初中数学苏科版八年级上册4.1 平方根课时训练

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4.1 平方根（知识讲解）【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】【知识点一】算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.特别说明：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.【知识点二】平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.【知识点三】平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.【知识点四】平方根的性质【知识点五】平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.【典型例题】类型一、求一个数的平方根1．求下列各数的算术平方根．(1)169；(2)；(3)0.09；(4)(﹣3)2．【答案】(1)13；(2)；(3)0.3；(4)3【分析】根据算术平方根的定义解答解：(1)∵132＝169，∴169的算术平方根是13，即＝13；(2)∵（）2＝，∴的算术平方根是，即＝；(3)∵0.32＝0.09，∴0.09的算术平方根是0.3，即＝0.3；(4)∵32＝9＝（﹣3）2，∴（﹣3）2的算术平方根是3，即＝3．【点拨】此题考查了求一个数的算术平方根，正确理解算术平方根的定义是解题的关键．【变式】求下列各数的算术平方根：(1)  0.64                    (2)【答案】(1) 0.8； (2) 【分析】根据算术平方根的定义求解即可．解：（1）因为0．82=0.64，所以0.64的算术平方根是0.8，即=0.8．（2）因为，所以的算术平方根是，即．【点拨】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解答本题的关键，正数有一个正的算术平方根，0的平方根是0，负数没有算术平方根．类型二、利用算术平方根非负性求解2．已知，求(x+y)2022的值【答案】1【分析】根据二次根式的性质得到，计算出，从而计算出最终的答案．解：∵∴得∴∴∴∴．【点拨】本题考查二次根式、幂运算的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式、幂运算的相关知识．举一反三：【变式】已知实数a、b、c满足(1)  求证：；(2)求的平方根．【答案】(1)见分析(2)【分析】根据算术平方根的非负性，即可得证；（2）根据（1）的结论，以及非负数之和为0，求得的值，进而求得的平方根．(1)证明：∵，，；(2)解：，，，，，，的平方根是．【点拨】本题考查了算术平方根的非负性，非负数之和为0，掌握非负数的性质以及算术平方根的非负性是解题的关键．类型三、求算术平方根的整数部分和分数部分3．已知＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+b+2c的平方根．【答案】±5【分析】分别根据算术平方根、平方根的意义，无理数的估算求出a、b、c的值，即可求出a+b+2c的值，根据平方根的意义即可求解．解：∵＝3，∴2a﹣1＝9，解得：a＝5，∵3a﹣b+1的平方根是±4，∴15﹣b+1＝16，解得：b＝0，∵，∴10＜＜11，∴c＝10，∴a+b+2c＝5+0+2×10＝25，∴a+b+2c的平方根为＝±5．【点拨】本题考查了算术平方根、平方根的意义，无理数的估算，熟知算术平方根、平方根的意义是解题关键．举一反三：【变式】已知a为的整数部分，b－1是400的算术平方根，求的值．【答案】6试题分析：首先得出的范围进而得出a的值，进而利用算术平方根的定义得出b的值，即可得出答案．解：∵a为的整数部分，＜＜，∴a＝15，∵b－1是400的算术平方根，∴b－1＝20，解得：b＝21，∴＝＝6．【点拨】此题主要考查了估计无理数大小以及算术平方根，得出a的值是解题关键．类型四、算术平方根相关规律问题4.