湖北省九师联盟2022-2023学年高三上学期11月质量检测数学试题

高三数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数、解三角形、平面向量、复数、数列。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2.若，则成立的一个充分不必要条件是（    ）

A. B. C. D.

3.已知是的共轭复数，若，则（    ）

A. B. C. D.

4.已知函数则的大致图象是（    ）

A. B. C.D.

5.在实验室细菌培养过程中，细菌生长主要经历调整期、指数期、稳定期和衰亡期四个时期.在一定条件下，某生物实验室在研究某种动物细菌的过程中发现，细菌数量（单位）与该动物细菌被植入培养的时间（单位：小时）近似满足函数关系式，其中为初始细菌含量.若经过6小时培养，该细菌数量为（单位），则（    ）

A. B. C. D.

6.在公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，设数列的前项和为，则（    ）

A. B. C. D.

7.已知，若，则（    ）

A. B. C. D.

8.已知，，若，则的最大值为（    ）

A.1 B. C. D.0

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知平面内三点，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.与的夹角为

10.已知两个等差数列和的公差分别为和，其前项和分别为和，则（    ）

A.若为等差数列，则

B.若为等差数列，则

C.若为等差数列，则

D.若，则也为等差数列，且公差为

11.已知外接圆的面积为，内角，，的对边分别为，，，且，，成等比数列，设的周长和面积分别为，，则（    ）

A. B. C. D.

12.已知函数，则（    ）

A.是定义域为的偶函数 B.的最大值为2

C.的最小正周期为 D.在上单调递减

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是______.

14.已知向量，，若对任意，向量满足恒成立，则的值为______.

15.一艘客船在处测得灯塔在它的北偏东75°，在处测得灯塔在它的北偏西30°，距离为n mile.客船由处向正北航行n mile到达处，再看灯塔在它的南偏东60°，则______n mile；设灯塔在处的南偏西度，则______.

16.已知函数，若函数与函数的单调区间相同，并且既有单调递增区间，也有单调递减区间，则的取值范围是______.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）

设数列的前项和为，已知，.

（1）证明：数列是等比数列；

（2）求与.

18.（本小题满分12分）

已知的面积为，，，，边的中点分别是，.

（1）求；

（2）若与相交于点，求的值.

19.（本小题满分12分）

已知的内角，，的对边分别为，，，且，.

（1）求；

（2）求的值.

20.（本小题满分12分）

已知数列满足，

（1）求证：；

（2）设，求的前项和.

21.（本小题满分12分）

已知的内角，，的对边分别为，，，且.

（1）求证：；

（2）若为锐角三角形，求的取值范围.

22.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）当时，求的图象在处的切线方程；

（2）当且时，求证：.

高三数学参考答案、提示及评分细则

1.B  根据题意，得，，故.故选B.

2.C  解得或，又，则成立的一个充分不必要条件是.故选C.

3.D  因为，所以.故选D.

4.A  函数则

当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，只有A符合.故选A.

5.B  由经过6小时培养该细菌数量为（单位），得，解得，从而，所以.故选B.

6.C  设等差数列的公差为，由，，成等比数列，得，即，解得或（舍去），所以.从而，故

，，两式相减，得

，所以.所以.故选C.

7.D  ，由，得，，所以，即，联立，解得，，所以.故选D.

8.C  因为，所以.

设，，则，易知在上单调递增，从而，即，所以，当且仅当时取等号，即的最大值为.故选C.

9.ACD  由题意，得，，，则A正确；因为，所以与不平行，则B错误；因为，所以，则C正确；因为，且，所以与的夹角为，则D正确.故选ACD.

10.ABD  对于A，因为为等差数列，所以，，即

，所以，化简得，所以，从而，适合题意，则A正确；

对于B，因为为等差数列，所以，所以

，所以，则B正确；

对于C，因为为等差数列，所以，所以

，化简得，所以或，则C不正确；

对于D，因为，且，所以，所以，所以

，所以也为等差数列，且公差为，则D正确.故选ABD.

