浙江省慈溪市中部教研共同体2022-2023学年九年级上学期期中质量检测 数学试题 (含答案)

浙江省慈溪市中部教研共同体2022-2023学年上学期期中质量检测九年级数学试题

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    抛物线的开口方向是(    )

A. 向下 B. 向上 C. 向左 D. 向右

2.    “网上任意买一张长津湖的电影票，票上的排号恰好是奇数”，这个事件是(    )

A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 确定事件 D. 随机事件

3.    已知的半径为，点是外一点，则的长可能是(    )

A.  B.  C.  D.

4.    将抛物线向右平移个单位得到的抛物线表达式是(    )

A.  B.  C.  D.

5.    如图，在半径为的中，弦，是弦上一动点，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

6.    已知抛物线经过点，则该抛物线与轴的另一个交点是(    )

A.  B.  C.  D.

7.    如图，将绕点逆时针旋转至，使，若，则旋转角的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8.    如图，点、、是上的点，，连结交于点，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

9.    已知二次函数的图象经过点，，且，则的值不可能是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知抛物线与轴所围成的封闭区域内含边界，横、纵坐标均为整数的点有且只有个，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11. 一枚质地均匀的骰子，六个面分别标有数字，，，，，，抛掷一次，恰好出现“正面朝上的数字是”的概率是______．
12. 如图，在平面直角坐标系中，点，，都在格点上，过，，三点作一圆弧，则圆心的坐标是          ．
     

13. 如图是某同学的微信二维码，用黑白打印机打印于边长为的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为______．
14. 如图，内接于，是直径，若，则______度．

15. 如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高为的奖杯，杯体轴截面是抛物线的一部分，则杯口的口径为______．

16. 已知顶点为的抛物线与顶点为的抛物线交于，，则四边形的周长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    已知二次函数的图象经过点，．
    求这个二次函数的表达式；
    求这个图象的顶点坐标．
18. 本小题分
    一个不透明的布袋中装有若干个球，它们除颜色不同外，其余完全相同，其中有个白球和若干个红球．
    如果摸一次球，摸到白球的概率是，求红球的个数．
    在的条件下，如果从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则两个球都是红色的概率是多少？请画树状图或列表分析．
19. 本小题分
    如图，由小正方形构成的网格，经过，，三点，仅用无刻度的直尺按要求画图．保留作图痕迹
    在图中画弦的弦心距；
    在图中的圆上找一点，使点是的中点．
     
20. 本小题分
    如图，抛物线过点和点．
    求该抛物线的函数表达式．
    将该抛物线上的点向右平移至点，当点落在该抛物线上且位于第一象限时，求的取值范围．

21. 本小题分
    如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，且，与交于点．
    若，求的度数；
    若，，求的长．

22. 本小题分
    在新冠肺炎抗疫期间，小明决定在淘宝上销售一批口罩．经市场调研：某类型口罩进价每袋为元，当售价为每袋元时，销售量为袋，若销售单价每提高元，销售量就会减少袋．
    直接写出小明销售该类型口罩销售量袋与销售单价元之间的函数关系式______；每天所得销售利润元与销售单价元之间的函数关系式______．
    若小明想每天获得该类型口罩的销售利润元时，则销售单价应定为多少元？
    求当销售单价定为多少元时，利润最大，最大利润是多少？
23. 本小题分
    如图，抛物线：与轴交于点抛物线：与轴交于点，抛物线与相交于点，点的横坐标为过点作轴的平行线交抛物线于点，交抛物线于点．
    求抛物线和的对称轴；
    求线段的长；
    直线与抛物线和分别交于，两点．若，请直接写出的值．

24. 本小题分
    如图，，是半圆上的两点，若直径上存在一点，满足，则称是的“幸运角”．
    如图，是的直径，弦，是上一点，连结交于点，连结，是的“幸运角”吗？请说明理由；
    设的度数为，请用含的式子表示的“幸运角”度数；
    在的条件下，直径，的“幸运角”为．
    如图，连结，求弦的长；
    当时，求的长．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：抛物线，，
该抛物线的开口方向向上，
故选：．
根据题目中的抛物线解析式和二次函数的性质可以得到该抛物线的开口方向．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

