2022-2023学年湖北省江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 关于的方程的根的情况(    )

A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不等的实数根 D. 无法确定

3. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 一个菱形两条对角线相差，面积为，设长对角线为，可列方程(    )

A.  B.
C.  D.

5. 对于抛物线，下列说法正确的是(    )

A. 抛物线开口向上 B. 当时，随增大而减小
C. 函数最小值为 D. 顶点坐标为

6. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接当点，，在同一条直线上时，下列结论不正确的是(    )

A. ≌ B.
C.  D.

7. 如图，中，点在上，，分别为所对的圆周角．若，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于的方程的解为(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

9. 如图是某圆弧形桥洞，水面跨径米，小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面处测得桥洞高米，则圆弧所在圆的半径为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

10. 二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与轴的一个交点坐标为下列结论：
    ；
    ；
    图象与轴的另一个交点坐标为；
    关于的一元二次方程有两个相等的实数根；
    ．
    其中正确的结论个数是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 已知点与点关于原点对称，则的值为______．
12. 如图，是半圆的直径，为圆心，是半圆上的点，是上的点，若，则的度数______．

13. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点若，则的度数是______．

14. 如图，是的直径，且于，若，，则______．

15. 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为二倍点．若二次函数为常数在的图象上存在两个二倍点，则的取值范围是______．
16. 二次函数的函数图象如图，点位于坐标原点，点，，，，都在轴的正半轴上，点，，，，都在二次函数位于第一象限的图象上，且，，，都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则的斜边长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    解方程：
    ；
    ．
18. 本小题分
    如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图保留作图痕迹．
    在图中作的角平分线；
    在图中过点作一条直线，使点，到直线的距离相等．
19. 本小题分
    如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，交于点若，求的长．

20. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的图象经过点、，与轴交于点．
    求抛物线的解析式；
    将抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到抛物线，抛物线的顶点为，求的面积．

21. 本小题分
    如图，是的直径，点为上一点，为弧的中点，过作于点，交于点，交弦于点，连接，．
    求证：．
    若，，求的半径．

22. 本小题分
    某网店销售一种儿童玩具，进价为每件元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的在销售过程中发现：当销售单价为元时，每天可售出件，若销售单价每提高元，则每天销售量减少件．设销售单价为元销售单价不低于元
    当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为多少件？
    求这种儿童玩具每天获得的利润元与销售单价元之间的函数表达式；
    当销售单价为多少元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
23. 本小题分
    如图，和都是等腰直角三角形，．
    猜想：如图，点在上，点在上，线段与的数量关系是______ ，位置关系是______ ；
    探究：把绕点旋转到如图的位置，连接，，中的结论还成立吗？说明理由；
    拓展：把绕点在平面内自由旋转，若，，当，，三点在同一直线上时，则的长是______ ．
     
24. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点点在点的左侧，点关于轴的对称点为．
    当时，求，两点的坐标；
    连接，，，，若的面积与的面积相等，求的值；
    试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
 

2.【答案】 

【解析】解：



，
无论取何值，，
即无论取何值，，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
计算，然后根据时，方程有两个不相等的两个实数根进行判断即可．
本题考查了利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
 

3.【答案】 

【解析】解：将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线是：，即．
故选：．
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：设长对角线为，则短对角线为，可列方程：
．
故选：．
直接利用菱形面积求法得出一元二次方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确掌握菱形面积求法是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点为，函数最大值为，
当时，随增大而减小，
故B选项说法正确，、、选项的说法错误；
故选：．
根据的符号求得开口方向，根据二次函数的顶点式确定抛物线的顶点坐标，即可求解．
本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由旋转的性质得出，，，
点，，在同一条直线上，
，≌，，
，故选项A，，C正确，D错误，
故选：．
由旋转的性质和等腰直角三角形的判定和性质即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是掌握旋转的性质．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
根据圆周角定理求出，再根据弧、圆周角的关系求解即可．
此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由图象可知，关于的方程的解，就是抛物线与直线的两个交点坐标分别为，的横坐标，即，．
故选：．
利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标．
本题考查抛物线与轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，属于中考常考题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，取圆心，连接，，，，

，，
，，
，
设半径为米，则米，
在中，根据勾股定理得，
，
即，
解得，
圆弧所在圆的半径米．
故选：．
取圆心，连接，，，，根据圆周角定理得，设半径为米，则米，在中，根据勾股定理得，解得，圆弧所在圆的半径米．
本题主要考查了圆周角定理以及勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，由勾股定理得出方程是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图可知：，，，
，
，故不符合题意．
由题意可知：，
，故符合题意．
对称轴为直线，且与轴的一个交点坐标为，
图象与轴的另一个交点坐标为，故符合题意．
由图象可知：二次函数的最小值小于，
令代入，
有两个不相同的解，故不符合题意；
将代入，
，
，
，故符合题意．
故选：．
根据对称轴、开口方向、与轴的交点位置即可判断；然后根据抛物线的对称性得即可判断；由对称轴可知即可判断；由二次函数最小值小于，从而可判断有两个不相同的解即可判断；图象过代入二次函数中可得，再由即可判断．
本题考查二次函数的图象与系数的关系，抛物线与轴的交点，函数与方程的关系，解题的关键是正确地由图象得出、、的数量关系，本题属于基础题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：点与点关于原点对称，
，，
．
故答案为：．
利用关于原点对称的点的坐标特征得到，，从而得到的值．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故答案为：．
求出，再利用圆内接四边形的性质求解即可．
本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

