高中数学人教版（中职）基础模块下册8.2 直线的方程习题

2022年9月8日高中数学周测/单元测试

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

1．过点且方向向量为的直线的方程为（       ）

A． B．

C． D．

2．已知直线过点，且其方向向量，则直线的方程为（       ）

A． B．

C． D．

3．已知直线与两坐标轴围成的三角形面积为6，则k值是（       ）

A． B． C． D．

4．过点且倾斜角为的直线方程为（       ）

A． B．

C． D．

5．已知直线的方程是，则由点斜式知该直线经过的定点、斜率分别为（       ）

A．（－1，2），－1 B．（2，－1），－1 C．（－1，－2），－1 D．（－2，－1），1

6．过点（2，－3）、斜率为的直线在y轴上的截距为（       ）

A．2 B．－2 C．4 D．－4

7．若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（       ）

A． B． C． D．

8．对于直线，有以下说法，其中错误的有（ ）

A．倾斜角为 B．在x轴上的截距为4

C．原点到直线l的距离为2 D．直线l的一个方向向量为

9．经过A（0，2），B（-1，0）两点的直线的方向向量为（1，k），则k=（       ）

A．1 B．2 C． D．

10．已知点，是过点M且垂直于向量的直线上任意一点，则x与y满足的关系式是（       ）

A． B．

C． D．

11．过点且方向向量为的直线的方程为（       ）

A． B．

C． D．

12．已知直线的方向向量为，则直线l的倾斜角为（       ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

13．已知直线，下列结论正确的是（       ）

A．直线的倾斜角为 B．直线的法向量为

C．直线的方向向量为 D．直线的斜率为

14．若直线l的方程中，，，则此直线必不经过（       ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

15．直线的倾斜角为（       ）

A． B． C． D．

16．过点且与两坐标轴上的截距相等的直线共有（       ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

17．已知直线l的斜率是直线的斜率的相反数，在y轴上的截距为2，则直线l的方程为（       ）

A． B．

C． D．

18．在等腰三角形中，，、，点在轴的正半轴上，则直线的点斜式方程为（　　）

A． B．

C． D．

19．过与的交点，且平行于向量的直线方程为（       ）

A． B．

C． D．

20．已知点，又、分别为过点的直线的法向量和斜率，有下列直线方程：

①；

②；

③（，且）．

其中能表示所有过点的直线方程的个数是（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

21．若直线l的倾斜角α满足4sinα=3cosα，且它在x轴上的截距为3，则直线l的方程是___________.

22．若是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角大小为_________．

23．过点且法向量的直线的点法向式方程是______；

24．已知直线l经过点，倾斜角为，且，则直线l的点斜式方程为______．

25．若是直线l的一个法向量，则l的倾斜角为______．

26．求符合下列条件的直线l的方程：

(1)过点A(﹣1，﹣3)，且斜率为；

(2)A(1，3)，B(2，1))求直线AB的方程；

(3)经过点P(3，2)且在两坐标轴上的截距相等.

27．已知中，、、，写出满足下列条件的直线方程．

(1)BC边上的高线的方程；

(2)BC边的垂直平分线的方程．

28．的三个顶点、、，D为BC中点，求：

(1)BC边上的高所在直线的方程；

(2)中线AD所在直线的方程．

29．直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半，求直线的斜率．

30．已知的三个顶点分别为、、．求：

(1)边所在直线的方程；

(2)边上的高所在直线的方程；

(3)边上的中线所在直线的方程．

参考答案：

1．C【分析】求出直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.

【详解】由方向向量得直线的斜率为－，所以得直线方程为，即．

故选：C.

2．D【分析】根据题意和直线的点方向式方程即可得出结果.

【详解】因为直线过点，且方向向量为，

由直线的点方向式方程，可得直线的方程为：

，

整理，得.

故选：D

3．D【分析】求出直线与轴交点和与轴交点的坐标，利用面积公式计算即可.

【详解】对于直线，能与两坐标轴围成三角形，则，

令，得，所以直线与轴交点坐标为，

令，得，所以直线与轴交点坐标为，

所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为，

解得.