2.【答案】 

【解析】解：“网上任意买一张长津湖的电影票，票上的排号恰好是奇数”，这个事件是随机事件，
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

3.【答案】 

【解析】解：当点是外一点时，，、、均不符．
故选：．
设点与圆心的距离，已知点在圆外，则．
本题考查了点与圆的位置关系，确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系．
 

4.【答案】 

【解析】解：将抛物线向右平移个单位得到的抛物线表达式是，
故选：．
根据函数图象左加右减，可得答案．
本题考查了二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，连接，过点作，垂足为，则，
在中，
，
即点在上移动的最小值为，
故选：．
根据垂径定理和勾股定理求出即可．
本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是正确解答的前提．
 

6.【答案】 

【解析】解：抛物线经过点，
．
解得：．
抛物线的解析式为．
令，则．
解得：或．
该抛物线与轴的另一个交点是．
故选：．
利用待定系数法确定抛物线的解析式，令，解方程即可求得另一个交点．
本题主要考查了待定系数法确定二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标的特征，抛物线与轴的交点，利用待定系数法确定函数的解析式是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
绕点逆时针旋转至，
，等于旋转角，
，
，
即旋转角的度数是．
故选：．
先根据平行线的性质得到，再根据旋转的性质得到，等于旋转角，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，从而得到旋转角的度数．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行线的性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：设，
则，
，
，
，
，即，
解得，
则，
故选：．
设，知，由知，根据得，据此可求出的值，从而得出答案．
本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

9.【答案】 

【解析】解：二次函数，
抛物线的开口向上，对称轴为直线，
图象经过点，，且，
或
解得，
故选：．
根据二次函数图象上点的坐标特征得到或，解得即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得：个整点的分别为，，，，，，且，
，
解得．
故选：．
先确定个整点的坐标，再根据抛物线与轴正半轴的交点横坐标大于且小于，以及时，解关于的不等式组即可确定的取值范围．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点，关键确定个整点的坐标．
 

11.【答案】 

【解析】解：抛掷一次，恰好出现“正面朝上的数字是”的概率是，
故答案为：．
用正面朝上的数字是的结果数除以所有可能出现的结果数可得．
本题主要考查概率公式，随机事件的概率事件可能出现的结果数事件可能出现的结果数．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．
本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理．
【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是．

故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，
点落入黑色部分的概率为，
边长为的正方形的面积为，
设黑色部分的面积为，
则，
解得．
估计黑色部分的总面积约为．
故答案为：．
经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，可得点落入黑色部分的概率为，根据边长为的正方形的面积为，进而可以估计黑色部分的总面积．
本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握概率公式．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，
则
是的直径，


．
故答案为．
若要利用的度数，需构建与其相等的圆周角；连接，由圆周角定理可知，即可在中，求出的度数．
此题主要考查的是圆周角定理及其推论：同弧所对的圆周角相等；半圆弧和直径所对的圆周角是直角．
 

15.【答案】 

【解析】解：为，
令，
解得，
，，
，
故答案为：．
利用待定系数法求出、的坐标，可求答案．
本题是关于二次函数应用题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法，熟练掌握用待定系数法求点的坐标是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意可知，，则，对称轴都是，
两个抛物线的值是相反的，
四边形是菱形，
抛物线的值确定，抛物线的形状固定，的长度固定，则菱形的形状固定，
直接算菱形的边长比较麻烦，可以将整个菱形和函数平移，使菱形的对角线交点也就是的中点在原点，
此时对称轴为轴，，
，
则，，
将代入可得：，解得，
则，
，
则四边形的周长为，
故答案为：．
根据，的纵坐标可知两个抛物线的对称轴一样是，由对角线互相垂直平分可知四边形是菱形，把整个菱形和函数平移，使菱形的对角线交点也就是的中点在原点，然后求出，坐标求出菱形的边长即可．
此题考查了二次函数的图象与系数的关系，已经菱形的判定和勾股定理的计算，平移坐标系是解决此题的关键．
 

