2021-2022学年湖北省武汉市硚口区九年级元月调考数学模拟试卷(含答案)

这是一份2021-2022学年湖北省武汉市硚口区九年级元月调考数学模拟试卷(含答案)，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年湖北省武汉市硚口区九年级元月调考数学模拟试卷
一、选择题。（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）若2是关于的方程的一个根，则　　
A．2 B．4 C． D．
2．（3分）下列图案是历届冬奥会会徽，其中是中心对称图形的是　　
A． B． C． D．
3．（3分）桌上倒扣着背面相同的5张扑克牌，其中3张黑桃、2张红桃．从中随机抽取一张，则　　
A．能够事先确定抽取的扑克牌的花色
B．抽到黑桃的可能性更大
C．抽到黑桃和抽到红桃的可能性一样大
D．抽到红桃的可能性更大
4．（3分）关于方程的根的说法正确的是　　
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．两实数根的和为 D．两实数根的积为3
5．（3分）以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：与飞行时间（单位：之间具有函数关系．若小球在第1秒与第3秒高度相等，则下列四个时间中，小球飞行高度最高的时间是　　
A．第1.9秒 B．第2.2秒 C．第2.8秒 D．第3.2秒
6．（3分）一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是　　
A． B． C． D．
7．（3分）如图，在中，，．将绕着点逆时针方向旋转得，其中，、分别为与的中线，则　　

A． B． C． D．
8．（3分）童威把三张形状大小相同但画面不同的风景图片都按相同的方式剪成相同的三段，然后将三段上、三段中、三段下分别混合洗匀为“上、中、下”三堆图片，从这三堆图片中各随机抽取一张，则恰好能组成一张完整风景图片的概率是　　
A． B． C． D．
9．（3分）如图，为的一条弦，为上一点，．将劣弧沿弦翻折，交翻折后的弧交于点．若为翻折后弧的中点，则　　

A． B． C． D．
10．（3分）无论为何值，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是　　
A． B． C．或 D．或
二、填空题。（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）点绕原点逆时针旋转对应点的坐标是 　　．
12．（3分）若一个人患了流感，经过两轮传染后共有36个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了 　　个人，按照这样的传染速度，三轮传染后共有 　　个人患了流感．
13．（3分）如图，是一个圆盘及其内接正六边形，随机往圆盘内投飞镖，则飞镖落在正六边形内的概率是 　　．

14．（3分）如图，是编号为1、2、3、4的跑道，每条跑道由两条直的跑道和两端是半圆形的跑道组成，每条跑道宽，内侧的1号跑道长度为，则2号跑道比1号跑道长 　　；若在一次比赛中（每个跑道都由一个半圆形跑道和部分直跑道组成），要使得每个运动员到达同一终点线，则4号跑道起跑点比2号跑道起跑点应前移 　　取．

15．（3分）下列关于二次函数的四个结论：①当时，抛物线的顶点为；②该函数的图象与轴总有两个不同的公共点；③该函数的最小值的最大值为；④点，、，在该函数图象上，若，，则；其中正确的是 　　．
16．（3分）如图，在中，，，，与、都相切，其半径为1．若在三角线内部沿边顺时针方向滚动到与相切，则点运动的路经长是 　　．

三、解答题。（共8题，共72分）
17．（8分）若关于的一元二次方程一个根为4，求方程另一个根和的值．
18．（8分）如图，将绕点顺时针旋转得到，使得点落在线段上．若，求证：．

19．（8分）不透明的袋子中装有红色小球1个、绿色小球2个，除颜色外无其它差别．
（1）从袋中随机摸出一个小球，直接写出摸到红球的概率；
（2）随机摸出一个小球，记下颜色，放回并摇匀，再随机摸出一个，求两次都摸到绿球的概率．
20．（8分）如图，与都经过、两点，且点在上．记的半径为，的半径为．请用无刻度的直尺，依次完成下列的画图．
（1）画一条直线平分两圆组成的图形的面积；
（2）在图中用阴影部分表示“到点的距离大于等于，且到点的距离小于等于”的点的集合；
（3）在上画点，使是的切线；
（4）在线段上画点，使．

21．（8分）四边形是菱形，经过、、三点（点在上）．
（1）如图1，若是的切线，求的大小；
（2）如图2，若，，与交于点．
①求的半径；
②直接写出的值．

22．（10分）如图，要设计一副宽、长的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为．设每条竖彩条的宽度为，图案中四条彩条所占面积的和为．
（1）求与之间的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）当不小于，不大于时，求的最大值；
（3）童威现在需要制作100张这样图案的卡片，其中彩条部分制作费用为15元，其余部分制作费用为10元，购买材料的总费用为31.2元（不计损耗），直接写出的值．

