尺规作图 （试题）2023年中考数学专题复习 人教版

这是一份尺规作图 （试题）2023年中考数学专题复习 人教版，共25页。试卷主要包含了用三角尺可以画角平分线等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学专题复习--尺规作图
一．选择题（共10小题）
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P．连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中：①AD平分∠BAC；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④S△ABD＝2S△ACD．其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，以∠CAB顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，作射线AD，则说明∠CAD＝∠DAB的依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
3．用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM＝ON，再过点M画OA的垂线，过点N画OB的垂线，两垂线交于点P，画射线OP．可以得到△OMP≌△ONP，所以∠AOP＝∠BOP．那么射线OP就是∠AOB的平分线．△OMP≌△ONP的依据是（　　）

A．SAS B．ASA C．HL D．SSS
4．过△ABC的顶点A，作BC边上的高，下列作法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图所示，利用尺规作∠AOB的平分线，做法如下：①在OA、OB上分别截取OD、OC，使OD＝OC；②分别以D、C为圆心，大于DC的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于一点E；③画射线OE，射线OE就是∠AOB的角平分线．在用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是（　　）

A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
6．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，BG＝1，AC＝3，则△ACG的面积是（　　）

A．1 B． C．2 D．
7．在△ABC的BC边上找一点P，使得PA+PC＝BC．下面找法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．小华利用已学知识用尺规作一个角等于已知角，具体情况如图所示，则小华得到△OCD与△O'C'D'全等的依据是（　　）

A．AAS B．ASA C．SAS D．SSS
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D．若BD＝3，BC＝5，则点D到AB边的距离是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在长方形中，∠ACB＝72°，依据尺规作图的痕迹，则∠α的度数是（　　）．

A．126° B．72° C．63° D．54°
二．填空题（共5小题）
11．如图，长方形OABC中，OC＝12，OA＝5．以原点O为圆心，对角线OB长为半径画弧交数轴于点D，则数轴上点D表示的数是 　 　．

12．如图，∠AOB＝30°，以点O为圆心，任意长为半径作弧分别交OB，OA于点C，D，分别以点C，D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧交于点E，过E点作EF∥OB，EG⊥OB于点G，若OF＝2，则EG的长为 　 　．

13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则S△DAC：S△ABC＝　 　．

14．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角的过程中，依据全等三角形的性质可得∠O＝∠O'，这里判断△C'O'D'≌△COD的依据是 　 　．

15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P；③作射线BP，交AC于点D．若S△ABD＝16，AB＝8，则线段CD的长为 　 　．

三．解答题（共6小题）
16．尺规作图．在三角形ABC中，以点A为顶点作菱形ADEF，使点D、E、F分别在边AC、BC和AB上．
17．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：

（1）在图1中画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图2中画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数；
（3）在图3中画一个等腰三角形，使它的三边长都是无理数（和图2画的三角形不全等）．

18．小明在做浙教版七上课本第75页第6题：“利用如图4×4方格（每个方格边长为1），作出面积为8的正方形”时，发现利用分割正方形的方法，可以作出面积为8的正方形（如图1阴影部分），进一步开展探究活动：
[探究1]图1中正方形边长为 　 　．
[探究2]仿照上述作法，小明又作出一个正方形（如图2阴影部分），则该正方形面积为 　 　，边长为 　 　．
[探究3]如图3，是5×5方格（每个方格边长为1），仿照上述作法，请你画出一个面积为13的正方形．


19．岳池县体育馆今夏外围绿化施工，有一块三角形空地，要在上面栽种四种不同的花草，需将该空地分成面积相等的四块，请你设计出三种不同的划分方案．


20．如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D．
（1）用尺规完成以下基本作图：作AD的垂直平分线分别与AB、AC、AD交于点E、点F、点H．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，连接DE、DF，完成下面证明HE＝HF的过程．
证明：∵∠BAC的角平分线交BC于点D，
∴∠BAD＝①　 　．
∵EF垂直平分AD，
∴∠AHF＝∠DHE＝90°，
AH＝②　 　，
③　 　，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴△AHF≌④　 　（ASA）．
∴HE＝HF．

21．如图，在直角坐标系中A（﹣3，4）、B（2，1）、C（3，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC；
（2）三角形ABC的面积为　 　；
（3）P是x轴上的动点，则PA+PB的最小值为 　 　．


2023年中考数学专题复习--尺规作图
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P．连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中：①AD平分∠BAC；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④S△ABD＝2S△ACD．其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由题意得AD是∠BAC的平分线，可判断说法①；由已知条件可得∠BAC＝60°，则∠CAD＝∠BAD＝∠BAC＝30°，根据∠ADC＝∠B+∠BAD可判断说法②；过点D作DE⊥AB于点E，易知△ABD为等腰三角形，则DE为△ABD的中线，即点D在AB的垂直平分线上，可判断说法③；证明△ACD≌△AED，△ADE≌△BDE，可得S△ACD＝S△ADE＝S△BDE，即可判断说法④．
【解答】解：由题意可得，AD是∠BAC的平分线，
故说法①正确；
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC＝30°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝60°，
故说法②正确；
过点D作DE⊥AB于点E，