故选：D

4．D【分析】根据直线的点斜式方程即可得出答案.

【详解】解：因为直线的倾斜角为135°，所以直线的斜率，

所以直线方程为，即.

故选：D．

5．C【分析】把方程化为点斜式即可.

【详解】由，得，所以直线的斜率为－1，过定点（－1，－2）．

故选：C.

6．B【分析】根据点斜式公式，整理直线方程，令，可得答案.

【详解】由题意得直线方程为，令x=0，解得y＝－2．

故选：B．

7．B【分析】根据直线的一个方向向量为，利用斜率和倾斜角的关系求解.

【详解】设直线的倾斜角为，

因为直线的一个方向向量为，

所以，

因为，

所以，

故选：B

8．ABD【分析】A.根据直线求得斜率即可；B.根据直线，令求解判断；C.根据直线，利用点到直线的距离求解判断；D.根据直线，求得斜率判断；

【详解】A.因为直线，所以，因为倾斜角的范围是 ，所以倾斜角为，故错误；

B. 因为直线，令，得，所以在x轴上的截距为-4，故错误；

C. 因为直线，所以原点到直线l的距离为，故正确；

D. 因为直线，所以，则直线l的一个方向向量为，故错误.

故选：ABD

9．B【分析】根据直线的斜率公式即可求出.

【详解】经过两点的直线的方向向量为（1，k），

所以 ，解得

故选：B

10．A【分析】根据题意，得到，根据向量垂直，得到关系式，整理后即为答案.

【详解】由题意得：，又∵，

∴，即．

故选：A

11．C【分析】求出直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.

【详解】因为所求直线的方向向量为，所以该直线的斜率为．

又该直线过点，所以所求直线的方程为，即．

故选：C.

12．B【分析】利用直线的方向向量求出其斜率，进而求出倾斜角作答.

【详解】因直线的方向向量为，则直线l的斜率，直线l的倾斜角，

于是得，解得，

所以直线l的倾斜角为.

故选：B

13．D【分析】根据直线方程求出斜率和倾斜角，可判断AD；根据斜率可求出直线的一个方向向量，可判断C；根据法向量的定义求出一个法向量可判断B.

【详解】由题意可得直线的斜率，故D正确；

所以直线的倾斜角为，故A错误；

故直线的一个方向向量为，因为与不平行，故C错误；

与垂直的直线斜率，所以与垂直的直线的一个方向向量为，

又与不平行，故B错误.

故选：D.

14．C【分析】根据直线的斜率及截距即可求解.

【详解】由，，，

知直线斜率，在轴上截距为，

所以此直线必不经过第三象限.

故选：C

15．C【分析】根据直线斜率求倾斜角即可.

【详解】直线中，斜率，而斜率，，

又，.

故选：C

16．B【分析】分直线的两坐标轴上的截距为0，不为0时两种情况求解即可

【详解】①当直线的两坐标轴上的截距为0时，设直线方程为，由题意有，则，∴直线方程为满足条件；

②当直线的两坐标轴上的截距不为0时，设的方程为．把点代入直线方程得．解得，从而直线方程为.

故满足条件的直线方程为和．

故选：B．

17．C【分析】求得直线斜率，由斜截式得直线方程．

【详解】直线的斜率是，因此直线的斜率是，又在y轴上的截距为2，

所以直线方程为，

故选：C．

18．D【分析】设线段的中点为，连接，可知轴，求出点的坐标，进而可求得直线的点斜式方程.

【详解】设线段的中点为，连接，

，则轴，则点，故点，

所以，直线的斜率为，

所以直线的点斜式方程为．

故选：D．

19．C【分析】首先求出两直线的交点坐标，然后再根据所求直线平行于向量，从而可求出答案.

【详解】由，得，所以交点坐标为，

又因为直线平行于向量，所以所求直线方程为，

即.

故选：C.

20．C【分析】对于①，利用即可分析；对于②，注意到斜率不存在的情况即可判断；对于③，根据直线的一般式与点代入即可分析.