先填写表，通过观察后再回答问题：a…0.00010.01110010000……0.01x1y100…(1)表格中x＝                  ，y＝；(2)从表格中探究a与数位规律，并利用这个规律解决下面两个问题：①已知≈3.16，则≈                                ；②已知＝8.973，若＝89.73，用含m的代数式表示b，则b＝；(3)试比较与a的大小．【答案】(1)0.1，10(2)①31.6；②(3)当时，；当时，；当时，；当时，【分析】（1）根据算术平方根的性质，即可求解；（2）根据题意可得当a扩大100倍时，扩大10倍，①由≈3.16，即可求解；②根据＝8.973，＝89.73，即可求解；（3）分四种情况：当时，当时，当时，当时，即可求解．(1)解：根据题意得：；(2)解：根据题意得：当a扩大100倍时，扩大10倍，①∵≈3.16，∴；②∵＝8.973，＝89.73，∴；(3)当时，，此时；当时，，此时；当时，根据a与数位规律得：；当时，根据a与数位规律得：；综上所述，当时，；当时，；当时，；当时，．【点拨】本题主要考查了算术平方根，明确题意，准确得到规律是解题的关键．举一反三：【变式】细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：；；；（1）请用含（为正整数）的等式表示上述交化规律：______；（2）观察总结得出结论：直角三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为：______；（3）利用上面的结论及规律，请在图中作出等于的长度；（4）若表示三角形面积，，，，计算出的值．【答案】（1）；（2）直角边的平方和等于斜边的平方；（3）见分析；（4）．【分析】（1）观察已知各式，归纳总结规律即可得；（2）根据等式和图形即可得；（3）先作的垂线，再在垂线上截取，连接，可得，同理可作出点，连接即为所求；（4）先分别求出的值，再归纳总结出一般规律得出的值，从而可得的值，然后代入求和即可．解：（1）观察已知各式可得，各式的变化规律为故答案为：；（2）结合等式和图形可得，直角三角形两条直角边与斜边的关系为：直角边的平方和等于斜边的平方故答案为：直角边的平方和等于斜边的平方；（3）先作的垂线，再在垂线上截取，连接，即可得，同理可作点，连接，则即为所求，如图所示：（4）归纳类推得：当时，则．【点拨】本题考查了算术平方根、勾股定理等知识点，读懂题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键．类型五、算术平方根的实际应用5.如图，用两个边长为的小方形纸片拼成一个大的正方形纸片，沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片的长是宽的2倍，且面积为？请说明理由．【答案】不能，理由见分析【分析】根据拼图求出大正方形的边长，再根据长方形的长、宽之比为2：1，计算长方形的长与宽进行验证即可．解：不能，∵大正方形纸片的面积为（）2+（）2=36（cm2），∴大正方形的边长为6cm，设截出的长方形的长为2bcm，宽为bcm，∴2b2=30，∴b=（取正值），∵2b=，∴不能截得长宽之比为2：1，且面积为30cm2的长方形纸片．【点拨】本题考查了算术平方根的应用，理解算术平方根的意义是正确解答的关键．举一反三：【变式】小强同学用两个小正方形纸片做拼、剪构造大正方形游戏：（他选用的两个小正方形的面积分别为、）．(1)如图1，，拼成的大正方形边长为___________；如图2，，拼成的大正方形边长为___________；如图3，，拼成的大正方形边长为___________．(2)若将（1）中的图3沿正方形边的方向剪裁，能否剪出一个面积为14.52且长宽之比为4∶3的长方形？若能，求它的长、宽；若不能，请说明理由；【答案】(1)；；(2)不能用正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，理由见分析【分析】（1）求出所拼成的正方形的面积，再根据算术平方根的定义进行计算即可；（2）根据题意求出其长、宽，再根据算术平方根进行验证即可．