人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算学案

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 6.2.3向量的数乘运算及其几何意义
导学案
【学习目标】
1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.
2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算
3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题
【自主学习】
知识点1 向量数乘运算
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，
其长度与方向规定如下：21·世纪*
(1)|λa|＝|λ||a|.
(2)λa(a≠0)的方向
特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0.

知识点2 向量数乘的运算律
(1)λ(μa)＝(λμ)a.
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；
λ(a－b)＝λa－λb.

知识点3 共线向量定理
向量a (a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.

知识点4 向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，
以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有：λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.

【合作探究】
探究一 向量的数乘运算
【例1】计算：
(1)(－3)×4a；
(2)3(a＋b)－2(a－b)－a；
(3)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)．
解　(1)原式＝(－3×4)a＝－12a；
(2)原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b；
(3)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c.
归纳总结：向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
【练习1】跟踪训练1　计算：
(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；
(2)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．
解　(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.
(2)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c
＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)＝6a＋2b.
探究二 用已知向量表示未知向量
【例2】如图所示，已知▱ABCD的边BC，CD的中点分别为K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，.

[分析]　利用向量的加法和数乘运算进行化简．
[解]　设＝x，则＝x，＝e1－x，
＝＝＝e1－x.
由＋＝，得x＋e1－x＝e2，
解方程得x＝e2－e1，即＝e2－e1.
由＝－，＝e1－x，
得＝x－e1＝－e1＝－e1＋e2.

归纳总结：由已知向量来表示另外一些向量是向量解题的基础，除了要利用向量的加、减、数乘等线性运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、性质，如三角形的中位线定理，相似三角形的对应边成比例等把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解.
【练习2】如图，设△ABC的重心为M，O为平面上任一点，＝a，＝b，＝c，试用a、b、c表示向量.

解：连接AM并延长交BC于D点．
∵M是△ABC的重心，
∴D是BC的中点，且AM＝AD.
∴＝＝(＋)
＝＋
＝＋
＝＋
＝(－)＋(－)
＝(b－a)＋(c－b)
＝－a＋b＋c.
∴＝＋＝a＋
＝(a＋b＋c)．
探究三 向量共线定理的应用
【例3-1】已知e1，e2是不共线的向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，则a与b是否共线？
解　若a与b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，
即3e1＋4e2＝λ(6e1－8e2)，
所以(3－6λ)e1＋(4＋8λ)e2＝0，
因为e1与e2不共线，所以所以λ不存在，
所以a与b不共线．
【例3-2】已知两个非零向量e1和e2不共线，如果＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，求证：A、B、D三点共线．
证明　∵＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，
∴＝＋＝(6e1＋23e2)＋(4e1－8e2)
＝10e1＋15e2.
又∵＝2e1＋3e2，∴＝5，
∴、共线，且有公共点B.∴A、B、D三点共线．
归纳总结：　(1)本题充分利用了向量共线定理，即b与a(a≠0)共线⇔b＝λa，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值．
(2)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．
【练习3-1】已知非零向量e1，e2不共线．
(1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：，共线；
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
解　(1)∵＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5.
∴，共线．
(2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，
∴存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
即(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1与e2不共线，
只能有∴k＝±1.
【练习3-2】已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)．
(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.
证明　(1)若m＋n＝1，
则＝m＋(1－m)＝＋m(－)，
∴－＝m(－)，
即＝m，∴与共线．
又∵与有公共点B，则A，P，B三点共线．
(2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使＝λ，
∴－＝λ(－)．
又＝m＋n.
故有m＋(n－1)＝λ－λ，
即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0.
∵O，A，B不共线，∴，不共线，
∴∴m＋n＝1.

课后作业
A组 基础题
一、选择题
1．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则(　　)
A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝
答案　D
解析　当k＝时，m＝－e1＋e2，n＝－2e1＋e2.
∴n＝2m，此时，m，n共线．
2．下列各式计算正确的有(　　)
①(－7)6a＝－42a；②7(a＋b)－8b＝7a＋15b；
③a－2b＋a＋2b＝2a；④4(2a＋b)＝8a＋4b.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案　C
3．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且＋＋＝，则(　　)
A．P在△ABC内部
B．P在△ABC外部
C．P在AB边上或其延长线上
D．P在AC边上
答案　D
解析　＋＋＝－，
∴＝－2，∴P在AC边上．
4．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　

