高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示学案及答案

   6.3.5平面向量数量积的坐标表示

导学案

【学习目标】

1.会用坐标表示平面向量的数量积.

2.能够用向量坐标求数量积、模及两个向量的夹角.

3.能够利用坐标判断向量的垂直关系.

【自主学习】

知识点1  面向量数量积的坐标表示

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝           .

即两个向量的数量积等于           .

知识点2  平面向量长度(模)的坐标表示

(1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝.

(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，

知识点3  两向量垂直的坐标表示

设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

则a⊥b⇔           .

知识点3  向量的夹角公式

设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，

则cos θ＝＝.

【合作探究】

探究一  平面向量数量积的坐标运算

【例1】已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.

(1)求a的坐标；                (2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.

归纳总结：

【练习1】若a＝(2,3)，b＝(－1，－2)，c＝(2,1)，则(a·b)·c＝____________；

a·(b·c)＝____________.

探究二   向量的模的问题

【例2】向量与向量a＝(－3,4)的夹角为π，||＝10，若点A的坐标是(1,2)，则点B的坐标为(　　)

A．(－7,8)　　　 　 　                　B．(9，－4)

C．(－5,10)                             D．(7，－6)

归纳总结：

【练习2】已知在△ABC中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求||与点D的坐标．

探究三    向量的夹角与垂直问题

【例3-1】已知a＝(1，－2)，b＝(1，λ)，且a与b的夹角θ为锐角，则实数λ的取值范围是(　　)

A．(－∞，－2)∪(－2，)             B．(，＋∞)

C．(－2，)∪(，＋∞)               D．(－∞，)

【例3-2】已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.

【例3-3】已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为(　　)

A.              B.             C.            D.

归纳总结：

【练习3-1】已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：

(1)a与b的夹角为直角；

(2)a与b的夹角为钝角；

(3)a与b的夹角为锐角．

【练习3-2】设向量a与b的夹角为θ，且a＝(3,3)，2b－a＝(－1，－1)，cosθ＝________.

课后作业

A组 基础题

一、选择题

1.若单位向量满足，向量满足，且向量的夹角为60°，则（    ）

A.  B. 2 C.  D.

2.已知向量，若向量在向量方向上的投影为－2，则向量与向量的夹角是（    ）

A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°

3.已知向量满足，且与的夹角为，则（    ）

A.  B.  C. 1 D. 13

4.已知，则在方向上的射影为（    ）

A.  B.  C.  D.

5.已知向量，，若，则实数m= (     )

A. －1 B. 1 C. 2 D. －2

6.已知向量，满足，，且与的夹角为，则向量与的夹角为（    ）

A.  B.  C.  D.

7.若，，且，则向量的夹角为（    ）

A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°

8.已知非零向量、满足，且，则与的夹角为（    ）

A.  B.  C.  D.

9.设非零向量，则“”是“”的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

二、填空题

10.已知单位向量，满足，则与的夹角是_________.

11.若向量，，则与的夹角等于______.

12. 向量，，若，则_________.

13.已知单位向量，的夹角是，向量，若，则实数________.

三、解答题

14.已知向量与向量的夹角为，且，.

（1）求；

（2）若，求

15.已知平面向量，，，函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离是．

（Ⅰ）求函数f(x)的单调递减区间；

（Ⅱ）求函数f(x)在区间上的最值．

B组 能力提升

一、选择题

1.非零向量满足：，则与夹角的大小为（    ）

A.  B.  C.  D.

2.已知向量，向量在方向上的投影为-4，若，则实数的值为（    ）

A. 3 B.  C.  D.

3.已知向量，，若与的夹角为，则（    ）

A. 2 B.  C.  D. 1

4.如图所示，在中，设为的外心，向量，，，若，，则等于（    ）

A. 6 B. 5 C. 3 D. 1

5.已知、、是在同一平面内的单位向量，若与的夹角为60°，则的最大值是（    ）

A.  B. －2 C.  D.

二、填空题

6.如图，在平面四边形ABCD中，，，，E、F分别为边BC、CD的中点，则______．

7.在△ABC中，若，，，，则______.

8.在锐角△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，若，，且，，则实数的值为_______．

9.已知，，,若点P是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于________.

三、解答题

10.已知向量，（，），令（）.

（1）化简，并求当时方程的解集；

（2）已知集合，D是函数与定义域的交集且D不是空集，判断元素f(x)与集合P的关系，说明理由.

C组 挑战压轴题

一、选择题

1.设，，为非零不共线向量，若则（    ）

A.  B.

C.  D.

2.已知△ABC中，，，，动点P自点C出发沿线段CB运动，到达点B时停止，动点Q自点B出发沿线段BC运动，到达点C时停止，且动点Q的速度是动点P的2倍.若二者同时出发，且一个点停止运动时，另一个点也停止，则该过程中的最大值是（    ）

A.  B. 4 C.  D. 23

二、填空题

3.已知平面向量满足，，，，则的最小值为_____

4.已知平面向量、、满足、，，则的取值范围是______.

5. △ABC是等腰直角三角形，，，点D满足，点E是所在直线上一点.如果，则__________；在上的投影的取值范围是__________.

6.在面积为1的平行四边形ABCD中，，则___________；点P是直线AD上的动点，则的最小值为___________.