(1)解：如图1，当S1=1，S2=1，拼成的大正方形A1B1C1D1的面积为1+1=2，因此其边长为；如图2，当S1=1，S2=4，拼成的大正方形A2B2C2D2的面积为1+4=5，因此其边长为；如图3，当S1=1，S2=16，拼成的大正方形A3B3C3D3的面积为1+16=17，因此其边长为；故答案为：，，；(2)解：不能，理由如下：设长方形的长为4x，宽为3x，则有4x•3x=14.52，所以x2=1.21，即x=1.1（x＞0），因此长方形的长为4x=4.4，宽为3x=3.3，因为（4.4）2=19.36＞17，所以不能用正方形A3B3C3D3剪出一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形．【点拨】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．类型六、平方根概念的理解6.已知10﹣3a的平方根是±1，a﹣b+2的算术平方根是2，求3a+b的值．【答案】10【分析】利用平方根和算术平方根的定义求得a与b的值，然后代入3a+b即可．解：∵10﹣3a的平方根是±1，∴，解得，a＝3，∵a﹣b+2的算术平方根是 2，∴，解得，b＝1，∴．【点拨】本题考查了平方根和算术平方根的概念，理解掌握概念是解题的关键．举一反三：【变式】已知一个正数的两个不相等的平方根是与．（1）求的值及这个正数；（2）求关于的方程的解．【答案】（1）a=1，这个正数是49；（2）【分析】（1）由正数的两个平方根互为相反数得到+=0，求解即可得到答案；（2）将a=1代入方程，根据平方根的意义得到答案即可．解：（1）由题意得+=0，解得a=1，∴这个正数是；（2）将a=1代入方程，得-64=0，解得．【点拨】此题考查正数平方根的性质，根据平方根的定义解方程，正确理解平方根的性质是解题的关键．类型七、求一个数的平方根7.先用平方根符号表示下列各数，再求值：(1)      (2)【答案】(1)，(2)，【分析】（1）根据平方根的概念与性质，计算即可；（2）根据平方根的概念与性质，计算即可．(1)解：原式=(2)解：原式【点拨】本题考查平方根的概念与性质，一个数a的正的平方根，用符号“”表示，a叫做被开方数，2叫做根指数，a的负平方根用“”表示，根指数是2时，通常略去不写．如记作，读作“根号a”，记作，读作“正、负根号a”，掌握平方根的概念与性质是解题的关键．举一反三：【变式】求下列各数的平方根：(1)100；           (2)64；(3)；           (4)1.21．【答案】(1)±10(2)±8(3)(4)±1.1【分析】（1）根据计算即可．（2）根据计算即可．（3）根据计算即可．（4）根据计算即可．解：(1)∵，∴100的平方根是±10．(2)∵，∴64的平方根是±8．(3)∵∴的平方根是．(4)∵，∴1．21的平方根是±1．1．【点拨】本题考查了平方根即如果（a是非负数），则称x是a的平方根，正确理解平方根的意义是解题的关键．类型八、求代数式的平方根8.若的算术平方根是3，求的平方根．【答案】【分析】根据的算术平方根是3，求出的值后，代入中，再求的平方根．解：∵的算术平方根是3，∴，∴，∴，∴的平方根为．【点拨】本题考查了算数平方根和平方根的应用，解题的关键是：理解算数平方根和平方根的定义，易错点是容易把负的平方根丢掉．举一反三：【变式】已知与互为相反数，k是64的平方根，求m-n+k的平方根．【答案】【分析】由互为相反数的两个数的和等于0可得：m+1=0，2-n-0，解得m=-1，n=2；由k是64的方根，得出k=8，再代入m、n、k的值求得m-n+k的值，求其平方根即可．解：∵与互为相反数，∴+＝0，又∵≥0，≥0，∴m+1=0，2-n-0，∴m=-1，n=2，∵k是64的平方根，∴k=8；当k=8时，m-n+k＝－1－2+8＝5，由m-n+k的平方根为；当k=-8时，m-n+k＝－1－2－8＝－11，没有平方根；综合上述可得：m-n+k的平方根为．【点拨】考查了非负数的性质和平方根的定义，解题关键掌握几个非负数的和为0时，则这几个非负数都为0．类型九、已知一个数的平方根，求这个数9.一个正数x的两个平方根是3a﹣2与4﹣a，则x是多少？【答案】25【分析】直接利用平方根的性质求解．解：依题意得，3a﹣2+4﹣a＝0，∴a＝﹣1，∴3a﹣2＝﹣5，∴x＝25．【点拨】本题考查了平方根的性质，熟练掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键．举一反三：【变式】一个正数x的两个不同的平方根分别是4a﹣1和4﹣a，求a和x的值．