∵∠B＝∠BAD＝30°，
∴△ABD为等腰三角形，
∴DE为△ABD的中线，
∴点D在AB的垂直平分线上，
故说法③正确；
∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝∠AED＝90°，
∴CD＝DE，
∵∠CAD＝∠BAD，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴S△ACD＝S△ADE，
∵∠AED＝∠BED＝90°，AE＝BE，DE＝DE，
∴△ADE≌△BDE（SAS），
∴S△ADE＝S△BDE，
∴S△ACD＝S△ADE＝S△BDE，
∴S△DAC：S△ABC＝1：3，
∴S△ABD＝2S△ACD．
故说法④正确．
∴正确的说法有4个，
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，尺规作图、角平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
2．如图，以∠CAB顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，作射线AD，则说明∠CAD＝∠DAB的依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【分析】根据作图过程可得，AF＝AE，DF＝DE，又AD＝AD，可以证明△FAD≌△EAD，即可得结论．
【解答】解：根据作图过程可知：
AF＝AE，DF＝DE，
又AD＝AD，
∴△FAD≌△EAD（SSS），
∴∠CAD＝∠BAD．
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
3．用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM＝ON，再过点M画OA的垂线，过点N画OB的垂线，两垂线交于点P，画射线OP．可以得到△OMP≌△ONP，所以∠AOP＝∠BOP．那么射线OP就是∠AOB的平分线．△OMP≌△ONP的依据是（　　）

A．SAS B．ASA C．HL D．SSS
【分析】根据作图过程可以证明Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），进而可得结论．
【解答】解：∵∠OMP＝∠ONP＝90°，
在Rt△OMP和Rt△ONP中，
，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
∴∠POM＝∠PON，
∴射线OP就是∠AOB的平分线．
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，作图﹣复杂作图，角平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
4．过△ABC的顶点A，作BC边上的高，下列作法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
【解答】解：△ABC中BC边上的高的是D选项．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．
5．如图所示，利用尺规作∠AOB的平分线，做法如下：①在OA、OB上分别截取OD、OC，使OD＝OC；②分别以D、C为圆心，大于DC的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于一点E；③画射线OE，射线OE就是∠AOB的角平分线．在用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是（　　）

A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
【分析】利用基本作图得到OC＝OD，CE＝DE，加上OE为公共边，则利用“SSS”可判断△OCE≌△ODE，从而得到∠EOC＝∠EOD．
【解答】解：由作法得OC＝OD，CE＝DE，
而OE＝OE，
所以△OCE≌△ODE（SSS），
所以∠EOC＝∠EOD，
即射线OE就是∠AOB的角平分线．
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．
6．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，BG＝1，AC＝3，则△ACG的面积是（　　）

A．1 B． C．2 D．
【分析】利用基本作图得到AG平分∠BAC，利用角平分线的性质得到G点到AC的距离为1，然后根据三角形面积公式计算△ACG的面积．
【解答】解：由作法得AG平分∠BAC，
∴G点到AC的距离等于BG的长，即G点到AC的距离为1，
所以△ACG的面积＝×3×1＝．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．
7．在△ABC的BC边上找一点P，使得PA+PC＝BC．下面找法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先利用已知条件证明PA＝PB，根据线段垂直平分线的性质得到P点为AB的垂直平分线与BC的交点，然后利用基本作图对各选项进行判断．
【解答】解：∵PA+PC＝BC，
而BC＝BP+PC，
∴PA＝PB，
∴P点为AB的垂直平分线与BC的交点．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
8．小华利用已学知识用尺规作一个角等于已知角，具体情况如图所示，则小华得到△OCD与△O'C'D'全等的依据是（　　）

A．AAS B．ASA C．SAS D．SSS
【分析】利用作图痕迹得到OC＝OD＝OC′＝OD′，CD＝C′D′，则根据全等三角形的判定方法得到△OCD≌△O'C'D'，所以有∠O＝∠O′，
【解答】解：由作图痕迹得OC＝OD＝OC′＝OD′，CD＝C′D′，
所以△OCD≌△O'C'D'（SSS），
所以∠O＝∠O′．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定．
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D．若BD＝3，BC＝5，则点D到AB边的距离是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由作法得AD平分∠BAC，过D点作DH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到DH＝DC．
【解答】解：∵BD＝3，BC＝5，
∴DC＝BC﹣BD＝2，
由作法得AD平分∠BAC，
过D点作DH⊥AB于H，如图，
∵AD平分∠BAD，∠C＝90°，DH⊥AB，
∴DH＝DC＝2，．
故选：B．

