先从与建筑物的底部点水平相距米的点处出发，沿斜坡行走至坡顶处，斜坡的坡度：，坡顶到的距离米，在点处测得建筑物顶端点的仰角为，点、、、、在同一平面内，根据测量数据，请计算建筑物的高度结果精确到米参考数据：；；
本小题分
已知：如图，已知与均为等腰三角形，，如果点在边上，且点为与的交点．
求证：∽；
求证：．
本小题分
如图，抛物线经过点，点．
求这条抛物线的表达式；
是抛物线对称轴上的点，联结、，如果，求点的坐标；
将抛物线沿轴向下平移个单位，所得新抛物线与轴交于点，过点作轴交新抛物线于点，射线交新抛物线于点，如果，求的值．
本小题分
在中，，，，为边上一动点点与点、不重合，连结，过点作交边于点．
如图，当时，求的长；
设，，求关于的函数解析式并写出函数定义域；
把沿直线翻折得，联结，当是等腰三角形时，直接写出的长．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，，，
．
故选：．
直接利用余切的定义求解．
本题考查了锐角三角函数的定义，正确理解锐角三角函数的定义是解决此类问题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：，
顶点坐标为，
故选：．
利用配方法化成顶点式求解即可．
本题考查了二次函数的性质，化成顶点解析式是求抛物线的顶点坐标的一种方法．
 3.【答案】 【解析】解：、由知：，原说法不正确，符合题意；
B、由知：与的方向相同，原说法正确，不符合题意；
C、由知：与的方向相同，则，原说法正确，不符合题意；
D、由知：，原说法正确，不符合题意．
故选：．
根据已知条件可知：与的方向相同，其模是倍关系．
本题主要考查了平面向量，注意：平面向量既有方向，又有大小．
 4.【答案】 【解析】【分析】
此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键．已知，则、选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似；选项可以根据两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似来判定．
【解答】
解：．，又，，故A选项不符合题意；
B.是的平分线，，又，，故B选项不符合题意；
C.，，但与不确定是否相等，不能证明相似，故C选项符合题意；
D.且，，故D选项不符合题意；
故选C．  5.【答案】 【解析】解：连接．
点、、在格点上，
，
，
．
，
．
是直角三角形．
．
故选：．
先利用勾股定理计算出的三边，再判断的形状，最后利用直角三角形的边角间关系得结论．
本题主要考查了解直角三角形，掌握勾股定理、直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：
抛物线开口向上，对称轴为，开口向上．
点横坐标到对称轴的距离是，
点到横坐标对称轴的距离是，
．
故选：．
A、的坐标两个点的横坐标离对称轴的距离，二次函数图象上点的横坐标离对称轴越近，对应的纵坐标越小；判断出、的大小关系．
本题考查判断函数值大小，正确掌握二次函数图象的性质是解题关键．
 7.【答案】 【解析】解：，
，
．
故答案为：．
根据已知条件得出，再把化成，然后进行计算即可．
此题考查了比例的性质．题目比较简单，解题的关键是掌握比例的性质与比例变形．
 8.【答案】 【解析】解：把点代入，得，
解得．
故答案为：．
本题主要考查了用待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
根据待定系数法即可求得．
 9.【答案】： 【解析】解：两个相似三角形对应边之比是：，
它们的周长之比等于：，
故答案为：：．
根据相似三角形的性质即可得出结果．
本题考查了相似三角形的性质，能熟记相似三角形的周长之比等于相似比是解此题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：，
抛物线最低点坐标为，
抛物线最低点的纵坐标为．
故答案为：．
将二次函数解析式化为顶点式求解即可．
本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数一般式与顶点式的转化．
 11.【答案】 【解析】解：由于为线段的黄金分割点，
且是较长线段；
则．
根据黄金分割点的定义，且是较长线段；则，代入数据即可得出的长．
理解黄金分割点的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段原线段的，较长的线段原线段的．
 12.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识，此题比较简单，易于掌握．
利用锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解．
【解答】
解：在直角坐标平面内有一点，
，
．
故答案为：．  13.【答案】 【解析】解：因为四边形为平行四边形，
所以，
所以
所以．
故答案为：．
根据平行四边形的性质分析即可．
本题考查了平面向量与平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的有关性质和平面向量的有关知识是解题的关键．
 14.【答案】 【解析】【分析】
根据二次函数的解析式结合二次函数的性质可找出抛物线的对称轴，再利用对称性即可找出抛物线与轴的另一交点坐标，此题得解．
本题考查了抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，利用二次函数的性质找出抛物线的对称轴是解题的关键．
【解答】
解：抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点为，
抛物线与轴的另一交点坐标为，即．
故答案为：．  15.【答案】 【解析】解：过点作于，过点作于，如图．
在中，，，，
，
，
，
是的重心，
，
，
，，
，
∽，
，
．
故答案为：．
过点作于，过点作于，如图，先利用勾股定理计算出，再利用三角形等面积法求出，根据是的重心得到，然后证明∽，利用相似比可求出的长度．
此题考查了三角形重心的性质：三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的倍，也考查了勾股定理，三角形的面积，相似三角形的判定与性质．
 16.【答案】 【解析】解：作于点，作于点，如图所示，
，
，
，，
，
又，
∽，
，
，
∽，
，
，
，
故答案为：．
根据相似三角形的判定和性质，可以得到与的比，再根据相似三角形的性质和三角形的面积公式就可以求得的值．
本题考查相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 17.【答案】或 【解析】解：为中点，
．当时，．
当与不平行时，，．
故答案是：或．
利用平行线截线段成比例解答．
本题主要考查了平行线分线段成比例，平行于三角形的一边，并且和其他两边或两边的延长线相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
 18.【答案】 【解析】解：过作于，如图：

