2022-2023学年湖南省岳阳市临湘市九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省岳阳市临湘市九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列方程中是一元一次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 关于反比例函数，下列说法不正确的是(    )

A. 函数图象分别位于第二、四象限 B. 函数图象关于原点成中心对称
C. 函数图象经过点 D. 当时，随的增大而增大

3. 如图：，：：，，那么的长为(    )

A.
B.
C.
D.

4. 将一元二次方程配方后，原方程可化为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，在中，点、分别在边、上，下列条件不能满足∽的条件是(    )

A.
B.
C.
D.

6. 若点，，在反比例函数是常数的图象上，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 九章算术中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口处立一垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观测井水水岸，视线与井口的直径交于点，若测得米，米，米，则水面以上深度为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

8. 如图，平面直角坐标系第一象限内任意点，轴交于点，连结函数的图象经过边的中点，交于点，则(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

9. 关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是______．
10. 若∽，且，的周长为，则的周长为______．
11. 若是方程的解，则代数式的值为______．
12. 在对物体做功一定的情况下，力牛与此物体在力的方向上移动的距离米成反比例函数关系，其图象如图所示，在图象上，则当力达到牛时，物体在力的方向上移动的距离是______ 米．

13. 如图，反比例函数的图象过点，轴，且的面积为，则该反比例函数解析式为______．

14. 某网络学习平台年的新注册用户数为万，年的新注册用户数为万，设新注册用户数的年平均增长率为，则______用百分数表示．
15. 如图，某人跳芭蕾舞，踮起脚尖时显得下半身比上半身更修长．若以裙子腰节为分界点，身材比例正好符合黄金分割，已知从脚尖到头顶高度为，那么裙子的腰节到脚尖的距离为______结果保留根号

16. 如图，矩形中，，，为对角线上一个动点，过点作交于．
    当时，的长为______；
    长的最小值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    解下列方程：
    ；
    ．
18. 本小题分
    如图，在正方形网格上，有两个三角形和，求证：∽．

19. 本小题分
    已知关于的一元二次方程为常数．
    求证：方程有两个不相等的实数根；
    设，为方程的两个实数根，且，试求出方程的两个实数根和的值．
20. 本小题分
    如图，已知反比例函数与正比例函数的图象交于，两点．
    求该正比例函数的表达式；
    将点向下平移个单位得到点，连接、，求的面积．

21. 本小题分
    如图，在中，点，，分别在边，，上，连接，已知四边形是平行四边形，．
    若，求线段的长．
    若的面积为，求平行四边形的面积．

22. 本小题分
    今年国庆节期间，栈桥旁边的游客超市平均每天可卖出个贝壳风铃，卖出个风铃的利润是元．经调查发现，零售单价每降元，每天可多卖出个．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降元．
    零售单价下降元后，每个风铃的利润为______元，该店平均每天可卖出______个风铃用含的式子表示，需要简化；
    在不考虑其他因素的条件下，当定为多少时，才能使该店每天获取的利润是元？
23. 本小题分
    在中，为边上一点．
    
    如图若，求证：．
    若为的中点，．
    如图，若，，求的长．
    如图，若，，直接写出的长．
24. 本小题分
    如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且．
    求的值并直接写出点的坐标；
    点是轴上的动点，连接，，求的最小值；
    是坐标轴上的点，是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：当时，不是一元一次方程，故本选项不合题意；
B.符合一元一次方程的定义，故本选项符合题意；
C.是一元二次方程，故本选项不合题意；
D.含有个未知数，不是一元一次方程，故本选项不合题意．
故选：．
根据一元一次方程的定义即可求出答案．只含有一个未知数元，且未知数的次数是，这样的整式方程叫一元一次方程．
本题考查一元一次方程的定义，解题的关键是正确运用一元一次方程的定义，本题属于基础题型．
 

