浙江省台州山海协作体2022-2023学年高二数学上学期期中联考试题（Word版附解析）

绝密★考试结束前

2022学年第一学期台州山海协作体期中联考

高二年级数学学科试题

命题：黄岩第二高级中学  天台平桥中学

考生须知：

1．本卷共5页满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。

3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。

4．考试结束后，只需上交答题纸。

选择题部分

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．在直角坐标系中，直线的倾斜角为（    ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

2．圆的圆心坐标和半径分别是（    ）

A．，3 B．，3 C．， D．，

3．从0，1，2，3，4这5个数字中，任取两个不同的数字组成一个两位数，则组成的数是奇数的概率为（    ）

A． B． C． D．

4．已知实数m，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ）

A．必要不充分条件  B．充分不必要条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

5．在正方体中，P为的中点，则直线PC与所成的角余弦值为（    ）

A． B． C． D．

6．已知，，圆C：，若圆C上存在点M，使，则圆C的半径R的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

7．已知点P是棱长为1的正方体的底面上一点（包括边界），则的最大值为（    ）

A． B． C．1 D．

8．已知O为坐标原点，P是椭圆E：上位于第一象限内的点，F为右焦点．延长PO，PF交椭圆E于Q，R两点，，，则椭圆E的离心率为（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

9．已知直线l经过点和，则下列说法正确的是（    ）

A．直线l在两坐标轴上的截距相等 B．直线l的斜率为1

C．原点到直线l的距离为 D．直线l的一个方向向量为

10．设A，B为两个随机事件，若，下列命题中，正确的是（    ）

A．若A，B为互斥事件，

B．

C．若，则A，B为相互独立事件

D．若A，B为相互独立事件，则

11．设椭圆的右焦点为F，直线l：与椭圆交于A，B两点，则下列说法正确的是（    ）

A．为定值

B．△ABF的周长的取值范围是

C．当时，△ABF为直角三角形

D．当时，则椭圆上到直线l的距离等于的点有三个

12．如图，若正方体的棱长为1，点M是正方体的侧面上的一个动点（含边界），P是棱的中点，则下列结论正确的是（    ）

A．沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为

B．若保持，则点M在侧面内运动路径的长度为

C．三棱锥的体积最大值为

D．若点M在上运动，则到直线PM的距离的最小值为

非选择题部分

三、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）

13．设空间向量，，若，则________．

14．已知点，圆C：，若过点M的直线l与圆C相切，则直线l的方程为________．

15．如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱，且，N是CM的三等分点（靠近M点），则BN的长为________．

16．已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的取值范围为________．

四、解答题：（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．已知直线：与：相交于点P．

（1）若直线l过点P并且与直线：垂直，求直线l方程；

（2）若直线l过点P并且与直线：平行，求直线l方程．

18．如图，在边长为2的正方体中，E为的中点．

（I）求证：平面；

（II）求直线与平面所成角的正弦值．

19．甲、乙两人组成“星队”参加猜谜游戏，每轮活动由甲乙各猜一次，已知甲猜对的概率为，乙猜对的概率为，甲乙猜对与否互不影响，每轮结果也互不影响．

（1）求“星队”第一轮活动中只有1人猜对的概率；

（2）求“星队”在两轮活动中恰好猜对3人次的概率．

20．已知直线l：与圆C：交于A、B两点．

（1）若时，求弦AB的长度；

（2）设圆C在点A处的切线为，在点B处的切线为，与的交点为Q．试探究：当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由．

21．如图，在四棱台中，底面ABCD是正方形，若，，．

（1）证明：平面；

（2）求平面与平面夹角的余弦值．

22．已知椭圆C：离心率为，焦距为．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设不过原点O的直线与椭圆C交于A，B两点，且，求△OAB面积的取值范围．

2022学年第一学期台州山海协作体高一期中联考

高二年级数学学科参考答案

选择题部分

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

二、选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

非选择题部分

三、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）

13．5  14．或

15．  16．

四、解答题：（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．解方程组得

（1）因为，直线l与垂直，所以，l的方程为

（2）因为，直线l与平行，所以，l的方程为

18．【详解】（1）方法一：几何法

如下图所示：

在正方体中，且，且，

∴且，所以，四边形为平行四边形，则，

∵平面，平面，∴平面；

（2）以点A为坐标原点，AD、AB、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为2，则、、、，，，

设平面的法向量为，由，得，

令，则，，

求得平面平面的法向量，

又∵，∴，

∴直线与平面所成角的正弦值为．

19．设甲猜对为事件A，乙猜对为事件B，

（1）事件，则

∴

（2）

20．【解析】（I）点C到直线的距离

∴

（2）设点，由题意得：Q、A、B、C四点共圆，

且圆的方程为：，

与圆C的方程C：联立，

消去二次项得：，

即为直线l的方程，因为直线l：过定点，

所以，解得：，

所以当m变化时，点Q恒在直线上．

21．【解析】（I）在梯形中，过点B作于M，过点作于N

设，则，由得，

解得，∴，即

∵，∴平面

（2）由底面ABCD是正方形，则，

由（1）知：面面ABCD，面面，而面ABCD，

所以面，过D作于G，连接AG，则面ADG，

故面面，面面，面，

所以面ADG，又面ADG，则，

因此∠AGD为二面角的一个平面角，

在直角△ADG中，，，

则，

所以，即平面与平面夹角的余弦值，．

方法二：建系写出相应坐标

平面的法向量为，

平面的法向量为，

22．【答案】

（1）∵，，∴

∴，∴椭圆方程为：

（2）由题意得，设直线方程为（，），，

，消y得

则，，

∵，∴

∴，∵，∴

又∵

∴且

设原点到直线的距离为

∴