初中数学人教版九年级下册第二十七章 相似27.2 相似三角形27.2.2 相似三角形的性质教案及反思

27.2.2　相似三角形的性质

教学目标

【知识与技能】

1.了解相似三角形对应线段的比、周长的比、面积的比与相似比的关系;

2.会利用相似三角形的性质解决简单的问题.

【过程与方法】

在探索相似三角形对应线段的比、周长的比、面积的比与相似比的关系的过程中,体验化归思想.

【情感、态度与价值观】

经历探索相似三角形性质的过程,体验解决问题策略的多样性.

教学重难点

【教学重点】

相似三角形对应线段的比、周长的比、面积的比与相似比的关系.

【教学难点】

探索相似三角形对应线段的比、周长的比等于相似比及面积比等于相似比的平方的性质.

教学过程

一、问题导入

对于相似三角形,我们已研究了它的定义与判定,根据已有的研究几何图形的经验,我们接下来应该研究相似三角形的什么知识?可以从哪些角度来研究?

相似三角形的性质主要是研究相似三角形几何量之间的关系,三角形有哪些几何量?

我们已经知道相似三角形的哪些有关几何量的性质?还能从哪些几何量方面提出哪些猜想?

二、合作探究

探究点1　相似三角形对应线段的比等于相似比

典例1　如果两个相似三角形的对应边之比为1∶9,那么它们的对应中线之比是 (　　)

A.1∶2 B.1∶3 C.1∶9 D.1∶81

[答案]　C

变式训练　如果两个相似三角形的对应边之比为2∶5,其中一个三角形的一个内角的角平分线长为7,则另一个三角形对应角平分线的长为              (　　)

A. B. 

C. D.无法确定

[答案]　C

探究点2　相似三角形周长的比等于相似比

典例2　如图,在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D,△ABC的周长是24,求△DEF的周长.

[解析]　在△ABC和△DEF中,∵AB=2DE,AC=2DF,∴.又∠D=∠A,∴△DEF∽△ABC,相似比为,

∴△DEF的周长=×24=12.

【技巧点拨】先根据已知条件得出△ABC和△DEF相似,再根据相似三角形的周长的比等于相似比的关系解决问题.

探究点3　相似三角形面积的比等于相似比的平方

典例3　如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BC=3AD,E是AB上的一点,若△BCE和四边形AECD的面积分别为S1和S2,且2S1=3S2,求的值.

[解析]　分别延长BA,CD相交于点H.

∵AD∥BC,BC=3AD,2S1=3S2,

∴S△ADH∶S△BCH=AD2∶BC2=1∶9,即S△ADH∶(S△ADH+S1+S2)=1∶9,

∴S△ADH=(S1+S2)=S2,

∴S△CEH=S2,∴S△CEH∶S△BCE=7∶8.

又∵S△CEH∶S△BCE=EH∶BE=(AH+AE)∶BE,

∴(AH+AE)∶BE=7∶8.

∵AH∶BH=1∶3,

∴AH∶AB=1∶2,

∴∶BE=7∶8,

∴BE=4AE,即=4.

【技巧点拨】在运用相似三角形的性质、相似多边形的性质计算时,一定要分清是等于“相似比”还是“相似比的平方”.另外,在确定相似比时,要分清对应边.

变式训练　如图,在△ABC中,DE∥FG∥BC,且DE,FG把△ABC的面积三等分,若BC=12,求FG的长.

[解析]　由已知得S△AFG∶S△ABC=2∶3,

则,即,解得FG=4 .

三、板书设计

相似三角形的性质

结论1:相似三角形对应线段的比及周长的比都等于相似比.

结论2:相似三角形面积的比等于相似比的平方.

教学反思

本节课是在研究相似多边形的定义、相似三角形的定义以及相似三角形的判定定理的基础上继续对相似三角形相关性质的探究.由相似三角形的定义可知,相似三角形的对应角相等,对应边成比例.三角形还有其他的几何量,如三角形的高、中线、角平分线、周长以及面积等.本节主要研究相似三角形周长之比、面积之比与相似比之间的关系.

本节课首先证明了相似三角形对应高的比等于相似比,然后由相似三角形对应中线的比等于相似比,推广到更一般的结论——相似三角形对应线段的比等于相似比.紧接着推出相似三角形周长的比、面积的比与相似比之间的关系.