湖北省天门市六校联考平行班2022-2023学年九年级上学期中数学试卷 (含答案)

2022-2023学年湖北省天门市六校联考平行班九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 在天气预报图上，有各种各样表示天气的符号，下列表示天气符号的图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 方程的左边配成完全平方后所得方程为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 函数的图象如图所示，关于的一元二次方程的根的情况是(    )

A. 有两个相等的实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根
D. 没有实数根

4. 关于的一元二次方程，常数项为，则值等于(    )

A.  B.  C.  D. 无法确定

5. 抛物线与轴的交点个数是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知抛物线经过，，三点，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为(    )

A.  B.
C.  D.

8. 在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点都是网格线的交点，已知，两点的坐标分别为，，将绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，线段由线段绕点按逆时针方向旋转得到，由沿方向平移得到，且直线过点则(    )
    

A.  B.  C.  D.

10. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 二次函数的顶点坐标是______．
12. 若，是方程的两个实数根，则的值为______．
13. 将抛物线向右平移______个单位长度后经过原点．
14. 如图，在中，，将绕点旋转到的位置，使得，则的大小为______．

15. 如图，已知二次函数的图象与轴分别交于、两点，与轴交于点，则由抛物线的特征写出如下结论：；；；其中正确的是______．

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    解方程：
    ；
    ．
17. 本小题分
    如图，方格纸中的每格都是边长为的正方形，将顶点都是正方形的顶点绕点按逆时针方向旋转得到．
    在所给的图形中画出；
    求的面积．

18. 本小题分
    已知抛物线与轴交于点，点在点的左侧与轴交于点．
    求点，的坐标；
    求的面积．
19. 本小题分
    已知关于的一元二次方程．
    若该方程有两个实数根，求的取值范围；
    若方程的两个实数根为，，且，求的值．
20. 本小题分
    如图，将绕点顺时针旋转得，若且平分求、的度数．

21. 本小题分
    在运动会比赛时，九年级的一名男同学推铅球，已知铅球经过的路线是某二次函数图象的一部分如图所示，如果这名男同学的出手处点的坐标为，铅球路线的最高处点的坐标为．
    求出这个二次函数的解析式；
    请求出这名男同学比赛时的成绩？

22. 本小题分
    如图，在中，，，为边上一点不与点，重合，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，请写出的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由；
    拓展探究：
    如图，在中，，，为边上一点不与点，重合，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则的度数是______；线段，，之间的数量关系是______．

23. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且点是第三象限内抛物线上的一动点．
    求此抛物线的表达式；
    若，求点的坐标；
    连接，求面积的最大值及此时点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、既是轴对称图形，也是中心对称图形．符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．不符合题意．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念结合表示天气符号的图形解答．
掌握中心对称图形与轴对称图形的概念．
轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；
中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查一元二次方程的解法，掌握配方法的步骤是解题的关键．根据配方法的步骤进行配方即可．
【解答】
解：移项得：，
配方可得：，
即，
故选A．  

3.【答案】 

【解析】解：由函数图象可知，
函数的最大值是，
即对应的的值只有一个，
即一元二次方程有两个相等的实数根，
所以关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
故选：．
根据函数图象可知函数的最大值是，从而可以得到关于的一元二次方程的根的情况，本题得以解决．
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的一般形式：是常数且，特别要注意，这是在做题过程中容易忽视的知识点．
在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，由此列关系式计算即可．
【解答】
解：由题意，得
解得：．
故选B．  

5.【答案】 

【解析】解：，
抛物线与轴有个交点．
故选：．
直接利用抛物线与轴交点个数与的关系得出即可．
此题主要考查了抛物线与轴的交点，正确求出的值是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意抛物线的对称轴，

观察图象可知：，
故选：．
利用图象法解决问题即可．
本题考查的是抛物线与轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：将二次函数的图象向左平移个单位长度，得到：，
再向上平移个单位长度得到：．
故选：．
直接利用二次函数图像的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
此题主要考查二次函数图象的几何变换，正解掌握平移规律是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，点坐标为，
将绕点顺时针旋转，则点的对应点的的坐标为．
故选D．
先利用，两点的坐标画出直角坐标系得到点坐标，再画出绕点顺时针旋转后点的对应点的，然后写出点的坐标即可．
本题考查了坐标与图形变化：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：，，，，．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了图形的平移与旋转，平行线的性质，熟练掌握是解本题的关键．
由旋转的性质得，，，再由平移的性质即可得出结论．
【解答】
解：线段是由线段绕点按逆时针方向旋转得到，
，，
，
是沿方向平移得到，
，
；
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：、一次函数与轴交点应为，二次函数与轴交点也应为，图象不符合，故本选项错误，不合题意；
B、由抛物线可知，，由直线可知，，且抛物线与直线与轴的交点相同，故本选项正确，符合题意．
C、由抛物线可知，，由直线可知，，的取值矛盾，故本选项错误，不合题意；
D、由抛物线可知，，由直线可知，，的取值矛盾，故本选项错误，不合题意；
故选：．
可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．
本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．
 