2.【答案】 

【解析】解：反比例函数，，
A、函数图象分别位于第二、四象限，故本选项说法正确；
B、函数图象关于原点成中心对称，故本选项说法正确；
C、由于，故函数图象不经过点，故本选项说法不正确；
D、当，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大，故本选项说法正确；
故选：．
根据反比例函数图象上点的坐标特征对选项进行判断；根据反比例函数的性质对、、进行判断．
本题考查了反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
根据平行线分线段成比例定理得到比例式，再根据：：，，可计算出的长．
本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是掌握：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故选：．
首先进行移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式
配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
∽，
故A正确，不符合题意；
，，
∽，
故B正确，不符合题意；
，
，无法判断∽，
故C符合题意，
，，
∽，
故D正确，不符合题意；
故选：．
根据相似三角形的判定逐一判断即可．
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
反比例函数是常数的图象位于一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，
点，在第三象限，而在第一象限，
，，
，
故选：．
根据的值确定双曲线所在的象限，进而明确函数的增减性，再根据点，，所在的象限，确定、、，大小关系．
考查反比例函数的图象和性质，当时，在每个象限内，随的增大而减小的性质，利用图象法比较直观．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意知：，
∽，
，
，
解得，
水面以上深度为米．
故选：．
由题意知：∽，得出对应边成比例即可得出．
本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意得出∽是解决问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：作轴于，
轴交于点，
，
，
点是的中点，
，
，，
设，则，
，，
，
，
，
故选：．
作轴于，根据平行线分线段成比例定理得出，从而得出，，设，则，从而得到，，，即可求得．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，通过设出的点的坐标依次求出点和点的坐标是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
先计算“”的值．再根的判别式求解．
本题考查了根的判别式，正确计算是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：∽，且，即相似三角形的相似比是
的周长为
的周长为．
根据相似三角形周长的比等于相似比求解．
本题考查对相似三角形性质的理解．相似三角形周长的比等于相似比．
 

11.【答案】 

【解析】解：是方程的解，
，
即，



．
故答案为：．
先利用一元二次方程的解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

12.【答案】 

【解析】解：设力牛与此物体在力的方向上移动的距离米的函数关系式为
，
把点代入得
所以当牛时，米．
故答案为：．
根据图象可知，反比例函数图象上的点满足函数关系式，从而求得函数解析式，再求当时，的值．
本题考查反比例函数系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
由题意得，轴，
又，
，
，
，
反比例函数的图象位于第二象限，
，
故答案为：．
根据的面积为，可以得到的面积也是，再根据反比例函数的几何意义和所在的象限，确定的值，得到函数解析式．
本题考查了反比例函数的系数的几何意义，反比例函数的图象和性质，理解反比例函数的系数的几何意义和图象所在的象限是解决问题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：新注册用户数的年平均增长率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
新注册用户数的年平均增长率为．
故答案为：．
设新注册用户数的年平均增长率为，利用年的新注册用户数为万平均增长率年的新注册用户数为万，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设裙子的腰节到脚尖的距离为，
以裙子腰节为分界点，身材比例正好符合黄金分割，已知从脚尖到头顶高度为，
，
，
即裙子的腰节到脚尖的距离为，
故答案为：．
设裙子的腰节到脚尖的距离为，根据黄金分割的定义得，再计算即可．
本题考查了黄金分割的定义，熟记黄金分割的比值是解题的关键．
 

16.【答案】 ；
． 

【解析】解：如图，连接交于点，

四边形是矩形，
，
，
，
，
又，，
在和中，
，
，
，
又，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
即，
当时，的长为．
故答案为：；
如图，因为，所以当点与点重合时，长最小，

在矩形中，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
．
故答案为：．
本题主要考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质、矩形的性质．
连接交于点，证明，可得，得是的垂直平分线，然后证明∽，对应边成比例即可求出的长；
当点与点重合时，长最小，由∽，可得，进而可得的长．
 