如图，＋
＝＋＋＋
＝＋＝(＋)
＝·2＝.
5．已知向量a，b，设＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，那么下列各组中三点一定共线的是(　　)
A．A，B，C B．A，C，D
C．A，B，D D．B，C，D
答案　C
解析　由向量的加法法则知＝＋＝－5a＋6b＋7a－2b＝2(a＋2b)＝2，又两线段均过点B，故A，B，D三点一定共线21-cn-jy.co
6．已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为(　　)
①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；
③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na，则m＝n.
A．①④ B．①②
C．①③ D．③④
答案　B
解析　①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m＝0，则不能推出a＝b，错误；④中，若a＝0，则m，n没有关系，
7．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m的值为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案　B
解析　∵＋＋＝0，
∴点M是△ABC的重心．
∴＋＝3，∴m＝3.
二、填空题
8．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，则＝________，＝________.(用a，b表示)
答案　b－a　－a－b
解析　如图，＝＝－＝b－a，

＝－＝－－＝－a－b.
9．在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|－|，则四边形ABCD的形状为________．
答案　矩形
解析　如图，因为＋＝，

－＝，
所以||＝||.
由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形．
10.如图所示，设M，N为△ABC内的两点，且＝＋，＝＋，则△ABM的面积与△ABN的面积之比为________．

答案　2∶3
解析　

如图所示，设＝，＝，
则＝＋.
由平行四边形法则知，MQ∥AB，
∴＝＝.
同理＝.∴＝
三、解答题
11.如图，ABCD为一个四边形，E、F、G、H分别为BD、AB、AC和CD的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．

证明　∵F、G分别是AB、AC的中点．
∴＝.
同理，＝.
∴＝.
∴四边形EFGH为平行四边形．

12.已知e1，e2是两个非零不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a与b是共线向量，求实数k的值．
解　∵a与b是共线向量，∴a＝λb，
∴2e1－e2＝λ(ke1＋e2)＝λke1＋λe2，
∴∴∴k＝－2.
13．设e1，e2是两个不共线的向量，＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求k的值．
解　若A，B，D三点共线，则与共线，
所以可设＝λ.
又因为＝－
＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，
所以2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，
即(4λ＋k)e2＝(λ－2)e1，
因为e1，e2是两个不共线的向量，
若4λ＋k≠0，则e2＝e1，
于是e1与e2是共线向量，与已知条件矛盾；
若λ－2≠0，则e1＝e2，
于是e1与e2是共线向量，与已知条件矛盾，
所以　故λ＝2，k＝－8.
14.如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD.
求证：M、N、C三点共线.

证明　设＝a，＝b，则由向量减法的三角形法则可知：＝－＝－＝a－b.
又∵N在BD上且BD＝3BN，
∴＝＝(＋)＝(a＋b)，
∴＝－＝(a＋b)－b
＝a－b＝，
∴＝，
又∵与的公共点为C，
∴C、M、N三点共线．

B组 能力提升
一、选择题
1.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)
A.－ B.－
C.＋ D．＋
【答案】A
【解析】作出示意图如图所示．＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－.


2.在四边形ABCD中，＝，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，则(　　)
A.＝＋ B．＝＋
C.＝＋ D．＝＋
【解析】

在四边形ABCD中，如图所示，因为＝，所以四边形ABCD为平行四边形．由已知得＝，由题意知△DEF∽△BEA，则＝，所以＝＝(－)＝×＝，所以＝＋＝＋＝＋，故选B.
【答案】B
3.如图，在直角梯形ABCD中，＝，＝2，且＝r＋s，则2r＋3s＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4

【解析】　法一：由题图可得＝＋＝＋＝＋(＋＋)＝＋(＋)＝＋(＋)＝＋.
因为＝r＋s，所以r＝，s＝，则2r＋3s＝1＋2＝3.
法二：因为＝2，所以－＝2(－)，整理，得＝＋＝＋(＋)＝＋，以下同法一．

法三：如图，延长AD，BC交于点P，则由＝得DC∥AB，且AB＝4DC.
又＝2，所以E为PB的中点，且＝.
于是，＝(＋)＝＝＋.以下同法一．

法四：如图，建立平面直角坐标系xAy，依题意可设点B(4m，0)，D(3m，3h)，E(4m，2h)，其中m＞0，h＞0.
由＝r＋s，得(4m，2h)＝r(4m，0)＋s(3m，3h)，
所以解得
所以2r＋3s＝1＋2＝3.
【答案】C
4.如图，已知＝，用，表示，则等于(　　)

A.－
B.＋
C．－＋
D．－－
【答案】C
【解析】＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.故选C.
5.在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．
C.　　　　 D．
【答案】D
【解析】由题意易得＝＋＝＋，所以2＝＋，即＝＋.
故λ＋μ＝＋＝.
6.已知A，B，C三点不共线，且点O满足16－12－3＝0，则(　　)
A.＝12＋3 B．＝12－3
C.＝－12＋3 D．＝－12－3
【答案】A
【解析】对于A，＝12＋3＝12(－)＋3(－)＝12＋3－15，整理，可得16－12－3＝0，这与题干中条件相符合，故选A.
7.如图，在△ABC中，＝，＝，若＝λ＋μ，则的值为(　　)

A．－3 B．3
C．2 D．－2
【答案】B
【解析】因为＝＋，＝＝(－)＝－＝×－＝－，
所以＝＋＝＋.又＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝，所以＝×＝3.故选B.
8.已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d反向共线，则实数λ的值为(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．－
C．1或－ D．－1或－
【答案】B
【解析】由于c与d反向共线，则存在实数k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]．整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共线，所以有整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－.