13.【答案】 

【解析】解：由旋转的性质可知，，，，，
，
，，
，
．
．
．
故答案为：．
由旋转的性质可知，，，，，因为，所以，，由三角形内角和可得，所以再由三角形内角和定理可知，．
本题主要考查旋转的性质，三角形内角和等相关内容，由旋转的性质得出和的角度是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
，，
，过圆心，
，
，
是的直径，
，
，
故答案为：．
根据含度角的直角三角形的性质求出，根据垂径定理求出，求出，根据圆周角定理求出，，再根据含度角的直角三角形的性质得出即可．
本题考查了含度角的直角三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能熟记圆周角定理是解此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意可得二倍点所在直线为，
将代入得，
将代入得，
设，，如图，

联立方程，
当时，抛物线与直线有两个交点，
即，
解得，
此时，直线和直线与抛物线交点在点，上方时，抛物线与线段有两个交点，
把代入得，
把代入得，
，
解得，
满足题意．
故答案为：．
由点的纵坐标是横坐标的倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图所示，过点，，分别作轴的垂线，垂足分别为，，，
，，都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，
，
所在直线的解析式为：，
由，得，
，
，
直线为：，
由，得，
，
，
直线为：，
由，得，
，
，
由上面，，，可以看出这些直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形的斜边长依次加，
的斜边长为，
故答案为：．
过点，，分别作轴的垂线，垂足分别为，，，分别写出直线、直线、直线的解析式，将它们分别与联立，求得点，，的坐标，从而可得，，，发现规律后，按照规律即可求得的斜边长．
本题考查了二次函数与一次函数及等腰直角三角形等知识点的综合运用，同时也考查了解方程组，本题具有一定的综合性及难度．
 

17.【答案】解：，
，
或，
，．
，
，
或，
，． 

【解析】移项，提取公因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
 利用十字相乘法首先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查解一元二次方程因式分解法，掌握因式分解是解本题的关键．
 

18.【答案】解：如图中，射线即为所求；
如图中，直线即为所求．
 

【解析】连接，取的中点，作射线即可；
利用是相结合的射线画出图形即可．
本题考查作图应用与设计作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

19.【答案】解：绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，． 

【解析】根据旋转的性质和勾股定理即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

20.【答案】解：的图象经过点、，
，
解得，
抛物线的解析式为；
，
抛物线的顶点坐标为，轴交于点，
将抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到抛物线，
抛物线的顶点的坐标为，
的面积为． 

【解析】把点、代入，解方程组即可得到结论；
根据平移规律得到点的坐标，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
 

21.【答案】证明：是的中点，
，
为的直径，，
，
，
，，
≌，
；

解：如图，连接交于点，

为的直径，，
，
，
，
设的半径为，则，
在中，由勾股定理得：，
，
，
的半径为． 

【解析】根据证明≌，可得结论；
先根据垂径定理可得，设的半径为，利用勾股定理求解即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识，解答本题的关键是掌握垂径定理，难度适中．
 

22.【答案】解：，
，
当时，每天的销售量为件，
当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为件；
根据题意得，，
这种儿童玩具每天获得的利润元与销售单价元之间的函数表达式为；
，
，对称轴，
，
当时，，
答：当销售单价为时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是元． 

【解析】根据儿童玩具进价为每件元，每件儿童玩具的销售利润不高于进价的，求出的取值范围；
根据总利润每件利润销售量列出函数解析式；
根据中解析式，由函数的性质和的取值范围求出最大值．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
 

23.【答案】解：  ；
中结论仍然成立，理由：
由旋转知，，
，，
在与中

≌，
，，
如图，与的交点记作点，与的交点记作点，
，
，
，
，
，
，
；
或． 

【解析】解：和都是等腰直角三角形，，
，，
，
，
点在上，点在上，且，
，
故答案为，；

见答案．

当点在线段上时，如图，
过点作于，
是等腰直角三角形，且，
，
在中，，
根据勾股定理得，，
；
当点在线段的延长线上时，如图，
过点作于，
是等腰直角三角形，且，
，
在中，，
根据勾股定理得，，
；
综上，的长为或，
故答案为或．
利用等腰直角三角形的性质得出，，在做差，得出，再用，即可得出结论；
先由旋转的旋转得出，进而判断出≌，得出，，与的交点记作点，与的交点记作点，进而得出，即可得出结论；
分两种情况，当点在线段上时，过点作于，求出，再用勾股定理求出，即可得出结论；
当点在线段的延长线上时，过点作于，求出，再由勾股定理求出根据勾股定理得，，即可得出结论．
此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的旋转，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．
 

24.【答案】解：当时，直线为，
由得：或，
，；
当时，如图：

的面积与的面积相等，
，
，
、关于轴对称，
，，
，
，
，，
≌，
，
在中，令得，
，，
，，
在中，令得，
解得或，
，
把代入得：
，
解得；
当时，过作交轴于，如图：

在中，令得，
，，
的面积与的面积相等，
，
、关于轴对称，
，，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，，
在中，令得，
解得或，
，
把代入得：
，
解得，
综上所述，的值为或；
直线经过定点，理由如下：
由得：
或，
，，
、关于轴对称，
，
设直线解析式为，将，代入得：
，
解得，
直线解析式为，
令得，
直线经过定点． 

【解析】当时，直线为，联立解析式解方程组即得，；
分两种情况：当时，根据的面积与的面积相等，知，可证明≌，得，，可求，即可得；
当时，过作交轴于，由的面积与的面积相等，可得，证明≌，可得，，从而，即可得；
由得，，可得，设直线解析式为，将，可得直线解析式为，从而可得直线经过定点．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，对称变换，三角形全等的判定与性质等知识，解题的关键是根据已知求出点的坐标．