17.【答案】解：，
，，，
，
，
，．
，
，
或，
，． 

【解析】利用公式法求解即可；
利用因式分解法求解即可．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
 

18.【答案】证明：令小方格的一边长为，
则在中，，，，
在中，，，，
，，，
∽． 

【解析】令小方格的一边长为，利用格点三角形的知识，分别求出两个三角形的边长，继而可判定相似，
本题考查了相似三角形的判定及勾股定理的知识，求出各三角形的边长是解答本题的关键．
 

19.【答案】解：证明：在方程中，，
方程有两个不相等的实数根．
，为方程的两个实数根，
，
，
，．
将代入中，得：，
解得：．
答：方程的两个实数根为和，的值为． 

【解析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出，由此即可证出结论；
根据根与系数的关系可得出，结合即可求出方程的两个根，再将其中一个根代入原方程中即可求出的值．
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，牢记两根之和为是解题的关键．
 

20.【答案】解：把代入中，
得，
点的坐标为，
把点代入中，
得，
正比例函数的表达式为；
过点作轴，交直线为，
点与点关于原点对称，点，
点的坐标为，
将点向下平移个单位得到点，
点的坐标为，
把代入得，，
，
，
． 

【解析】先把代入代入中，即可算出点的坐标，再把点的坐标代入正比例函数解析式中即可得出答案；
过点作轴，交直线为，根据反比例函数与正比例函数的性质可得点的坐标，进而求得点的坐标，即可求得，再根据三角形面积计算方法即可得出答案．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求正比例函数的解析式，平移的性质，三角形的面积，求得、点坐标是解决本题的关键．
 

21.【答案】解：四边形是平行四边形，
，
，
∽，
，
，
；
∽，
，
的面积为，
的面积是，
四边形是平行四边形，
，
∽，
，
的面积，
平行四边形的面积． 

【解析】证明∽，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可解答；
根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得的面积是，同理可得的面积，根据面积差可得答案．
本题主要平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题关键．
 

22.【答案】解：；；
令，
化简得，，
即，解得或．
答：当定为或时，才能使该店每天获取的利润是元． 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解总利润的计算方法，并用相关的量表示出来．
每个风铃的利润等于原来利润减去零售单价下降的钱数即可得到；每天的销售量等于原有销售量加上增加的销售量即可；
利用总利润等于销售量乘以每个的利润即可得到方程求解．
【解答】
解：零售单价下降元后，每个风铃的利润为元，
该店平均每天可卖出个．
故答案为，；
见答案．  

23.【答案】解：，，
∽，
，
；

取的中点，连接，设，则，，

是的中点，
，
，
，
∽，
，
即，
，
，
，
；
如图，过作于，延长到，使，连接，
设．
，，
，，
，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
． 

【解析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
取的中点，连接，设，则，，根据三角形的中位线的性质得到，由平行线的性质得到，根据相似三角形的性质得到，求得，即可得到结论；过作于，延长到，使解直角三角形得到，，根据勾股定理得到根据相似三角形的性质得到列方程即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】解：将点的坐标为代入直线中，
得，
解得：，
，
，
反比例函数解析式为，
由，
得或，
点的坐标为；
如图，作轴于点，轴于点，

，
∽，
，
，，
，
，
，
，
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，
则即为的最小值，
易得，
，
，
的最小值为；
存在．理由如下：
当点在轴上时，如图，

设点的坐标为，
过点作轴于点，
，，
∽，
，
，
，
，
，
点的坐标为；
当点在轴上时，过点作轴于点，如图，
设点的坐标为，
，，
∽，
，即，
，
点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或 

【解析】本题是一次函数与反比例函数综合题，考查了待定系数法，轴对称最短路径问题，矩形性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题．
将点的坐标为代入直线中，可求得，进而求得，解方程组，即可求出点的坐标；
如图，作轴于点，轴于点，则，∽，利用相似三角形性质即可求得，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则即为的最小值，运用勾股定理即可求得答案；
分两种情况：当点在轴上时，如图，设点的坐标为，过点作轴于点，证得∽，得到，建立方程求解即可；
当点在轴上时，过点作轴于点，如图，设点的坐标为，证得∽，得到，建立方程求解即可．