11.ABD  由及正弦定理，得；由余弦定理，得

.因为，所以，又，所以，则；因为外接圆的面积为，所以外接圆的半径；由正弦定理，得，所以，.选项AB正确；，所以，故.选项D正确；对于选项C，取满足条件，，则C错误.故选ABD.

12.AD  因为，，所以的定义域为；对于，都有，且，所以是偶函数，则A正确；，则B错误；

又，所以，则C错误；

当时，单调递减，且，而在上单调递增，所以在上单调递减；当时，单调递增，且，而在上单调递减，所以在上单调递减，从而在上单调递减，则D正确.故选AD.

13.  由题意，得，为真命题，当时，，满足题意；当时，解得.综上，实数的取值范围是.

14.0  由题意知，，因为恒成立，所以，即对任意恒成立，所以.

15.36（2分）  60（60后面若加单位度（°），同样给分）（3分）  在中，由已知得，，则，.

由正弦定理，得.

在中，由余弦定理，得

，即.因为，所以，从而，所以灯塔在处的南偏西60°.

16.  法一：因为，所以，若，则，在上单调递增，只有单调增区间，不合题意；若，令，得，，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，设，因为函数与函数的单调区间相同，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又，所以对任意恒成立，即恒成立，由，所以，将，代入上式，整理得，即，从而，此时，所以的取值范围为.

法二：.当时，恒成立，在上单调递增.没有单调递减区间，不符合题意.当时，.当时，，单调递减；当时，，单调递增.令，则.由题意，，恒成立，即恒成立.令，则恒成立.因为，所以与有相同的单调性，所以.又，所以，即，即.综上，的取值范围是.

17.（1）证明：因为，所以，

则.……3分

又，所以，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列.……5分

（2）解：由（1）可得，即，……6分

当时，；……8分

当时，符合，……9分

所以.……10分

18.解：（1）由，，，

得，解得.……1分

因为，边的中点分别是，，所以，.……3分

从而

.……6分

（2）由（1），得

.所以.……8分

，

所以.……10分

故.……12分

19.解：（1）因为，，易得.……1分

由余弦定理，得，即，……3分

整理，得，解得，或（舍去）.故.……5分

（2）由，得，……6分

由正弦定理，得.……7分

因为，所以，又，

所以，

，……9分

而，，所以，……10分

故.……12分

20.（1）证明：当为奇数时，为偶数，则，，可得

；……2分

当为偶数时，为奇数，则，，可得.

综上，.……4分

（2）解：法一：当为奇数且时，，，，…，，，累加可得

，

时也符合；……6分

当为偶数且时，为奇数，则，

.……8分

法二：由（1），，即，

则

.……6分

所以当为偶数时，.

当为奇数时，为偶数，由，得.……8分

下面统一求.

因为为偶数，所以，

所以.……10分

，

故.……12分

21.（1）证明：法一：由余弦定理，得，

所以，……1分

由正弦定理，得，即，

又，，所以或.……3分

若，因为，可得，所以，

又，所以，此时，，

满足，故得证.……5分

法二：由余弦定理，得，

，……2分

则.

所以.……4分

由，得为锐角，所以，，故得证.……5分

（2）解：因为为锐角三角形，所以即解得，

所以.……7分

法一：而

.……9分

令，，则，

当时，，故在上单调递增，

又，，故的值域为，

所以的取值范围为.……12分

法二：因为，所以，

设，则.……8分

当时，，，，

此时.所以在上单调递增，……10分

而，，

所以时，即的取值范围为.……12分

22.（1）解：当时，，则，……1分

，，

所以的图象在处的切线方程为，即.……4分

（2）证明：当时，，时，；

当时，，……5分

，，在上单调递增，

所以，

又，所以，从而在上单调递减，

所以.……6分

要证，只需证，即，

亦即.

令，……8分.……9分

因为，所以，，

所以（当且仅当时取等号），

所以在上单调递减，……10分

所以，即.

综上，当且时，.……12分