江苏省徐州市2022-2023学年高二数学上学期期中试题（Word版附答案）

2022-2023学年度第一学期期中考试

高二数学试题

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设直线的斜率为，在轴上的截距为，则（    ）

A．，      B．，

C．，      D．，

2．中国是世界上最古老的文明中心之一，中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器，中国陶瓷是世界上独一无二的，它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美．现有一椭圆形明代瓷盘，经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的焦距为（    ）

A．    B．    C．    D．4

3．如果圆的圆心位于第三象限，那么直线不经过（    ）

A．第一象限   B．第二象限   C．第三象限   D．第四象限

4．已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆的圆周，则反射光线所在的直线方程为（    ）

A． B． C． D．

5．设，为实数，若直线与圆相交，则点与圆的位置关系是（    ）

A．在圆上   B．在圆外   C．在圆内   D．不能确定

6．某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）已知接收天线的口径（直径）为3.6m，深度为0.6m，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（    ）

A．1.35m   B．2.05m   C．2.7m    D．5.4m

7．已知、是椭圆的左、右焦点，是椭圆的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则椭圆的离心率为（    ）

A．    B．    C．    D．

8．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为、，，是双曲线右支上的一点，，直线与轴交于点，的内切圆半径为1，则双曲线的离心率是（    ）

A．    B．    C．   D．2

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．

9．已知圆，直线，圆上恰有3个点到直线的距离为3，则的可能取值为（    ）

A．    B．    C．12    D．17

10．将一个椭圆绕其对称中心旋转90°，若所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则称该椭圆为“对偶椭圆”．下列椭圆的方程中，是“对偶椭圆”的方程是（    ）

A．  B．  C．  D．

11．如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与直线，，围成的曲边四边形绕轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，双曲线与坐标轴交于，，则（    ）

A．双曲线的方程为

B．双曲线与双曲线共渐近线

C．存在一点，使过该点的任意直线与双曲线有两个交点

D．存在无数个点，使它与，两点的连线的斜率之积为3

12．已知抛物线的焦点为，、是抛物线上两动点，是平面内一定点，下列说法正确的有（    ）

A．抛物线的准线方程为

B．若，则线段中点到轴的距离为3

C．的周长的最小值为

D．以线段为直径的圆与抛物线的准线相切

第Ⅱ卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴、短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，则该椭圆的离心率为______．

14．若三点，，共线，则______．

15．已知为圆的直径，点为椭圆上一动点，则的最小值为______．

16．已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为，点，为上两点，点为弦的中点，且，记双曲线的离心率为，则______．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知双曲线的焦点坐标为，，实轴长为4，

（1）求双曲线的标准方程；

（2）若双曲线上存在一点使得，求的面积．

18．（本小题满分12分）

已知直线恒过定点．

（1）若直线经过点且与直线垂直，求直线的方程；

（2）若直线经过点且坐标原点到直线的距离等于3，求直线的方程．

19．（本小题满分12分）

已知圆经过点，，从下列3个条件选取一个______

①过点；②圆恒被直线平分；③与轴相切．

（1）求圆的方程；

（2）过点的直线与圆相交于、两点，求中点的轨迹方程．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆经过点和．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）经过点的直线与相交于，两点（不经过点），设直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；否则，请说明理由．

21．（本小题满分12分）

如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含边界和内部，为坐标原点），长为10米，在边上距离点4米的处放置一只电子狗，在距离点2米的处放置一个机器人，机器人行走速度为，电子狗行走速度为，若电子狗和机器人同时出发，在场地内沿直线方向同时到达场地内某点，那么电子狗将被机器人捕获，点叫成功点．

（1）求在这个矩形场地内为成功点的轨迹方程；

（2）为矩形场地边上的一动点，若存在两个成功点到直线的距离为，且直线与点的轨迹没有公共点，求点横坐标的取值范围．

22．（本小题满分12分）

如图，已知点为抛物线的焦点．过点的直线交抛物线于，两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧．记，的面积分别为，．

（1）求的值及抛物线的准线方程；

（2）求的最小值及此时点的坐标．

2022-2023学年度第一学期期中考试

高二数学参考答案

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．  14．3  15．2  16．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．解：（1）由条件，，所以，所以双曲线方程为，

（2）由双曲线定义，

因为，所以，所以，

所以的面积为综上的面积为1．

18．解：直线可化为，

由可解得，所以点的坐标为．

（1）设直线的方程为，

将点代入上面方程可得，所以直线的方程为．

（2）①当直线斜率不存在时，因为直线过点，所以直线方程为，

符合原点到直线的距离等于3，此时直线的方程为．

②当直线斜率存在时，设直线方程为，即，

因为原点到直线的距离为3，所以，解得，

所以直线的方程为，综上，直线的方程为或．

19．解：（1）若选①设圆的方程为，

由题意可得，解得，

则圆的方程为即；

若选②圆恒被直线平分，因为直线方程恒过定点，

所以圆心坐标为，则半径为1，所以圆方程为；

若选③圆与轴相切，设圆方程为，

将，代入圆方程得，

解得，，所以圆方程为．

（2）因为为中点，为圆心，，

根据垂径定理，得，所以点落在以为直径的圆上，

又因为点，故其方程为．

即点的轨迹为以为直径的圆落在圆内的一段弧，

由，解得，所以的轨迹方程为：．

20．解：（1）由题意，，且，得．所以椭圆的方程为；

（2）因为点在椭圆外部，且经过点的直线与相交于，两点，

故直线的斜率存在并设为，则直线方程为．

联立，得，

设，，则，，，，

则

．

所以是定值．

21．解：（1）设，由题意可得，且，，

据此可得，两边平方整理可得，

故点的轨迹方程为．

（2）点的轨迹方程即，

它表示以点为圆心，以为半径的右侧半圆，

考查满足题意的临界情况：

临界情况1：圆心到直线的距离为，

设，则的方程为，即，

据此可得，解得（舍去）

临界情况2：圆上的点到直线的距离为，

设，则的方程为，即，

据此可得，解得（舍去），

综上，可得点横坐标的取值范围是．

22．解：（1）由抛物线的性质可得，所以，所以抛物线的准线方程为．

（2）设，，，重心，

令，，则，由于直线过，故直线的方程为，

代入，得：，所以，即，所以，

又，，重心在轴上，所以，

所以，，

所以直线的方程为，得，

所以在焦点的右侧，所以，

所以，

令，则，

所以当时，取得最小值为，此时．