23．（10分）如图，在和中，，，，点、分别是、的中点，连接、、．
（1）求证：；
（2）求的值；
（3）若四边形的面积为42，周长为，，则　　．

24．（12分）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接、，点在对称轴左侧的抛物线上，若，求点的坐标；
（3）如图2，点为第四象限抛物线上一点，经过、、三点作，的弦轴，求证：点在定直线上．


2021-2022学年湖北省武汉市硚口区九年级元月调考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题。（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）若2是关于的方程的一个根，则　　
A．2 B．4 C． D．
【分析】把代入方程得，然后解关于的方程．
【解答】解：把代入方程得，
解得．
故选：．
【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
2．（3分）下列图案是历届冬奥会会徽，其中是中心对称图形的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：．是中心对称图形，故此选项符合题意；
．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
【点评】本题考查了中心对称图形的定义，能熟记中心对称图形的定义是解题关键．
3．（3分）桌上倒扣着背面相同的5张扑克牌，其中3张黑桃、2张红桃．从中随机抽取一张，则　　
A．能够事先确定抽取的扑克牌的花色
B．抽到黑桃的可能性更大
C．抽到黑桃和抽到红桃的可能性一样大
D．抽到红桃的可能性更大
【分析】要求可能性的大小，只需求出各自所占的比例大小即可．求比例时，应注意记清各自的数目．
【解答】解：、因为袋中扑克牌的花色不同，所以无法确定抽取的扑克牌的花色，故本选项错误；
、因为黑桃的数量最多，所以抽到黑桃的可能性更大，故本选项正确；
、因为黑桃和红桃的数量不同，所以抽到黑桃和抽到红桃的可能性不一样大，故本选项错误；
、因为红桃的数量小于黑桃，所以抽到红桃的可能性小，故本选项错误．
故选：．
【点评】本题考查的是可能性的大小，熟知随机事件发生的可能性（概率）的计算方法是解答此题的关键．
4．（3分）关于方程的根的说法正确的是　　
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．两实数根的和为 D．两实数根的积为3
【分析】先计算根的判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况．
【解答】解：△，
方程没有实数根．
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△方程有两个不相等的实数根；（2）△方程有两个相等的实数根；（3）△方程没有实数根．
5．（3分）以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：与飞行时间（单位：之间具有函数关系．若小球在第1秒与第3秒高度相等，则下列四个时间中，小球飞行高度最高的时间是　　
A．第1.9秒 B．第2.2秒 C．第2.8秒 D．第3.2秒
【分析】根据抛物线具有对称性和二次函数的性质，可以得到该抛物线对称轴及开口方向，然后根据各个选项中的数据，可以判断出当等于多少时，高度最高．
【解答】解：小球的飞行高度（单位：与飞行时间（单位：之间具有函数关系，小球在第1秒与第3秒高度相等，
该抛物线开口向下，对称轴是直线，
，，，，
在选项中的四个时间中，当时，小球飞行的高度最高，
故选：．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
6．（3分）一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是　　
A． B． C． D．
【分析】根据圆锥的侧面积是底面积的2倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数．
【解答】解：设母线长为，底面半径为，
底面周长，底面面积，侧面面积，
侧面积是底面积的2倍，
，
，
设圆心角为，
则，
解得，，
故选：．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
7．（3分）如图，在中，，．将绕着点逆时针方向旋转得，其中，、分别为与的中线，则　　

A． B． C． D．
【分析】由等腰三角形的性质和旋转的性质得，，，，再证，得，然后证在上，即可得出答案．
【解答】解：，，
，
由旋转的性质得：，
，，，，
、分别为与的中线，
，，
，
，
，
，，
在上，
，
故选：．
【点评】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握旋转的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
8．（3分）童威把三张形状大小相同但画面不同的风景图片都按相同的方式剪成相同的三段，然后将三段上、三段中、三段下分别混合洗匀为“上、中、下”三堆图片，从这三堆图片中各随机抽取一张，则恰好能组成一张完整风景图片的概率是　　
A． B． C． D．
【分析】把三张风景图片用甲、乙、丙来表示，根据题意画树形图，数出可能出现的结果利用概率公式即可得出答案．
【解答】解：把三张风景图片分别用甲、乙、丙来表
根据题意画图如下：