【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握角平分线的尺规作图和角平分线的性质．
10．如图，在长方形中，∠ACB＝72°，依据尺规作图的痕迹，则∠α的度数是（　　）．

A．126° B．72° C．63° D．54°
【分析】依据作图痕迹可得，EF是AC的垂直平分线，BE是∠BAD的角平分线．根据对顶角相等、平行线的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠α的度数．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝72°，
又∵AE平分∠DAC，
∴∠EAC＝∠DAC＝36°，
又∵EF垂直平分AC，
∴∠AFE＝90°，
∴∠AEF＝54°，
∴∠α＝54°，
故选：D．

【点评】本题主要考查了基本作图，线段垂直平分线以及角平分线的定义，掌握对顶角相等、平行线的性质以及三角形内角和定理是解决问题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．如图，长方形OABC中，OC＝12，OA＝5．以原点O为圆心，对角线OB长为半径画弧交数轴于点D，则数轴上点D表示的数是 　﹣13　．

【分析】利用作法得到OD＝OB，再利用勾股定理得到OB＝13，则OD＝13，然后利用数轴表示数的方法得到点D表示的数．
【解答】解：由作法得OD＝OB，
∵四边形ABCO为矩形，
∴∠BCO＝90°，
∵OC＝12，OA＝5，
∴OB＝＝13，
∴OD＝13，
∴数轴上点D表示的数是﹣13．
故答案为：﹣13．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了数轴和勾股定理．
12．如图，∠AOB＝30°，以点O为圆心，任意长为半径作弧分别交OB，OA于点C，D，分别以点C，D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧交于点E，过E点作EF∥OB，EG⊥OB于点G，若OF＝2，则EG的长为 　1　．

【分析】过E点作EH⊥OA于H，如图，利用基本作图得到OE平分∠AOB，根据角平分线的性质得到∠HOE＝∠EOG，EG＝EH，再根据平行线的性质得到∠EFH＝30°，∠FEO＝∠EOG，接着证明FE＝FO＝2，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系得到EH的长，从而得到EG的长．
【解答】解：过E点作EH⊥OA于H，如图，
由作法得OE平分∠AOB，则∠HOE＝∠EOG，
∵EG⊥OB，EH⊥OA，
∴EG＝EH，
∵EF∥OB，
∴∠EFH＝∠AOB＝30°，∠FEO＝∠EOG，
∴∠HOE＝∠FEO，
∴FE＝FO＝2，
在Rt△EFH中，∵∠EFH＝30°，
∴EH＝EF＝1．
故答案为：1．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行线的性质和角平分线的性质．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则S△DAC：S△ABC＝　1：3　．

【分析】利用基本作图得AD平分∠BAC，利用角平分线的定义计算出∠BAD＝∠CAD＝30°，由∠BAD＝∠B得到DA＝DB，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AD＝2CD，则BD＝2CD，所以BC＝3CD，然后根据三角形面积公式可得结论．
【解答】解：由作法可知：AD平分∠BAC，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵∠BAD＝∠CAD＝30°，
∵∠BAD＝∠B，
∴DA＝DB，
∵AD＝2CD，
∴BD＝2CD，
∴BC＝3CD，
∴S△DAC：S△ABC＝1：3，
故答案为：1：3．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握基本作图方法是解决问题的关键．
14．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角的过程中，依据全等三角形的性质可得∠O＝∠O'，这里判断△C'O'D'≌△COD的依据是 　SSS　．

【分析】利用作图痕迹得OC＝OD＝OC′＝OD′，CD＝C′D′，则根据“SSS”可判断△C'O'D'≌△COD，从而得到∠O＝∠O′．
【解答】解：由作图痕迹得OC＝OD＝OC′＝OD′，CD＝C′D′，
∴△C'O'D'≌△COD（SSS），
∴∠O＝∠O′．
故答案为：SSS．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P；③作射线BP，交AC于点D．若S△ABD＝16，AB＝8，则线段CD的长为 　4　．

【分析】过D点作DH⊥AB于H，如图，利用基本作图得到BD平分∠ABC，则根据角平分线的性质得到DH＝DC，再利用三角形面积公式计算出DH，从而得到DC的长．
【解答】解：过D点作DH⊥AB于H，如图，
由作法得BD平分∠ABC，
∴DH＝DC，
∵S△ABD＝16，
∴AB•DH＝16，
∴DH＝＝4，
∴DC＝4．
故答案为：4．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质．
三．解答题（共6小题）
16．尺规作图．在三角形ABC中，以点A为顶点作菱形ADEF，使点D、E、F分别在边AC、BC和AB上．
【分析】作△ABC的角平分线AE，作线段AE的垂直平分线交AB于D，交AC于F，连接DE，EF，四边形ADEF即为所求
【解答】解：先作∠BAC的平分线交BC边于点E，再作线段AE的垂直平分线交AC于点D，交AB于点F，
连接DE、EF，
则四边形ADEF即为所求．
证明：△EAD≌△EAF（SAS），则FA＝DA，
而由线段的垂直平分线的性质可得DA＝DE、FA＝FE，
∴FA＝DA＝DE＝FE，
∴四边形ADEF为菱形，
则菱形ADEF即为所求作的菱形．

