湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2022-2023学年高三上学期期中联考数学试题

2022年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考

高三数学试卷

命题学校：黄石二中   命题教师：王庶  王珊

审题学校：黄陂一中   审题教师：李威

考试时间：2022年11月1日下午15：00-17：00   试卷满分：150分

一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。）

1．命题“”的否定为（    ）

A．    B．    C．    D．

2．己知集合，则（    ）

A．       B．       C．       D．

3．下列函数中周期为，且为偶函数的是（    ）

A．       B．       C．       D．

4．已知的外接圆圆心为O，且，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A．       B．        C．        D．

5．已知函数的定义域为R，，则下述正确的是（    ）

A．的图象关于点对称          B．的图象关于y轴对称

C．的图象关于直线对称        D．的图象关于点对称

6．在中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，，D点为AC上一点且，则的最小值为（    ）

A．       B．        C．        D．

7．已知，则（    ）

A．      B．      C．       D．

8．己知函数，则函数的零点个数是（    ）

A．6        B．5         C．4        D．3

二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）

9．若，则使“”成立的一个必要不充分条件是（    ）

A．       B     C．      D．

10．水车是我国劳动人民创造发明的一种灌溉工具，作为中国农耕文化的组成部分，充分体现了中华民族的创造力，见证了中国农业文明．水车的外形酷似车轮，在轮的边缘装有若干个水斗，借助水势的运动惯性冲动水车缓缓旋转，将水斗内的水逐级提升．如图，某水车轮的半径为6米，圆心距水面的高度为4米，水车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动2圈，当其中的一个水斗A到达最高点时开始计时，设水车转动t（分钟）时水斗A距离水面的高度（水面以上为正，水面以下为负）为（米），下列选项正确的是（    ）

A．        B．

C．若水车的转速减半，则其周期变为原来的

D．在旋转一周的过程中，水斗A距离水面高度不低于7米的时间为10秒

11．设等比数列的公比为q，其前和项和为，前n项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（    ）

A．       B     C．是数列中的最大项      D．

12．己知函数，令，则下列正确的选项为（    ）

A．数列的通项公式为

B．

C．若数列为等差数列，则

D．

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13．已知均为锐角，则___________．

14．已知向量不共线，且向量与的方向相反，则实数的值为___________．

15．若项数为n的数列满足：我们称其为n项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”．设数列为项的“对称数列”，其中是公差为2的等差数列，数列的最大项等于8．记数列的前项和为，若，则___________．

16．若不等式恒成立，则a的取值范围为___________．

四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．（本题满分10分）已知等差数列和等比数列满足，．

（1）求数列，的通项公式：

（2）设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列，记数列的前n项和为，求．

18．（本题满分12分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．

（1）求角A；

（2）己知，M点为BC的中点，N点在线段AC上且，点P为AM与BN的交点，求的余弦值．

19．（本题满分12分）如图，在三棱柱中，，

D是棱的中点．

（1）证明：平面；

（2）若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角．

20．（本题满分12分）在一次数学随堂小测验中，有单项选择题和多项选择题两种．单项选择题，每道题四个选项中仅有一个正确，选择正确得5分，选择错误得0分；多项选择题，每道题四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有选择错误的得0分．

（1）小明同学在这次测验中，如果不知道单项选择题的答案就随机猜测．己知小明知道单项选择题的正确答案和随机猜测的概率都是．问小明在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，求他知道这道单项选择题正确答案的概率．

（2）小明同学在做多选题时，选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为．己知某个多项选择题有三个选项是正确的，小明在完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，记小明做这道多项选择题所得的分数为X，求X的分布列及数学期望．

21．（本题满分12分）设点P为圆上的动点，过点P作x轴垂线，垂足为点Q，动点M满足（点P、Q不重合）

（1）求动点M的轨迹方程E；

（2）若过点的动直线与轨迹E交于A、B两点，定点N为，直线NA的斜率为，直线NB的斜率为，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

22．（本题满分12分）己知函数．

（1）讨论函数在上的单调性．

（2）证明：．

2022年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考

高三数学参考答案

一、单选题

1-4  ADCA      5-8  CBDB

二、多选题

9．BCD  10．AD  11．ACD  12．ACD

三、填空题

13．2    14．     15．或   16．

四、解答题

17．解析：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，

由，可得，

则；                              5分

（2）由（1）

即是数列中的第项．

设数列的前n项和为，数列的前n项和为，

因为

所以数列的前50项是由数列的前56项去掉数列的前6项后构成的，

所以．         10分

18．解析：（1）

化简得：                    3分

，求得

即．                      5分

（2）点为BC的中点

                     7分

                   10分

．即的余弦值为．                12分

19．解析：（1）证明：（1）取BC中点O，连接AO，，，

因为，所以，

因为，所以         2分

所以，所以，

因为平面，

所以平面，即平面．                           6分

（2）连接OD，则平面即为平面，

由（1）知平面，因为平面ABC，且平面，

故平面平面ABC，平面平面，

过O作于M，则平面ABC，过作于H，则平面，

因为知，

在中：，

所以

所以                         6分

方法一（空间向量法）：

设，则，

在中

所以又，所以，所以点M与点重合以O为原点，分别以分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，

，

              8分

设面的法向量为，则有

令则，所以

设面的法向量为，则有

令则

所以                        10分

设二面角的夹角为，

则有，即．              12分

方法二（几何法）：

过H做，连接，面，

，则面，

，则即为所求二面角．         8分

在中，，则

在中，

由与相似可得：

，则                    10分

，即平面与平面的夹角为．                  12分

20．解析：（1）设事件A为“题回答正确”，事件B为“知道正确答案”，则

，                    3分

所以．               5分

（2）设事件表示小明选择了个选项，事件C表示选择的选项是正确的，则

，

，

，

（或者．）

随机变量X的分布列如下：

．                    12分

21．解析：（1）设点P为，动点M为，则Q点为

求得：又

即点M的轨迹方程为：                    4分

（2）设直线AB方程为：则

消x得

  或

设A点，B点则

求得：                                          8分

的值为定值，定值为．             12分

22．解析：（1）

当时此时在内单调递增；

当时．

此时在内单调递增；

当时令

在上为减函数．

又

在上存在唯一零点，使得

∴当时，递增；

当时，递减．             5分

综上：

当时，此时在内单调递增；

当时，当时，，递增；

当时，，递减．

其中为方程的根．                     6分

（2）由（1）知当时，在区间上单调递增

则，即          7分

所以．                8分

因此

解法一：令，则

在上为减函数

，即上恒成立．

得证．                          12分

解法二：

得证．          12分