共有27种等可能的情况数，其中恰好组成一张完整风景图片的有3种，
则这三张图片恰好组成一张完整风景图片的概率为；
故选：．
【点评】本题考查了列表法和树状图法的相关知识，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
9．（3分）如图，为的一条弦，为上一点，．将劣弧沿弦翻折，交翻折后的弧交于点．若为翻折后弧的中点，则　　

A． B． C． D．
【分析】如图，连接，，．设．用表示出，，，利用三角形内角和定理，构建方程求解．
【解答】解：如图，连接，，．设．

，
，
，
，
，，
，
，
，
，，，
，
，
在中，，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理，解题的关键是理解题意，学会利用参数，构建方程解决问题．
10．（3分）无论为何值，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是　　
A． B． C．或 D．或
【分析】将交点问题转化为方程解的问题求解．
【解答】解：当时，若，直线与直线没有交点，不合题意．
当时，二次函数为：．
由得：．
△
．
无论为何值，，
△．
直线与抛物线总有公共点，
符合题意．
故排除，．
当时，二次函数为：．
由得：，
△．
直线与抛物线总有公共点．
符合题意．
故排除．
故选：．
【点评】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，取特殊的值，将交点问题转化为方程解的问题是求解本题的关键．
二、填空题。（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）点绕原点逆时针旋转对应点的坐标是 　　．
【分析】利用旋转的性质画出旋转前后的图形，然后写出点的坐标，则可判断点在平面直角坐标系中的位置．
【解答】解：如图，线段绕原点逆时针旋转得到，则点的坐标为，点在第二象限．

故答案为．
【点评】本题考查了坐标与图形变化旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
12．（3分）若一个人患了流感，经过两轮传染后共有36个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了 　5　个人，按照这样的传染速度，三轮传染后共有 　　个人患了流感．
【分析】设第一个人传染了人，根据两轮传染后共有36人患了流感，列出方程，求解，然后求出三轮之后患流感的人数．
【解答】解：设平均一人传染了人，
，
解得，（不符合题意舍去），
经过三轮传染后患上流感的人数为：（人．
答：每轮传染中平均一个人传染了5个人，经过三轮传染后共有216人患流感．
故答案为：5，216．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出合适的未知数，找出等量关系，列出方程．
13．（3分）如图，是一个圆盘及其内接正六边形，随机往圆盘内投飞镖，则飞镖落在正六边形内的概率是 　　．

【分析】连接、，由正六边形的特点求出判断出的形状，作于，由特殊角的三角函数值求出的长，利用三角形的面积公式即可求出的面积，进而可得出正六边形的面积，即可得出结果．
【解答】解：设的半径为，连接、，如图所示：
六边形是正六边形，
，
，
，
是等边三角形，
，
作于，则，
，
正六边形的面积，
的面积，
飞镖落在正六边形内的概率是．
故答案为：．

【点评】本题考查的是正多边形和圆、正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，通过作辅助线求出的面积是解决问题的关键．
14．（3分）如图，是编号为1、2、3、4的跑道，每条跑道由两条直的跑道和两端是半圆形的跑道组成，每条跑道宽，内侧的1号跑道长度为，则2号跑道比1号跑道长 　6.28　；若在一次比赛中（每个跑道都由一个半圆形跑道和部分直跑道组成），要使得每个运动员到达同一终点线，则4号跑道起跑点比2号跑道起跑点应前移 　　取．

