2022-2023学年江苏省盐城市东台市广山中学等三校九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省盐城市东台市广山中学等三校九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列方程中属于一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 某班体育委员记录了第一小组七位同学定点投篮每人投个的情况，投进的个数分别为，，，，，，，这组数据的极差是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 用配方法解关于的一元二次方程时，下列变形正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 二次函数的顶点为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为(    )

A.
B.
C.
D.

6. 已知是方程的一个根，则代数式的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图所示的工件槽的两个底角均为尺寸如图单位：，将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有，，三个接触点，则该球的半径是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 抛物线上部分点的横坐标和纵坐标的对应值如下表，则下列说法中正确的有个(    )

当时，随的增大而减小．
抛物线的对称轴为直线．
当时，．
方程一个正数解满足．

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9. 抛掷一枚质地均匀、六个面上分别刻有，，，，，六个数字的正方体骰子一次，则向上一面的数字小于的概率是________．
10. 某商场销售某女款上衣，刚上市时每件可盈利元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后每件盈利为元，则平均每次降价的百分率为______．
11. 如图，已知圆锥的底面半径，高，则该圆锥的侧面积为______．

12. 已知的两个根为、，则的值为______．
13. 把抛物线向左平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为______．
14. 如图，圆是的内切圆，若，，则______

15. 若二次函数的图象上有两点，，则 ______填“”，“”或“”
16. 如图，在中，，，，点是的中点，点是以点为圆心，长为半径的圆上的一动点，连接，点为的中点，则长度的最大值是______ ．

三、解答题（本大题共11小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    解下列方程：
    ；
    ．
18. 本小题分
    一个不透明的袋子装有个红球和个白球，这些球除颜色外都相同．
    搅匀后从中任意摸出个球，则摸出白球的概率为______．
    搅匀后从中任意摸出个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出个球，求恰好摸出一个红球一个白球的概率．
19. 本小题分
    为了从甲、乙两位同学中选拔一人参加知识竞赛，举行了次选拔赛，根据两位同学次选拔赛的成绩，分别绘制了如图统计图．
    填写下列表格：

分别求出甲、乙两位同学次成绩的方差．
你认为选择哪一位同学参加知识竞赛比较好？请说明理由．
 

20. 本小题分
    已知关于的方程．
    说明：无论取何值，方程总有实数根；
    若方程的两个实数根为，，且，求出方程的根．
21. 本小题分
    如图，已知，．
    在图中，用尺规作出的内切圆，并标出与边，，的切点，，保留痕迹，不必写作法；
    连接，，求的度数．

22. 本小题分
    已知二次函数．
    求函数图象的顶点坐标，并画出这个函数的图象；
    根据图象，直接写出：
    当函数值为正数时，自变量的取值范围；
    当时，函数值的取值范围；
    若经过点且与轴平行的直线与的图象有公共点，求的取值范围．

23. 本小题分
    如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，分别交，于点，．
    试判断直线与的位置关系，并说明理由；
    若，，求阴影部分的面积结果保留．

24. 本小题分
    某企业接到一批防护服生产任务，按要求天完成，已知这批防护服的出厂价为每件元，为按时完成任务，该企业动员放假回家的工人及时返回加班赶制，该企业第天防护数量为件，与之间的关系可以用图中的函数图象来刻画．
    求出与函数表达式；
    由于特殊原因，原材料紧缺，服装的成本前天为每件元，从第天起每件的成本比前一天增加元，求出第几天的利润达到元？利润出厂价成本

25. 本小题分
    若关于的方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“隔根方程”例如，方程的两个根是，，则方程是“隔根方程”．
    方程是“隔根方程”吗？判断并说明理由；
    若关于的方程是“隔根方程”，求的值．
26. 本小题分
    如图，在矩形中，，，点是边上一动点，连接、，作的外接，交于点，交于点，连接．
    若，则______；
    当的长为______时，为等腰三角形；
    如图，当与相切时，求的长．
     
27. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于，两点，其中，．
    求抛物线的函数表达式；
    点为直线下方抛物线上任意一点，连接，，求面积的最大值及此时点的坐标；
    点为抛物线对称轴上的一点，当以点，，为顶点的三角形为等腰三角形时，直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是二元一次方程，故A错误；
B、是一元一次方程，故B错误；
C、属于一元二次方程，故C正确；
D、是分式方程，故D错误；
故选：．
我们从方程的限定词入手，“一元”的意思是等式中只含有一种未知数不限定该未知数出现的次数；“二次”的意思是未知数的最高次数是二．
此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：极差是．
故选：．
根据极差的公式：极差最大值最小值．找出所求数据中最大的值，最小值，再代入公式求值．
本题考查了极差，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．
 