【答案】a和x的值分别为﹣1，25【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，得到4a﹣1+（4﹣a）＝0，求出a＝﹣1，再根据x＝（4a﹣1）2求出x即可．解：∵一个正数的两个平方根互为相反数，∴4a﹣1+（4﹣a）＝0，解得a＝﹣1，∴x＝（4a﹣1）2＝（﹣5）2＝25．答：a和x的值分别为﹣1，25．【点拨】此题考查了已知一个数的平方根求参数，正确掌握一个正数的两个平方根是一对相反数的性质是解题的关键．类型十、利用平方根解方程10.阅读下列解答过程，在横线上填入恰当内容．解方程：（x－1）2＝4解：∵（x－1）2＝4        （1）∴x－1＝2               （2）∴x＝3                  （3）上述过程中有没有错误？若有，错在步骤__________（填序号）原因是____________________________________.     请写出正确的解答过程.【答案】（2），正数的平方根有两个，它们互为相反数，见分析【分析】根据正数的平方根有两个，它们互为相反数，即可求解．解：上述过程中有错误，错在步骤（2），原因是：正数的平方根有两个，它们互为相反数，正确的解答过程为：解：∵（x－1）2＝4        ∴x－1＝±2               ∴x＝3或x＝－1故答案为：（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数，【点拨】本题考查了根据平方根解方程，掌握正数的平方根有两个，它们互为相反数是解题的关键．举一反三：【变式】求下列式子中的x：(1)25(x﹣)2＝49；         (2)(x+1)2＝32．【答案】(1)x1＝2，x2＝  (2)x1＝7，x2＝﹣9【分析】（1）两边同时除以25，再开平方解一元一次方程即可；（2）方程两边同时乘以2，再开平方解一元一次方程即可．(1)解： 25（x﹣）2＝49，（x﹣）2＝，x﹣＝±，x﹣＝或x﹣＝﹣，解得：x1＝2，x2＝；(2)（x+1）2＝32，（x+1）2＝32×2，（x+1）2＝64，x+1＝±8，x+1＝8或x+1＝﹣8，解得：x1＝7，x2＝﹣9．【点拨】此题考查了利用平方根定义解方程，正确理解并掌握平方根的定义是解题的关键．类型十一、平方根的应用11.如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成相等的四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．(1)图②中阴影部分的正方形的边长等于______________(2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积：方法一：________________________________________________方法二：________________________________________________(3)根据（2）直接写出这三个代数式之间的等量关系．(4)根据（3）中的等量关系，解决如下问题：对于任意的有理数x和y，若，求的值．【答案】(1)(2)，(3)(4)【分析】（1）利用小长方形的长减去宽即可得；（2）方法一：根据（1）的结论，直接利用正方形的面积公式即可得；方法二：利用大长方形的面积减去四个小长方形的面积即可得；（3）根据（2）中方法一与方法二求出的面积相等即可得；（4）先利用（3）中的等式求出的值，再根据平方根的性质即可得．(1)解：由题意得：小长方形的长为，宽为，则图②中阴影部分的正方形的边长等于为，故答案为：．(2)解：方法一：图②中阴影部分的正方形的边长等于为，则其面积为；方法二：图②中大正方形的边长为，四个小长方形的长均为，宽均为，则图②中阴影部分的面积为，故答案为：，．(3)解：因为（2）中方法一与方法二求出的面积相等，所以．(4)解：，，．【点拨】本题考查了完全平方公式与图形面积、平方根的应用，结合图形，正确发现图②中阴影面积的两种求解方法是解题关键．举一反三：【变式】已知，求的值．【答案】2022【分析】根据算术平方根的非负性确定的范围，进而化简绝对值，在根据平方根的定义求得代数式的值．解：∵，∴．∴，∴原式化简为，∴，∴，故．【点拨】本题考查了算术平方根的非负性，化简绝对值，平方根的定义，根据算术平方根的非负性确定的范围化简绝对值是解题的关键．