，，，
，，
，，
，
为的布罗卡尔点，
，
，
∽，
，
，，
，
，，
故答案为：．
过作于，由，，，可得，根据为的布罗卡尔点，可得∽，即得，故，可解得答案．
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明∽是本题的关键．
 19.【答案】解：原式

． 【解析】本题考查了特殊角的三角函数值，考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．
根据特殊角的三角函数值进行计算即可．
 20.【答案】解：二次函数的对称轴为，
，
，
，
过点，
；
点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，
设，
 
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
设直线与抛物线对称轴交于点，则，
，
，
，
解得：或舍去，
点的坐标为． 【解析】运用待定系数法即可求得答案；
设，运用待定系数法求得直线的解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点，则，，利用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案．
本题考查二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
 21.【答案】解：，
，
，
，
，
；

过点作于点．
，，
，
，
，
，
，
． 【解析】解直角三角形求出，再利用勾股定理求出即可；
过点作于点求出，，可得结论．
本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
 22.【答案】解：过作于，
则，米，
斜坡的坡度：：，坡顶到的距离米，
米，
米，
在中，，
，
米，
米，
即建筑物的高度约为米． 【解析】过作于，由坡度的定义求出米，则米，再解直角三角形求出的长，即可得出答案
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 23.【答案】证明：，
，
，
∽；

∽，
，
，
，
∽，
，
，
∽，
：：，
即． 【解析】根据三角形的外角的性质和角的和差得到，由于，即可得到结论；
根据相似三角形的性质得到，于是得到，证得∽，根据相似三角形的性质得到，由，推出∽，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
 24.【答案】解：抛物线经过点，点
，
解得
抛物线解析式为，
，
对称轴为直线，如图，过点作轴，垂足为，

，，
，
，
，
如图

设新抛物线的表达式为
则，，
过点作轴，垂足为，
，
，
，
点在轴的正半轴上，则，
，
，
点在轴的负半轴上，则，
，
，
综上所述的值为或． 【解析】此题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会求抛物线的对称轴，会待定点的坐标根据题意建立方程求解是解题的关键．
把点，点代入解析式求解即可；
先确定抛物线的对称轴，再过点作轴，垂足为，根据三角函数建立等量关系，求解即可；
设新抛物线的表达式为，则，，，过点作轴，垂足为，运用平行建立线段的比例关系求解即可．
 25.【答案】解：，
，
，
，
，，
，
，
，
，
；
如图中，作于．
在中，，，，
，
，
，，，
，，
∽，
，
，
；
如图中，设交于，作于，于，于

，，
，
，
由∽，
可得，，
，
，，，
，
，
，
．
如图中，当交的延长线于时，同法可得，
．
 【解析】本题属于几何变换综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
证明，推出，可得，由此构建方程即可解决问题．
如图中，作于证明∽，推出，由此构建关系式即可解决问题．
分两种情形：如图中，设交于，作于，于，于利用角平分线的性质定理求出即可．如图中，当交的延长线于时，同法可得．