11.【答案】 

【解析】解：二次函数，
该函数图象的顶点坐标为，
故答案为：．
根据题目中二次函数的顶点式，可以直接写出顶点坐标．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由二次函数顶点式可以直接写出顶点坐标．
 

12.【答案】 

【解析】解：、是方程的两个实数根，
，，
，
．
故答案为：．
由于、是方程的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到，并且，然后把可以变为，把前面的值代入即可求出结果．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
 

13.【答案】 

【解析】解：设平移后解析式为：为平移的单位，，
代入得，，
解得：，
故答案为：．
直接利用二次函数的平移规律结合二次函数图象上点的坐标特征进而得出答案．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
将绕点旋转到的位置，
，，
，
，
故答案为：．
由平行线的性质可得，由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，即可求解．
本题考查考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由图像可知，
，，，二次函数有两个不相等的实数根，
点坐标为，点坐标为，
，
故正确；
由图象与轴有两个交点可得，
故正确；
当时，此时，
故错误；
，
，
由可知，，
，
故正确．
故答案为：．
通过图象和对称轴判断出、、得到正负即可；
通过图象判断出；
将代入二次函数即可；
综合和二次函数过判断即可．
本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征和抛物线与坐标轴的交点，能够灵活运用图象上的点是解答本题的关键．
 

16.【答案】解：，
，
或，
，；

，，，
，
，
，． 

【解析】利用因式分解法求解即可；
利用公式法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图，三角形即为所求的图形；

，，
的面积． 

【解析】根据旋转的性质作图即可；
利用勾股定理以及等腰直角三角形的性质求解．
本题考查作图旋转变换、三角形的面积、勾股定理，熟练掌握旋转的性质以及勾股定理是解答本题的关键．
 

18.【答案】解：当时，，解得，，
点的坐标为，点的坐标为；
当时，，
点坐标为，
的面积． 

【解析】通过解方程得点、的坐标；
先确定点坐标，然后根据三角形面积公式求解．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．
 

19.【答案】解：该方程有两个实数根，
，
；

方程的两个实数根为，，
，，
，
解得或，
，
． 

【解析】由方程有实数根即可得出，解之即可得出的取值范围；
根据根与系数的关系可得出、，结合即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再由中的取值范围即可确定的值．
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：牢记“当时，方程有实数根”；由根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程．
 

20.【答案】解：将绕点顺时针旋转得，
，，
，
，
平分，
，
． 

【解析】由旋转的性质可得，，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：设二次函数的解析式为，
由于顶点坐标为，
．
又在抛物线上，
，
解得：．
二次函数的解析式为，
整理得：．
这个二次函数的解析式是；
当时，．
，不合题意，舍去．
答：这名男同学比赛时的成绩是米． 

【解析】由最高点的坐标可以设得二次函数的顶点坐标式，再将代入即可求解．
由求得的函数解析式，令，求得的的正值即为铅球推出的距离．
本题考查了二次函数在实际生活中的应用，熟练掌握函数解析式的求法是解答本题的关键．
 

22.【答案】   

【解析】解：结论：，．
理由：是等边三角形，
，，
由旋转知，，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
是等边三角形，
，
；

结论：，．
理由：在中，，，
由旋转知，，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
．
故答案为：，．
先判断出，即可判断出≌，即可得出结论；
先判断出，再同的方法判断出≌，即可得出结论．
此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定，判断出是解本题的关键．
 

23.【答案】解：抛物线中，故，
而，则，，
故点、、的坐标分别为、、，
则，把点坐标代入，得：，解得：，
故抛物线的表达式为：；
抛物线的对称轴为，
当时，点和的纵坐标相同，
根据抛物线的对称性得点的坐标为；
过点作轴交于点，如图，

设直线的表达式为：，
把点、的坐标代入，得
解得：
直线的表达式为，
设，则，
，
则的面积，
，
有最大值，当时，的最大值为，
而当时，，
面积的最大值为，此时点的坐标为． 

【解析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、面积的计算等，有一定的综合性．
抛物线，则，故，而，则，，确定点、、的坐标，即可求解；
抛物线的对称轴为，当时，点、的纵坐标相同，利用抛物线的对称性即可求解；
过点作轴交于点，则的面积，利用二次函数的性质即可求解．