3.【答案】 

【解析】解：方程移项得：，
配方得：，即，
故选：．
方程移项变形后，等号两边同时加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：二次函数的顶点为，
故选：．
根据顶点式即可得．
本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是根据顶点式得出函数的性质．
 

5.【答案】 

【解析】解：连接，，
、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，
点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上，
，
，
这个正多边形的边数，
故选：．
连接，，根据圆周角定理得到，即可得到结论．
本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确地理解题意是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：是方程的一个根，
，
，



．
故选：．
先根据一元二次方程的解的定义得到，即，再把变形为，然后利用整体代入得方法计算．
本题考查一元二次方程的解，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

7.【答案】 

【解析】解：设圆心为点，连接、、，交于，如图，
由题意得：，，为的中点，
则，
，
设的半径为，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得，
即该球的半径是．
故选：．
设圆心为点，连接，交于，则，由垂径定理得，设的半径为，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由表格看出，当时，随的增大而减小，故的说法正确；
由表格看出，这个抛物线的对称轴为直线，故的说法错误；
当时的函数值与时的函数值相同，即，故的说法错误；
方程的解异号，其中正数解满足，负数解满足，故的说法正确．
故选：．
根据抛物线的轴对称性，将表格扩充，容易发现正确，错误．
本题考查了二次函数图象的性质和二次函数图象上点的特征，理解二次函数图象的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：掷一枚质地均匀的骰子，骰子向上的一面点数共有种可能，而向上一面的数字小于的有、、、四种，
所以向上一面的数字小于的概率是，
故答案为．
分析：由于一枚质地均匀的骰子，骰子向上的一面点数可能为、、、、、，共有种可能，小于的点数有、、、，则根据概率公式可计算出骰子向上的一面点数小于的概率；
本题考查了概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
 

10.【答案】 

【解析】解：设平均每次降价的百分率为，
依题意得：，
解得：，不符合题意，舍去，
平均每次降价的百分率为．
故答案为：．
设平均每次降价的百分率为，利用经过两次降价后每件的盈利刚上市时每件的盈利平均每次降价的百分率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：底面半径，高，则勾股定理知，母线，底面周长，侧面面积．
故答案为：．
利用勾股定理可求得圆锥的母线长，那么圆锥的侧面积底面周长母线长．
本题考查了圆锥的计算，利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解．
 

12.【答案】 

【解析】解：，是方程的两个实数根，
，，
．
故答案为：．
利用根与系数的关系，可得出，，将其代入中，即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：把抛物线向左平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为：，即．
故答案是：．
根据二次函数图象平移的方法即可得出结论．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：是的内切圆，
，，
，
故答案为：．
根据三角形的内心的概念得到，，根据三角形内角和定理计算即可．
本题考查的是三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，掌握三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：二次函数数的对称轴是直线，开口向上，
点距离对称轴较近，距离对称轴较远，
．
故答案为：．
先根据已知条件求出二次函数的对称轴，再根据点、距离对称轴的远近即可判断．
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，延长到，使得，连接，，．

，，
，
，，，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
的最大值为，
，，
，
的最大值为．
故答案为：．
如图，延长到，使得，连接，，证明，求出的最大值即可．
本题考查点与圆的位置关系，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
 

17.【答案】解：，
，
，；
，
，
，
或，
，． 

【解析】根据直接开平方法解一元二次方程即可；
根据因式分解法解一元二次方程即可．
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：搅匀后从中任意摸出个球，则摸出白球的概率为，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，恰好摸出一个红球一个白球的结果有种，
恰好摸出一个红球一个白球的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，恰好摸出一个红球一个白球的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

19.【答案】解：；；
甲同学的方差是：，
乙同学的方差是：，
选择甲同学．
因为两人的平均数相同，说明两人实力相当，但甲的方差小于乙的方差，说明甲同学发挥更稳定，因此甲同学成绩更优秀，可以选择甲同学参加竞赛． 

【解析】

【分析】
本题考查方差的定义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成．
根据中位数的定义和平均数的计算公式进行解答即可；
根据方差公式进行计算即可；
根据方差的意义即可得出答案．
【解答】
解：把这些数从小到大排列为：，，，，，，
则甲同学的中位数是分，
乙同学的平均数是：分，
故答案为：，；
见答案．  