17.【答案】解：根据题意得，解得，
所以该二次函数的解析式为；
，
抛物线的顶点坐标为． 

【解析】直接把点和点坐标代入得到关于、的方程组，然后解方程组求出、即可；
利用配方法把配成，则根据二次函数的性质得到该抛物线的顶点坐标．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
 

18.【答案】解：设红球的个数为，根据题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的解，
答：红球的个数是个；

根据题意列表如下：

所有等可能的情况有种，其中恰好为两个红球的情况有种，
则两个球都是红色的概率是． 

【解析】根据概率公式列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果；
列表得出所有等可能的情况数，找出恰好是两个红球的情况数，即可求出所求的概率．
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．
 

19.【答案】解：如图，线段即为所求；

如图，点即为所求．
 

【解析】根据垂径定理解决问题即可；
取格点，作直径交于点，解决问题即可．
本题考查作图应用与设计作图，平行四边形的性质，垂径定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
 

20.【答案】解：抛物线过点和点，
代入得：，
解得：，
抛物线的函数表达式为；
点向右平移至点，当点落在该抛物线上且位于第一象限，
若为点时，对称轴为直线，，
同理若为点时，，
的取值范围为． 

【解析】代入点和点可求答案；
求出、与点重合时的值，可得答案．
本题考查了二次函数的待定系数法以及图象特征，关键是利用对称性和数形结合解决问题．
 

21.【答案】解：是半圆的直径，
，
，
，
，
，
，
，
；

，，
，
，，
，
，
，
，
，
． 

【解析】由是半圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得，继而求得的度数，又由，，即可求得的度数，继而求得答案；
由，，可求得的长，然后由垂径定理，可知是的中位线，则可求得的长，继而求得答案．
此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
 

22.【答案】   

【解析】解：根据题意得，；
则，
故答案为：；；
，
，
解得：，，
答：销售单价应定为元或元，小明每天获得该类型口罩的销售利润元；
根据知，，
，
当时，最大，最大值为，
答：当销售单价定为元时，利润最大，最大利润是元．
根据“某类型口罩进价每袋为元，当售价为每袋元时，销售量为袋，若销售单价每提高元，销售量就会减少袋”，即可得出关于的函数关系式，然后再根据题意得到销售利润元与销售单价元之间的函数关系式；
代入求出的值，由此即可得出结论；
利用配方法将关于的函数关系式变形为，根据二次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，掌握二次函数求最值的方法．
 

23.【答案】解：，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线的对称轴为直线；
点的横坐标为，点与点关于直线对称，
点的横坐标为，
点的横坐标为，点与点关于直线对称，
点的横坐标为，
；
当时，，
，
当时，点坐标为，，
，
，
，
解得或． 

【解析】将函数的一般式化为顶点式即可求函数的对称轴；
利用函数的对称性确定、点的横坐标，再求的长即可；
求出、点坐标，再由建立方程，求出的值即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求点、的横坐标是解题的关键．
 

24.【答案】解：是的“幸运角”，理由：
是的直径，弦，
平分，
即为的垂直平分线，
，
，
．
，
，
是的“幸运角”；
的度数为，
，
，
．
，
．
的“幸运角”度数．
的“幸运角”度数为；
连接，，如图，

的“幸运角”为，
．
，
，
，
．
直径，
，
；
，，
为等腰直角三角形，
．
设，则，
在中，
，
，
解得：或，
或，
或． 

【解析】利用“幸运角”的定义，说明即可；
利用圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半解答即可得出结论；
连接，，利用“幸运角”的定义和等腰直角三角形的性质解答即可；
利用“幸运角”的定义和等腰直角三角形的性质，设，利用勾股定理列出方程，解方程求得值，再利用等腰直角三角形的性质解答即可．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，对顶角的性质，勾股定理，本题是新定义型题目，理解并熟练运用新定义解答是解题的关键．