二、填空题
9．已知O为△ABC内一点，且2＝＋，＝t，若B，O，D三点共线，则t的值为________．
【解析】设线段BC的中点为M，则＋＝2.
因为2＝＋，所以＝，
则＝＝(＋)＝＝＋.
由B，O，D三点共线，得＋＝1，解得t＝.
【答案】
10．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且＝＋λ(λ∈R)，则AD的长为________．

【解析】因为B，D，C三点共线，所以＋λ＝1，解得λ＝，如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则＝，＝，因为△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，所以四边形AMDN是菱形，因为AB＝4，所以AN＝AM＝3，AD＝3.
【答案】3
11．在△ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数λ和μ，使得＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．

【解析】如图，因为点D在边BC上，所以存在t∈R，使得＝t＝t(－)．因为M是线段AD的中点，所以＝(＋)＝(－＋t－t)＝－(t＋1)·＋t.又＝λ＋μ，所以λ＝－(t＋1)，μ＝t，所以λ＋μ＝－.
【答案】－.
12．已知P为△ABC所在平面内一点，＋＋＝0，||＝||＝||＝2，则△ABC的面积为________．
【解析】因为＋＋＝0，所以＝－(＋)．由平行四边形法则可知，以，为边组成的平行四边形的一条对角线与反向，且长度相等．因为||＝||＝||＝2，所以以，为边的平行四边形为菱形，且除BC外的另一条对角线长为2，所以BC＝2，∠ABC＝90°，所以S△ABC＝AB·BC＝×2×2＝2.
【答案】2
三、解答题
13．在如图所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c与xa＋yb(x，y为非零实数)共线，求的值．

【解析】设e1，e2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c＝e1－2e2，a＝2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由c与xa＋yb共线，得c＝λ(xa＋yb)，所以e1－2e2＝2λ(x－y)e1＋λ(x－2y)e2，所以所以所以的值为.
14．经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n，m，n∈R，求＋的值．
【解析】设＝a，＝b，则＝(a＋b)，
＝－＝nb－ma，
＝－＝(a＋b)－ma＝a＋b.
由P，G，Q共线得，存在实数λ使得＝λ，
即nb－ma＝λa＋λb，
则消去λ，得＋＝3.

C组 挑战压轴题
一、选择题
1.如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且满足BD＝DC，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N若＝m，＝n，则(　　)

A．m＋n是定值，定值为2
B．2m＋n是定值，定值为3
C.＋是定值，定值为2
D.＋是定值，定值为3
【答案】D
【解析】法一：如图，过点C作CE平行于MN交AB于点E.由＝n可得＝，所以＝＝，由BD＝DC可得＝，所以＝＝，因为＝m，所以m＝，整理可得＋＝3.

法二：因为M，D，N三点共线，所以＝λ＋(1－λ)·.又＝m，＝n，所以＝λm＋(1－λ)·n.又＝，所以－＝－，所以＝＋.比较系数知λm＝，(1－λ)n＝，所以＋＝3，故选D.
2.已知O是平面内一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ（＋）(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
答案　B
解析　为上的单位向量，为上的单位向量，则＋的方向为∠BAC的角平分线的方向．
又λ∈[0，＋∞)，∴λ（＋）的方向与＋的方向相同．而＝＋λ（＋），
∴点P在上移动．
∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心．
3．A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(1，] D．(－1,0)
答案　B
解析　设＝m，则m>1，
因为＝λ＋μ，
所以m＝λ＋μ，
即＝＋，
又知A，B，D三点共线，
所以＋＝1，即λ＋μ＝m，
所以λ＋μ>1，故选B.
4.在中，为上一点，，为上任一点，若，则的最小值是（ ）
A．9 B．10
C．11 D．12
【答案】D
【解析】由题意可知：，
三点共线，则：，据此有：
，
当且仅当时等号成立.
综上可得：的最小值是12.
本题选择D选项.

二、填空题
5.在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是________．
【解析】设＝y，因为＝＋＝＋y＝＋y(－)＝－y＋(1＋y).
因为＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)．
所以y∈，
因为＝x＋(1－x)，
所以x＝－y，所以x∈.
【答案】
6.已知为直线上的不同三点，为外一点，存在实数，使得成立，则的最小值为__________．
【答案】16
【解析】∵为直线上的不同三点，且，
∴，又，
∴，
当且仅当即时等号成立，∴的最小值为16，故答案为：16