【分析】通过观察，发现每条跑道直道长度一样．在跑道中，跑道2比跑道1长的部分，就是其跑道2两个半圆与跑道1两个半圆之差；在跑道中，跑道4比跑道2长的部分，就是其跑道4半圆与跑道2半圆之差，要使得每个运动员到达同一终点线，则4号跑道起跑点比2号跑道起跑点前移的部分就是跑道4与跑道2长的部分．
【解答】解：每条跑道由两条直的跑道和两端是半圆形的跑道组成，设1号跑道直道长为米，两个半圆组成的一个圆半径为米，则1号跑道长为米，因为每条道宽1米，所以2跑道长为米，
则2号跑道比1号跑道长：米；
在比赛中（每个跑道都由一个半圆形跑道和部分直跑道组成），设1号跑道直道部分为米，半圆半径为米，因为每条道宽1米，所以2号跑道长为米，4号跑道为米，
则4号跑道比2号跑道长米，所以4号跑道起跑点比2号跑道起跑点应前移6.28米．
【点评】本题关键是学生要清楚每个跑道组成和各个跑道之间的联系，本题考查学生的观察能力和发现规律的能力，综合性较强．
15．（3分）下列关于二次函数的四个结论：①当时，抛物线的顶点为；②该函数的图象与轴总有两个不同的公共点；③该函数的最小值的最大值为；④点，、，在该函数图象上，若，，则；其中正确的是 　①②④　．
【分析】①将代入二次函数解析式，并化为顶点式即可；②根据△可以判断；③先求出二次函数的最小值，再利用二次函数的性质求出其最大值；④需要分情况讨论，再进行判断．
【解答】解：①将代入二次函数解析式得，，
抛物线的顶点为，故①正确；
②△，
该函数的图象与轴总有两个不同的公共点，故②正确；
③，
二次函数的最小值为：，
该函数的最小值的最大值为，故③错误；
④点，、，在该函数图象上，若，，
当时，随的增大而增大，此时；
当时，，整理得，故④正确；
故答案为：①②④．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，是一道比较基础的题目，利用二次函数的性质解答是解题的关键
16．（3分）如图，在中，，，，与、都相切，其半径为1．若在三角线内部沿边顺时针方向滚动到与相切，则点运动的路经长是 　5　．

【分析】设与相切于点，与相切于点，则，，，过点作于点，交于点，则，利用等面积法求出，根据三角形的面积公式求得，即为则点运动的路径长．
【解答】解：在中，，，，
，
如图，设与相切于点，与相切于点，

，，，
是由沿滚动而得到的，

过点作于点，交于点，
，，
，
，
，
，
，
即，
，
解得，
即则点运动的路径长是5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了切线的性质，圆的相关计算，熟练运用切线的性质和割补法求三角形面积是解题的关键．
三、解答题。（共8题，共72分）
17．（8分）若关于的一元二次方程一个根为4，求方程另一个根和的值．
【分析】利用根与系数的关系求出两根之和，把代入求出另一根，进而求出的值即可．
【解答】解：关于的一元二次方程一个根为4，设另一根为，
，，
解得：，．
【点评】此题考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
18．（8分）如图，将绕点顺时针旋转得到，使得点落在线段上．若，求证：．

【分析】由等腰三角形的性质得出，由旋转的性质得出，，证出，则可得出结论．
【解答】证明：，
，
将绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
．
【点评】本题考查性质的性质，平行线的判定，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．
19．（8分）不透明的袋子中装有红色小球1个、绿色小球2个，除颜色外无其它差别．
（1）从袋中随机摸出一个小球，直接写出摸到红球的概率；
（2）随机摸出一个小球，记下颜色，放回并摇匀，再随机摸出一个，求两次都摸到绿球的概率．
【分析】（1）用红球的个数除以总球的个数即可得出答案；
（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【解答】解：（1）不透明的袋子中装有红色小球1个、绿色小球2个，
从袋中随机摸出一个小球，摸到红球的概率是；

（2）红色小球用数字1表示，两个绿色小球分别用2和3表示，
列表如下：

1
2
3
1



2



3



由上表可知，从袋子总随机摸出两个小球可能会出现9个等可能的结果，其中两球都是绿色的结果有4个，
则摸出两个绿球的概率为．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
20．（8分）如图，与都经过、两点，且点在上．记的半径为，的半径为．请用无刻度的直尺，依次完成下列的画图．
（1）画一条直线平分两圆组成的图形的面积；
（2）在图中用阴影部分表示“到点的距离大于等于，且到点的距离小于等于”的点的集合；
（3）在上画点，使是的切线；
（4）在线段上画点，使．

【分析】（1）作直线即可；
（2）根据要求作出图形即可；
（3）设直线交于点，作直线即可；
（4）连接，延长交于点，点即为所求．
【解答】解：（1）如图，直线即为所求；
（2）如图，阴影部分即为所求；
（3）如图点，直线即为所求；
（4）如图，点即为所求．

【点评】本题考查作图复杂作图，圆周角定理，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．（8分）四边形是菱形，经过、、三点（点在上）．
（1）如图1，若是的切线，求的大小；
（2）如图2，若，，与交于点．
①求的半径；
②直接写出的值．

【分析】（1）连接，利用切线的性质定理可得，利用菱形的性质，圆周角定理和三角形的内角和定理通过计算求得的度数，由菱形的对角相等可得结论；
（2）①连接，，与交于点，利用菱形的对角线互相垂直平分可得，利用勾股定理可求的长，设，则，，在中，利用勾股定理列出方程，解方程即可求解；
②过点作，则，连接，由①中的结论可求，在中，利用直角三角形的边角关系可求，利用勾股定理结论可得．
【解答】解：（1）连接，，如图，

