四川省泸州市龙马高中2022-2023学年高一数学上学期期中考试试题（Word版附解析）

泸州市龙马高中高2022级高一上期半期考试

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】解不等式，求出，判断出是的关系，得到答案.

【详解】，解得：或0，故，则是的真子集，故C正确.

故选：C

2. 下列函数中与函数是同一函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】对于A、B：定义域不同，即可判断；

对于C：定义域相同，但解析式不同，即可判断；

对于D：定义域相同，解析式也相同，即可判断是同一函数.

【详解】函数的定义域为R.

对于A：的定义域为，故与函数不是同一函数.故A错误；

对于B：的定义域为，故与函数不是同一函数.故B错误；

对于C：的定义域为R，但是，故与函数不是同一函数.故C错误；

对于D：的定义域为R，且，故与函数是同一函数.故D正确.

故选：D.

3. 已知，则下列不等式中成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由特殊值法，取可判断和，取，可判断，再由作差法可判断，即可求解.

【详解】取，则，，即和均错误；

取，，则，即选项错误；

对于中，由，因为，所以，，

故，所以，即正确.

故选：.

4. 设函数，则（    ）

A. 是奇函数，且在单调递增 B. 是奇函数，且在单调递减

C. 是偶函数，且在单调递增 D. 是偶函数，且在单调递减

【答案】A

【解析】

【分析】根据奇偶性的定义即可判断为奇函数，由基本函数的单调性即可判断 的单调性.

【详解】因为的定义域为，定义域关于原点对称，

又，故为奇函数，

得当时，均为单调递增函数，故在单调递增，

故选：A

5. 函数的单调递减区间是（    ）

A.  B.  C. [0，2] D. [2，4]

【答案】D

【解析】

【分析】

先求得的定义域，根据复合函数同增异减原则，即可求得的单调递减区间.

【详解】的定义域为，即，

设函数，为开口向下，对称轴为的抛物线，且，

所以的单调递减区间为，

又函数在为单调递增函数，

根据复合函数同增异减原则，可得的单调递减区间为，

故选：D

6. 若函数为幂函数，且在单调递减，则实数m的值为（    ）

A. 0 B. 1或2 C. 1 D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数为幂函数列式，结合单调性求得的值．

【详解】由于函数为幂函数，

所以，解得或，

时，，在上递减，符合题意，

时，，在上递增，不符合题意．

故选：C

7. 已知定义域为R的函数f(x)在上为减函数，且函数y=f(x+8)为偶函数,则（ ）

A. f(6)>f(7) B. f(6)>f(9) C. f(7)>f(9) D. f(7)>f(10)

【答案】D

【解析】

【详解】由函数图象平移规则可知，

函数由向右平移8个单位所得，

所以函数关于对称，

因为在区间上递减，在上递增，

所以，

，

故选D.

本题主要考查函数的奇偶性.

8. 定义域是函数满足，当时，若时，有解，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先由时的解析式，求出对应的最小值，根据函数奇偶性，得到在时的最大值，由求解，即可得出结果.

【详解】因为时，，

当时，由二次函数的性质，易得；

当时，，

所以时，；

又定义域是的函数满足，即函数是奇函数，关于原点对称，

所以时，，

因为时，有解，所以只需，即，

整理得，所以或，

解得或.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：

求解本题的关键在于，根据已知区间的分段函数求出对应的值域，结合函数奇偶性，得出在时的最大值，即可求解.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下列函数中在其定义域内既是奇函数又是增函数的为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】根据一次函数或幂函数的性质即可判断.

【详解】对于A, 为定义在上的单调递减函数，所以A错误；

对于B,,所以函数为奇函数,

且,则在上单调递增,

所以为定义在上的单调递增函数，所以B正确；

对于C, 的图象关于原点对称，所以为奇函数，

且在单调递减，所以C错误；

对于D, ,所以函数为奇函数,

且因为,则在上单调递增,

所以为定义在上的单调递增函数，所以D正确；

故选:BD.

10. 若函数在上是单调减函数，则实数k的值可能是（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】CD

【解析】

【分析】根据二次函数的对称轴位置，讨论函数在的单调性，从而可得结果.

【详解】已知函数的对称轴为,

若函数在上是减函数，，解得，
故.

故选：CD

11. 已知正数a，b满足，则（    ）

A. ab的最大值为 B. 的最小值为

C. 的最小值为4 D. 的最小值为2

【答案】AB

【解析】

【分析】由利用基本不等式求ab的最大值，再求的最小值，由利用基本不等式求其最小值，再求的最小值.

【详解】∵  a，b为正实数，

∴ ，当且仅当时等号成立，又，

∴ ，当且仅当，时等号成立，

∴ ab的最大值为，A对，

时取等号 ，因为,

∴ ,其 最小值不是2，D错，

由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，

又，

∴ ，当且仅当，时等号成立，

∴的最小值为， B对，

∵ ，

∴ ，当且仅当，时等号成立，

∴  的最小值为8，C错，

故选：AB.

12. 函数满足条件：①对定义域内任意不相等的实数a，b恒有；②对定义域内任意两个实数， 都有成立，则称为G函数，下列函数为G函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据函数单调性结合“上凸和下凹函数”的意义即可得结果.

【详解】因为对定义域内任意不相等的实数a，b恒有，

所以是增函数，

因为对定义域内任意两个实数，都有成立，

所以为上凸函数，

对于A，函数是增函数，且成立，所以函数为G函数，故选项A正确；

对于B，函数是增函数，且函数的图象是上凸函数，所以函数为G函数，故选项B正确；

对于C，函数，是增函数，且函数的图象是上凸函数，所以函数为G函数，故选项C正确；

对于D，函数，是增函数，但是函数的图象是下凹函数，所以函数不是G函数，故选项D错误．

故选：ABC．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 函数，则______．

【答案】

【解析】

【分析】利用分段函数的解析式代入求解即可.