【点评】本题考查了菱形的判定和线段的垂直平分线的性质在几何作图中的应用，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
17．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：

（1）在图1中画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图2中画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数；
（3）在图3中画一个等腰三角形，使它的三边长都是无理数（和图2画的三角形不全等）．

【分析】（1）画一个边长3，4，5的三角形即可；
（2）利用勾股定理，找长为、2、的线段，画三角形即可．
（3）利用勾股定理作一个边长为的正方形即可得．
【解答】解：（1）如图1所示，Rt△ABC即为所求；

（2）如图所示，Rt△DEF即为所求；
（3）如图所示，OPQ即为所求．

【点评】此题主要考查了作图与应用作图．本题需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理即可解决．
18．小明在做浙教版七上课本第75页第6题：“利用如图4×4方格（每个方格边长为1），作出面积为8的正方形”时，发现利用分割正方形的方法，可以作出面积为8的正方形（如图1阴影部分），进一步开展探究活动：
[探究1]图1中正方形边长为 　2　．
[探究2]仿照上述作法，小明又作出一个正方形（如图2阴影部分），则该正方形面积为 　10　，边长为 　　．
[探究3]如图3，是5×5方格（每个方格边长为1），仿照上述作法，请你画出一个面积为13的正方形．


【分析】[探究1]利用勾股定理求解；
[探究2]利用勾股定理求出正方形的边长即可；
[探究3]利用数形结合的思想解决问题即可．
【解答】解：[探究1]图1中，正方形的边长＝＝2．
故答案为：2．
[探究2]如图2中，正方形的边长＝＝10，面积为10．
故答案为：10，；
[探究3]如图3中，正方形ABCD即为所求．


【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
19．岳池县体育馆今夏外围绿化施工，有一块三角形空地，要在上面栽种四种不同的花草，需将该空地分成面积相等的四块，请你设计出三种不同的划分方案．


【分析】图（1）中取AB，BC，AC的中点E，D，F，连接AD，DE，DF即可；
图（2）中取AB，BC，AC的中点E，D，F，连接EF，DE，DF即可；
图（3）中取线段BC的三等分点D，E，F，连接AD，AE，AF即可．
【解答】解：图形如图所示：


【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D．
（1）用尺规完成以下基本作图：作AD的垂直平分线分别与AB、AC、AD交于点E、点F、点H．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，连接DE、DF，完成下面证明HE＝HF的过程．
证明：∵∠BAC的角平分线交BC于点D，
∴∠BAD＝①　∠CAD　．
∵EF垂直平分AD，
∴∠AHF＝∠DHE＝90°，
AH＝②　DH　，
③　AE＝DE　，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴△AHF≌④　△DHE　（ASA）．
∴HE＝HF．

【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）根据角平分线定义得到∠BAD＝①∠CAD．根据线段垂直平分线的性质得到∠AHF＝∠DHE＝90°，AH＝②DH，③AE＝DE，根据全等三角形 的判定和性质是解题的关键．
【解答】解：（1）直线EF即为所求；
（2）证明：∵∠BAC的角平分线交BC于点D，
∴∠BAD＝①∠CAD．
∵EF垂直平分AD，
∴∠AHF＝∠DHE＝90°，
AH＝②DH，
③AE＝DE，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴△AHF≌④△DHE（ASA）．
∴HE＝HF．
故答案为：∠CAD，DH，AE＝DE，△DHE．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线定义，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确都作出图形是解题的关键．
21．如图，在直角坐标系中A（﹣3，4）、B（2，1）、C（3，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC；
（2）三角形ABC的面积为　　；
（3）P是x轴上的动点，则PA+PB的最小值为 　5　．

【分析】（1）根据A（﹣3，4）、B（2，1）、C（3，3），即可在平面直角坐标系中画出△ABC；
（2）根据割补法即可求出三角形ABC的面积；
（3）找点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，可得PA+PB的最小值为AB′的长即可．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求；

（2）三角形ABC的面积＝4×6﹣×3×5﹣×1×2﹣×1×6＝；
故答案为：；
（3）如图，点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，
∴PB＝PB′，
∴PA+PB的最小值＝AB′＝＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，坐标与图形性质，三角形的面积，轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．