是的切线，
．
．
四边形是菱形，
．
，
，
．
，
．
．
．
，
．
．
四边形是菱形，
．
（2）①连接，，与交于点，如图，

四边形是菱形，
，，．
在中，
．
设，则，
．
在中，
，
，
解得：．
的半径为；
②．理由：
在中，．
过点作，则，连接，如图，

由①知：，
．
在中，
，
，
．
．
．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，圆的切线的性质，圆周角定理及其推论，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，勾股定理，解直角三角形，垂径定理，连接过切点的半径是解题的关键．
22．（10分）如图，要设计一副宽、长的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为．设每条竖彩条的宽度为，图案中四条彩条所占面积的和为．
（1）求与之间的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）当不小于，不大于时，求的最大值；
（3）童威现在需要制作100张这样图案的卡片，其中彩条部分制作费用为15元，其余部分制作费用为10元，购买材料的总费用为31.2元（不计损耗），直接写出的值．

【分析】（1）由横、竖彩条的宽度比为知横彩条的宽度且竖条的宽度为可知横条的宽度为，根据除去彩条部分后的部分的面积为长为、宽为的长方形的面积列式求出与之间的函数关系式可列函数关系式，再根据且、列不等式组求出的取值范围即可；
（2）将（1）中求出的二次函数的关系式配方成为顶点式，再根据二次函数的性质求出在的范围内的最大值即可；
（3）先将15元转化为元，将10元转化为元，再根据卡片总数为100张，彩条部分制作费用为元，面积为，其余部分制作费用为元，面积为，总费用为31.2元列方程求出符合题意的值即可．
【解答】解：（1）根据题意可知，每条竖彩条的宽度为，每条横彩条的宽度为，
，
，
由题意得，
即，
与之间的函数关系式为．
（2），且，
当时，随的增大而增大，
当时，，
的最大值是．
（3）15元元元，10元元元，
根据题意得，，
整理得，
解得，（不符合题意，舍去），
．
【点评】此题考查一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识与方法，此题综合性较强，难度较大，属于考试压轴题．
23．（10分）如图，在和中，，，，点、分别是、的中点，连接、、．
（1）求证：；
（2）求的值；
（3）若四边形的面积为42，周长为，，则　10　．

【分析】（1）根据已知条件可得和都是等腰直角三角形，然后证明，即可解决问题；
（2）连接，，根据和都是等腰直角三角形，且点、分别是、的中点，可得，，，所以，，，然后由，即可解决问题；
（3）根据四边形的面积为42，周长为，，可得，，然后由，，设，，列出方程组，求出和的值，即可解决问题．
【解答】（1）证明：，，，
和都是等腰直角三角形，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：如图，连接，，

和都是等腰直角三角形，且点、分别是、的中点，
，，，
，，
，
，，
，
，
；
（3）解：，
，
由（1）可知：，
，
，

，
，
，
，
同理得，
设，，
，
将代入中得：
，
解得，
，
，
．
故答案为：10．
【点评】本题属于相似三角形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，三角形中位线定理，三角形面积和周长，二元一次方程组，解决本题的关键是综合运用以上知识．
24．（12分）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接、，点在对称轴左侧的抛物线上，若，求点的坐标；
（3）如图2，点为第四象限抛物线上一点，经过、、三点作，的弦轴，求证：点在定直线上．

【分析】（1）把、坐标代入，可得关于、的二元一次方程组，解方程组求出、．
（2）设与轴交点为，求出点坐标为可得且轴，由可得，从而证明，得出点坐标后，解出所在直线方程，然后联立直线方程与抛物线方程求解．
（3）连接，，设，，根据、为的弦，可得圆心是、的垂直平分线的交点，即可表示出点坐标，根据，利用两点间距离公式可得等式，整理可得，即可得答案．
【解答】解：（1）将，代入得，
解得，
．
（2）把代入得，
点坐标为，
设与轴交点为，

抛物线与轴交点坐标为，
轴，
，
，
．
，，
，
，
，
点坐标为．
设直线解析式为，
把，代入解析式得，
解得，
，
令，
解得或（舍．
把代入得．
点坐标为，．
（3）如图，证明：

连接，设，，
、为的弦，
圆心是、的垂直平分线的交点，
，，轴
．
，
．
整理得：，
点在定直线上．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握二次函数与一次函数的性质，通过数形结合求解．