浙江省湖州市三贤联盟2022-2023学年高一数学上学期11月期中试题（Word版附解析）

2022学年第一学期湖州市三贤联盟期中联考

高一年级数学学科 试题

考生须知：

1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.

3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.

4.考试结束后，只需上交答题纸.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，则为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据并集概念进行计算.

【详解】.

故选：C

2. 下列函数中与函数是同一个函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】定义域和对应法则均一致，两函数为同一函数，AD选项的定义域与的定义域不同，C选项与的对应法则不一致，B选项与两者均一致.

【详解】的定义域为R，而的定义域为，故A错误；

的定义域为，故D错误；

，与对应法则不一致，C错误；

，故定义域为R，与对应法则一致，B正确.

故选：B

3. 已知，则“”是“函数为偶函数”的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】根据条件的充分性和必要性判断即可.

【详解】充分性：当时，，函数是偶函数，充分性成立；

必要性：若函数是偶函数，则，

得，必要性成立

故“”是“函数为偶函数”的充要条件

故选：C

4. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.那么下列命题为真命题的是（    ）

A. 若则 B. 若则

C. 若则 D. 若则

【答案】B

【解析】

【分析】利用举反例可判断ACD，利用作差法可判断B

【详解】对于A，满足但，故A不正确；

对于B，若所以，所以，故B正确；

对于C，满足但，故C不正确；

对于D，满足但，故D不正确，

故选：B

5. 已知，函数，若实数是方程的根，下列选项为假命题的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题意可得，结合二次函数的性质可得为的最大值，故可得到答案

【详解】因为实数是方程的根，

所以，

因为，所以的开口向下，

根据二次函数的性质可得为的最大值，故AC正确，D错误；

对于B，当时，满足，故B正确；

故选：D

6. 若函数，当时函数值，则的取值范围是（    ）

A. ； B. ；

C. ； D. ．

【答案】D

【解析】

【分析】分与去解不等式，求出的取值范围.

【详解】当时，，解得：，与取交集，结果为；当时，，解得：，综上：的取值范围是.

故选：D

7. 若，则的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】将都化为的形式，利用在上单调递增，判断的大小关系可得结果.

【详解】解：，， ，令，则在上单调递增，所以.

故选：A

8. 已知是偶函数，对，且，都有，且则的解集是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题意可得关于对称，在上单调递增，在上单调递减，结合即可求得不等式

【详解】因为是偶函数，所以，故关于对称，

由，且，都有，可得在上单调递增，

所以在上单调递减，

因为关于对称，所以，

由可得或，

所以当时，，所以，此时；

当时，，所以，此时；

综上所述，的解集是，

故选：B

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列关于幂函数描述正确的有（    ）

A. 幂函数的图象必定过定点和

B. 幂函数的图象不可能过第四象限

C. 当幂指数时，幂函数是奇函数

D. 当幂指数时，幂函数是增函数

【答案】BD

【解析】

【分析】依据幂函数的性质逐一判断选项即可．

【详解】解：选项A：幂函数的图象必定过定点，不一定过，例，故A错误；

选项B：幂函数的图象不可能过第四象限，正确；

选项C：当幂指数时，幂函数不奇函数，故C错误；

选项D：当幂指数时，幂函数是增函数，正确；

故选：BD

10. 当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合，，若与构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】对分三种情况讨论，再结合“全食”或“偏食”的概念分析得解.

【详解】当时，，,所以与构成“全食”；

当时，，如果，与构成“全食”；如果，，此时与构成 “偏食”；

当时，如果则，，，所以与构成“全食”；如果则，，所以选项A错误；

故选：BCD

11. 已知，，，则（    ）

A. 的最大值为 B. 的最小值为

C. 的最大值为 D. 的最小值为9

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用基本不等式判断A、B、D的正误，注意等号成立条件，将化为关于的二次函数形式求最值判断C.

【详解】因为，，，

所以，即，，当且仅当时等号成立，则A，B正确．

，当时取得最大值，则C错误．

，当且仅当时等号成立，则D正确．

故选：ABD

12. 函数的图象可能为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】由函数的奇偶性与单调性对选项逐一判断，

【详解】当为奇函数时，由即得，

当时，，

若，则，在上单调递减，在上单调递减，B满足题意，

若，则，在上单调递增，A满足题意，

当为偶函数时，由即得，

若则，此时，故D错误，

当时，，

若，则在上单调递减，在上单调递减，C满足题意，

故选：ABC

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 碳14是一种著名的放射性物质，像铀235、锶90、碘131、铯137、镭226等也都是放射性物质.放射性物质是指那些能自然地向外辐射能量，发出射线的物质.在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减.一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期.若在连续两个半衰期里，放射性物质将衰减为原有物质的________.

【答案】##0.25

【解析】

【分析】根据半衰期定义求解即可.

【详解】根据题意可知，一个半衰期里放射性物质衰减为原来的，则连续两个半衰期里，放射性物质将衰减为原来的.

故答案为：.

14. 已知函数，则_______.

【答案】##-0.75

【解析】

【分析】代入解析式求函数值即可.

【详解】.

故答案为：.