【详解】设直线上的某一点为，则

对于①，因为是直线的法向量，故，又，，故为，故①能表示所有过点的直线方程；

对于②，利用点斜式易得为：，但是可能还存在斜率不存在的情况，此时为：，故②不能表示所有过点的直线方程；

对于③，是直线的一般式，可表示所有直线，将代入得到，显然成立，故③能表示所有过点的直线方程.

综上：①③都能表示所有过点的直线方程.

故选：C.

21．【分析】由已知确定直线的斜率，应用斜截式写出直线方程.

【详解】由4sinα=3cosα，所以tanα=，

从而直线l的方程为，即.

故答案为：

22．【分析】先根据直线方向向量求出斜率，再由直线方向向量和倾斜角关系求出倾斜角.

【详解】因为是直线的一个方向向量，所以直线的斜率，

所以直线的倾斜角大小为．

故答案为：．

23．【分析】直接根据直线的点法向式方程的定义即可得出答案.

【详解】解：因为直线过点且法向量，

所以直线的点法向式方程是.

故答案为：.

24．【分析】先由及的范围求得，进而求得，即斜率，再利用点斜式即可求得结果.

【详解】因为，，所以，故，

又直线l经过点，故直线l的点斜式方程为.

故答案为：.

25．【分析】设、直线l的倾斜角分别为、，由可得，由法向量关系可得，综上即可解出

【详解】设、直线l的倾斜角分别为、，则，

是直线l的一个法向量得，，可得，则.

故答案为：

26．(1)；

(2)；

(3)或.

【分析】(1)根据直线点斜式方程即可求解；

(2)根据直线两点式或点斜式方程即可求解；

(3)分类讨论直线过原点与不过原点，根据点斜式或截距式方程即可计算﹒

(1)

所求直线过点，且斜率为，，即.

(2)

所求直线过，

，

，即.

(3)

当直线过原点时，设直线方程为，

直线过点，

，直线方程为，即2x－3y＝0；

当直线不过原点时，设直线方程为，

将点代入上式得，，解得，

故直线的方程为，

综上，直线方程为或.

27．(1)

(2)

【分析】（1）BC边上的高线过点A且垂直于BC，由点斜式即可得解；

（2）BC边的垂直平分线过BC中点且垂直于BC，由点斜式即可得解.

（1）

因为，所以BC边上的高线的斜率 ，

故BC边上的高线的方程为：,

 即所求直线方程为：.

（2）

因为，所以BC边上的垂直平分线的斜率 ，

又BC的中点为，

故BC边的垂直平分线的方程为：，

即所求直线方程为：.

28．(1)

(2)

【分析】（1）求出直线的斜率，即可得到BC边上的高线的斜率，利用直线方程的点斜式，即可求解.

（2）求出BC的中点D坐标，求出中线AD所在直线的斜率，代点斜式即可求解.

(1)

解：∵、，BC边斜率k，故BC边上的高线的斜率k＝，故BC边上的高线所在直线的方程为，即.

(2)

解：BC的中点，中线AD所在直线的斜率为，故BC边上的中线AD所在直线的方程为，即.

29．﹒【分析】设直线、的倾斜角分别为α、2α，根据tanα＝2求tan2α即可．

【详解】设直线的倾斜角为α，则直线的倾斜角为2α，

则tanα＝2，

∴直线的斜率为：﹒

30．(1)

(2)

(3)

【分析】（1）先用斜率公式求出的斜率，再利用直线方程的点斜式，即可求解；

（2）利用两直线垂直得到，即可得到高所在直线的斜率，利用直线方程的点斜式，即可求解.

（3）求出边上的中点D坐标，利用两点的坐标，即可求出直线方程；

（1）

因为、，

故，边AC所在直线的方程为：，

即为：，

（2）

由（1）知，故

所以AC边上的高所在直线的斜率为，

又，故为：，即；

（3）

设AC边上的中点为D，则，即，

故AC边上的中线BD所在直线的方程的斜率为，

故为：，即.