【详解】

故答案为：

14. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则______．

【答案】

【解析】

【分析】由函数为上的偶函数，所以，所以根据条件计算即可

【详解】由函数为上的偶函数，

所以，

当时，，

所以

故答案为：.

15. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，为单调递增函数，且，则满足的的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】由题知，，在单调递增，进而分，，，四种情况讨论求解即可.

【详解】解：因为函数是定义在上的奇函数，当时，为单调递增函数，且，

所以，，，单调递增，

所以，当时，，；

      当时，，；

      当时，，；

      当时，，；

所以，满足的的取值范围是.

故答案为：

16. 函数.

（1）当时的值城为___________.

（2）若的值域为，则实数a的取值范围为___________.

【答案】    ①.     ②. 或

【解析】

【分析】当时，，再分别求出和的值域即可，根据题意画出函数的图象，再结合图象即可得到答案.

【详解】当时，，

当时，为增函数，值域为，

当时，，

在为增函数，，值域为，

综上：值域为.

在同一坐标系下画出函数和的图象，

如图所示：

，解得或，

因为的值域为，由图知：或.

故答案为：，或

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知，，全集．

（1）当时，求和；

（2）若，求实数a的取值范围．

【答案】（1），；   

（2）．

【解析】

【分析】（1）先求出时的集合B，再按照交集和并集的定义进行运算；

（2）先求出集合A在全集U中的补集，再分B为空集和B不为空集两种情况进行运算.

【小问1详解】

当时，，

，；

【小问2详解】

或

当时，，此时，解得；

当时，若，则需或 解得或，

综上所述，实数的取值范围是.

18. 已知函数是定义在上的奇函数．

（1）求n的值；

（2）判断函数的单调性并用定义加以证明．

【答案】（1）   

（2）增函数，证明见解析

【解析】

【分析】（1）由求得.

（2）利用函数单调性的定义证得，从而判断出的单调性.

【小问1详解】

由于是定义在上的奇函数，

所以，故，，

经检验，为奇函数；

小问2详解】

在区间上是增函数，证明如下：

设任意的，且，

则

∵，∴，，

∴，∴，

∴在上是增函数.

19. 已知二次函数的顶点坐标为，且过点．

（1）求的解析式；

（2）设函数，作出的大致图象并根据图象写出的增区间和值域．

【答案】（1）   

（2）图像见解析，增区间为：，，值域为

【解析】

【分析】（1）由题目条件先设出函数的解析式，再代入已知点即可.

（2）由（1）的结论直接写出函数的解析式，再画出图象，由图象即可写出单调递增区间和值域.

【小问1详解】

由题设，

因为过点，所以，解得

所以.

【小问2详解】

，作出图象如下

故：增区间为：，，值域为.

20. 自2019年春季以来，在非洲猪瘟、环保禁养、上行周期等因素形成的共振条件下，猪肉价格连续暴涨.某养猪企业为了抓住契机，决定扩大再生产，根据以往的养猪经验预估：在近期的一个养猪周期内，每养百头猪，所需固定成本为20万元，其它为变动成本：每养1百头猪，需要成本14万元，根据市场预测，销售收入（万元）与（百头）满足如下的函数关系：（注：一个养猪周期内的总利润（万元）=销售收入-固定成本-变动成本）.

（1）试把总利润（万元）表示成变量（百头）的函数；

（2）当（百头）为何值时，该企业所获得的利润最大，并求出最大利润.

【答案】（1）；（2），最大利润为109万元.

【解析】

【分析】

（1）根据题意即可求出函数的解析式；

（2）分段求出最大值，再比较即可求出当时，该企业所获得的利润最大，从而求出最大利润.

【详解】（1）由题意可得：

所以，总利润.

（2）当时，，当时，的值最大，最大值为，

当时，，当时，的值最大，最大值为，

综上所述，当时，该企业所获得的利润最大，最大利润为万元.

【点睛】本题主要考查了函数的实际运用，属于基础题.

21. 已知函数．

（1）若对任意，都有成立，求实数a的取值范围；

（2）解关于x的不等式，其中实数．

【答案】（1）   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）按照一元不等式在上恒成立，分类讨论，即可求得实数a的取值范围；

（2）按照一元不等式分类讨论求解即可.

【小问1详解】

解：恒成立，即恒成立，

当时，有，满足题意；

当时，依题意有，解得，

∴实数a的取值范围为

【小问2详解】

解：当时，，解得；

当时，方程，

解得或，

不等式

当时，，解得；

当时，，解得或；

当时，，解得；

当时，，解得或

综上：时，不等式解集为；

时，不等式解集为；

时，不等式解集为；

时，不等式解集为；

时，不等式解集为

22. 函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．

(1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；

(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．

【答案】（1）0；（2）见解析；（3）

【解析】

【详解】试题分析：（1）抽象函数求具体指，用赋值法；（2）根据定义求证函数的奇偶性找f(－x)和f(x)的关系；（3）先利用f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2得到f(x－1)<2⇔f(|x－1|)<f(16).再根据单调性列出不等式求解即可.

(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，

∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.

(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝f(1)＝0.

令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．

(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，

由(2)知，f(x)偶函数，∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|)<f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x－1|<16，解之得－15<x<17且x≠1.

∴x的取值范围是{x|－15<x<17且x≠1}．