15. 依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）.2019年1月1日起，个税税额根据应缴纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额应纳税所得额税率－速算扣除数.税率与速算扣除数见下表：

若2021年小李的个税是27080元，那么小李全年应纳税所得额为________元.

【答案】

【解析】

【分析】根据表格结合公式个税税额应纳税所得额税率－速算扣除数，先求出小李全年应纳税所得额所在的区间，再根据公式即可得解.

【详解】解：因为，

，

所以小李全年应纳税所得额在区间中，设为，

则，解得，

即小李全年应纳税所得额为元.

故答案：.

16. 定义为实数中较大的数.已知，其中均为正实数，则的最小值是________.

【答案】

【解析】

【分析】根据，分，讨论求解.

【详解】解：因为，当且仅当时，等号成立；

当，即时，，

当，即时，，

综上：的最小值是，

故答案为：

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程.

17. 计算：

（1）；

（2）已知求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用根式和分数指数幂的运算性质求解；

（2）利用分数指数幂的运算性质求解.

【小问1详解】

；

【小问2详解】

因为

所以.

18. 已知集合，集合 ，.

（1）当时，求；

（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据指数式不等式求解得，由一元二次不等式得，进而根据集合的交并补运算即可求解，

（2）将必要不充分条件转为集合的包含关系，即可列不等式求解.

【小问1详解】

由得 ，解得 ，故

当时，解得，所以

，

【小问2详解】

是的必要不充分条件   ，

   解得

所以实数的取值范围.

19. 已知二次函数(，，)只能同时满足下列三个条件中的两个：①的解集为；②；③的最小值为．

（1）请写出满足题意的两个条件的序号，并求，，的值；

（2）求关于的不等式的解集．

【答案】（1）满足题意的条件为①③，，，；   

（2）答案见解析﹒

【解析】

【分析】(1)分别假设条件①②和条件②③符合题意，根据二次函数性质和题意即可判断满足题意的条件，根据二次函数的图象性质即可求出a、b、c的值；

(2)化简不等式，根据m的范围讨论不等式解集即可．

【小问1详解】

假设条件①②符合题意．

∵，二次函数图象开口向下，∴的解集不可能为，不满足题意．

假设条件②③符合题意．

由，知二次函数图象开口向下，无最小值，不满足题意．

∴满足题意条件为①③．

∵不等式的解集为，∴，3是方程的两根，

∴，，即，．

∴函数在处取得最小值，∴，即，

∴，．

【小问2详解】

由(1)知，则，即，

即．

∴当时，不等式的解集为{或}；

当时，不等式的解集为R；

当时，不等式的解集为{或}．

20. 已知函数，其中为常数.

（1）若，判断函数在上的单调性，并证明；

（2）设则在上恒成立，求实数取值范围.

【答案】（1）单调递增，证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据单调性的定义证明即可，

（2）解法1：由题意得，当时，成立，当时， ，然后利用基本不等式可求出的最小值，从而可得答案；解法2：由题意得：恒成立，构造函数，求出其最小值非负即可.

【小问1详解】

函数在上单调递增，理由如下：

设，

，

因为，

所以，

因为，

所以

所以         

即当时，，

所以在上函数的单调递增.

【小问2详解】

解法1：由题意得：，

①当时，不等式成立；  

②当时，，

，

当且仅当，即时取等号，

所以：                                 

解法2：由题意得：恒成立，

设，成立，

对称轴为  

①当，即时，，成立；

②当时，，得；

③当时，，解集为； 

综上所述：的取值范围是.

21. 已知指数函数 若函数，且满足：

（1）求指数函数的解析式；

（2）已知函数 ，若有两个不同的实根，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据待定系数法即可求解，或者利用迭代法也可求解.

（2）令 以及分别得 ，根据两个根，结合与1的关系即可求解.

【小问1详解】

解法1：

令，则；

由于为指数函数，故 ，

解法2：

设     

【小问2详解】

由题意知: ,即可

若，则 ，

若则

（ⅰ）当，即时

符合，不符合；

则，

（ⅱ）当，即时

 不符合，

 综上所述：的取值范围是

22. 近日，某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数与空气污染指数的关系为：，其中空气污染指数与时刻（小时）和的算术平均数成反比，且比例系数为，是与气象有关的参数，．

（1）求空气污染指数的解析式和最大值；

（2）若用每天环境综合污染指数的最大值作为当天的综合污染指数，该市规定：每天的综合污染指数最大值不得超过1．试问目前市中心的综合污染指数是否超标？请说明理由．

【答案】（1），，;   

（2）没有超标；理由见解析.

【解析】

【分析】（1）根据题意直接写出函数，利用均值不等式求最值即可；

（2）设，换元后原函数转化为分段函数，利用二次函数的性质求出函数的单调区间，分类讨论可得的最大值，即可求解.

【小问1详解】

由题意得，，

即

当且仅当时，．

【小问2详解】

由（1）得，，设，

令，，

则

由图像知在和上单调递增，在上单调递减，且，，

所以，

令，解得，

令，解得，

所以

当时，，

当时，，

即，所以，

所以目前市中心的综合污染指数没有超标.