专题15 几何最值之费马点巩固练习（提优）-2021年中考数学几何专项复习（学生版与教师版）

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几何最值之费马点巩固练习(提优)1. 如图，P是锐角△ABC所在平面上一点，如果∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P就叫做△ABC费马点。(1)当△ABC是边长为4的等边三角形时，费马点P到BC边的距离为               ；(2)若点P是△ABC的费马点，∠ABC＝60°，PA＝2，PC＝3，则PB的值为           ；(3)如图2，在锐角△BC外侧作等边△ACB'，连接BB'.求证：BB'过△ABC的费马点P.  2. 如图1，P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点：(1)若点P是等边三角形三条中线的交点，点P          (填是或不是)该三角形的费马点；(2)如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC＝60°，求证：△ABP∽△BCP；(3)已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P点，如图2，①求∠CPD的度数；②求证：P点为△ABC的费马点. 3. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为，延长AC到点D， 使CD＝，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E.(1)求D点的坐标；                              (2)作C点关于直线DE的对称点F，分别连结DF、EF，若过B点的直线将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；                         (3)设G为y轴上一点，点P从直线与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短．4. 如图，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM.以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到，连接EN.(1)求证：△AMB≌△ENB；(2)若AM＋BM＋CM的值最小，则称点M为△ABC的费马点。若点M为△ABC的费马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数.5. 已知锐角△ABC，∠ACB＝60°，分别以三边为边向形外作等边三角形ABD，BCE，ACF，请找出△ABC的费马点，并探究S△ABC与S△ABD的和，S△BCE与S△ACF的和是否相等.