20.【答案】证明：，
所以此方程是有实根．
解：，是方程的两个实数根，
，
，
，
原方程为：，
，
解得：，，
方程的这两个实数根为：，． 

【解析】先计算出，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况；
由，得出，则原方程为，解方程即可得出结果．
本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系、根的判别式等知识；熟练掌握根与系数的关系、根的判别式是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图，

即为所求．
如图，

连接，，
，，
，
，
，
． 

【解析】直接利用基本作图即可得出结论；
利用四边形的性质，三角形的内切圆的性质即可得出结论．
此题主要考查了基本作图，三角形的内切圆的性质，四边形的内角和公式，解本题的关键是作出三角形的内切圆．
 

22.【答案】解；，
函数图象的顶点坐标；
函数的图象如图：

根据图象可知：
当时，函数值为正数；
当时，函数值的取值范围．
的取值范围是． 

【解析】把二次函数的一般式转化成顶点式即可求得顶点坐标；然后描点画出函数的图象；
根据函数的图象即可求得．
当时，函数值为正数；
当时，；当时，；
结合函数图像可得，当时，函数值的取值范围．
由图可知，当时，直线与的图象有公共点．
故的取值范围是．
本题主要考查了抛物线的对称轴、顶点坐标与抛物线解析式的关系，抛物线的顶点式：，顶点坐标为，对称轴同时考查了用抛物线与轴的交点坐标，判断函数值的符号的方法．
 

23.【答案】解：与相切．
证明：连接．
是的平分线，
．
又，
．
．
．
，即．
又过半径的外端点，
与相切．

设，则．
根据勾股定理得：，即．
解得：，即．
．
中，，
．
．
，
则阴影部分的面积．
故阴影部分的面积为． 

【解析】连接，证明，即可证得，从而证得是圆的切线；
在直角三角形中，设，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即为圆的半径，求出圆心角的度数，直角三角形的面积减去扇形面积即可确定出阴影部分面积．
本题考查了切线的判定，扇形面积，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定是解本题的关键．
 

24.【答案】解：，，
当时，设与的函数关系式为为正整数，根据题意得：
，解得，
，
与的函数关系式为；
根据题意得．
解得，
答：第天的利润达到元． 

【解析】根据题意即可得出与的函数关系式；
根据题意列方程，解方程即可得到结论．
本题考查的是一次函数在实际生活中的应用，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式．
 

25.【答案】解：不是，理由如下：
，即，
，．
，
方程不是“隔根方程”．
，即，
，．
又关于的方程是“隔根方程”，
，
解得：或． 

【解析】不是，利用因式分解法解一元二次方程可得出方程的两个根分别为，，二者做差后可得出，进而可得出方程不是“隔根方程”；
利用因式分解法解一元二次方程可得出方程的两个根分别为，，结合关于的方程是“隔根方程”，可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出的值．
本题考查了因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法求出一元二次方程的两个根是解题的关键．
 

26.【答案】  或或 

【解析】解：四边形是的内接四边形，
，
故答案为：；
连接，如图所示：
四边形是的内接四边形，
，
又，
∽，
当为等腰三角形时，为等腰三角形，
四边形是矩形，，，
，，，
是的外接圆，，
是的直径，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
若为等腰三角形，分三种情况：
当时，
，
，
，
；
当时，
在中，由勾股定理得：，
；
当时，
在中，由勾股定理得：；
综上所述，当的长为或或时，为等腰三角形，
故答案为：或或；
过作于点，如图所示：
则，
四边形是矩形，
，
为的直径，
，
是梯形的中位线，
，
，
与相切，
为切点，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：．
由圆内接四边形的性质即可得出结论；
连接，先证∽，则当为等腰三角形时，为等腰三角形，由圆周角定理证出是的直径，则四边形是矩形，得，，若为等腰三角形，分三种情况：当时，当时，当时，由等腰三角形的性质和勾股定理分别得出答案；
过作于点，则，先证为的直径，则，再证是梯形的中位线，则，得，然后由切线的性质得为切点，则，得，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题是圆的综合题目，考查了切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、矩形的判定与性质、梯形中位线定理、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握圆周角定理、切线的性质定理以及相似三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
 

27.【答案】解：将点、的坐标代入抛物线表达得：，解得，
故抛物线的表达式为；

由点、的坐标得，直线的表达式为，
过点作轴的平行线交直线于点，

设点，则点，
则面积，
，故面积有最大值，
当时，面积的最大值为，此时点；

由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，设点，
由点、、的坐标得：，，，
当时，即，解得；
当时，同理可得：；
当时，同理可得：，
故点的坐标为或或或或 

【解析】用待定系数法即可求解；
由面积，即可求解；
分、、三种情况，分别求解即可．
本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．