四川省双流中学2022-2023学年高二数学理科上学期期中考试试题（Word版附解析）

四川省双流中学2022—2023学年第一学期期中考试高二数学理科

时间：120分钟  满分：150分 

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1. 空间直角坐标系中, 若点 关于点 的对称点为 , 则点 的坐标为(    )

A.  B.    C.  D.

2. 已知直线 , 若 , 则实数 的值是(    )

A.0 B.2 或-1 C.0 或-3 D.

3. 若椭圆 过点 ,则其焦距为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知直线 的方程为 , 则 的倾斜角是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 若圆 , 圆 ,则这两圆的位置关系是(    )

A.内含 B.相交 C.外切 D.外离

6.已知直线 和圆 交于 两点, 则 (    )

A.2 B.4 C.  D.

7. 若 是椭圆 的两个焦点, 点 在 上, 则 的最大值为(    )

A.13 B.12 C.9 D.6

8. 已知两点 , 直线 过点 且与线段 有交点, 则直线 的倾斜角的取值范围为(    )

A.    B.      C.  D.

9. 圆心在直线 上, 且与直线 相切于点 的圆的方程为(    )

A.  B.

C.  D.

10.某学校有一间“六边形教室”.空间中, 教室的形状近似一个正六棱柱,设正六棱柱 中, 所有棱长均相等, 分别是四边形 的中心, 设 与 所成的角为 与 所成的角为 , 则 (    )

A.  B.  C.  D.

11. 若直线 与圆 没有交点, 则过点 的直线与椭圆 的交点的个数为(    )

A.0 或 1 B.2 C.1 D.0 或 1 或 2

12. 已知正方体 的棱长为 为线段 上的动点, 过点 , 的平面截该正方体的截面记为 , 则下列命题正确的个数是(    )

① 当 且 时, 为等腰梯形;

②当 分别为 的中点时, 几何体 的体积为 ;

③当 为 中点且 时, 与 的交点为 , 满足 ;

④当 为 中点且 时, 为五边形.

A.1 B.2 C.3 D.4

二.填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13. 已知 满足约束条件 则 的最大值是________。

14. 已知平面上动点 到两个定点 和 的距离之和等于 4 , 则动点 的轨迹方程为________。

15.  已知点 , 则过点 且与 ( 是坐标原点) 平行的直线方程是________。

16. 已知直线 与曲线 有两个不同的交点, 则实数 的取值范围是________。

三.解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17. （本题满分10分）

已知点

(1) 求 外接圆圆 的方程;

(2) 在圆 上任取一点 , 过点 作 轴的垂线段 为垂足, 当点 在圆上运动 时, 求线段 的中点 的轨迹方程;

18. （本题满分12分）

已知 是等差数列, 满足 , 数列 满足 , 且 是等比数列.

(1) 求数列 和 的通项公式;

(2) 求数列 的前 项和.

19. （本题满分12分）

在 中, 角 的对边分别为 , 已知 .

(1) 求 的值;

(2) 在边 上取一点 , 使得 , 求 的值.

20. （本题满分12分）

已知长轴长为 的椭圆 的一个焦点为 .

(1) 求椭圆 的方程;

(2) 若斜率为 1 的直线 交椭圆 于 两点, 且 , 求直线 的方程.

21. （本题满分12分）

如图, 在四棱锥 中, 底面 为平行四边形, 为等边三角形, 平 面 平面 ,

(1) 设 分别为 的中点, 求证: 平面 ;

(2) 求证: 平面 ;

(3) 求直线 与平面 所成角的正弦值.

22. （本题满分12分）

已知椭圆 的左, 右焦点分别为 , 且 与短轴的两个端点恰好为正方形的四个顶点, 点 在 上.

(1) 求 的方程;

(2) 过点 作直线交 于 两点, 求 面积的最大值.

参考答案及解析

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.  【答案】A

 【解析】在空间直角坐标系中,点 关于点 的对称点为 , 则点 坐标为 .故选: 。

2.  【答案】C

 【解析】 直线 : , 且 , , 解得 或 。故选: C。

3.  【答案】D

 【解析】把点 代入 中, 得 整理, 得 所以 , 即 , 所以焦距为 .故选 。

4.  【答案】D

 【解析】1

5.  【答案】B

 【解析】根据题意, 圆 , 圆心 , 半径 ,圆 , 圆心 , 半径 ,圆心距 , 有 则两圆相交;

故选: B。

6.  【答案】C

 【解析】圆心 到直线的距离 ,则直线与圆相交的弦长为 故选:C。

7.  【答案】C

 【解析】 是椭圆 的两个焦点，点 在 上, ,所以 , 当且仅当 时, 取等号, 所以 的最大值为 9 . 故选: C。

8. 【答案】A

【解析】直线 的斜率为,直线的斜率为.由图形可知, 当直线 与线段有交点时,直线的斜率 .因此,直线的倾斜角的取值范围是.故选A。

9. 【答案】D

 【解析】过点 且与直线垂直的直线为 由，即圆心 , 半径 , 所求圆的方程为.

故选: D。

10. 【答案】A

 【解析】如图,

由图形特点可得 ,因为 分别是四边形 , 的中心, 即分别为 的中点,过点 分别作 的垂线,故 与 所成的角就是 与 所成的角, 即 ,因为 , , 与 所成的角为 或其补，设六棱柱棱长为 2 , 可求得 , ,即 ,所以 ， 即 ，所以 ,

故选: A。

11. 【答案】B

【解析】 , 故点 在椭圆内, 于是过点 的直线与椭圆必有两个交点.故选 B。

12. 【答案】B   【解析】略

二.填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13. 【答案】6

 【解析】由约束条件作出可行域如图：

由图可知, , 由 , 得 ,由图可知, 当直线 过 时, 直线在 轴上的截距最大, 有最大值为 .

故答案为: 6 。

14. 【答案】

 【解析】平面上动点 到两个定点 和 的距离之和等于 4 ,满足椭圆的定义, 可得 , 则 , 动点 的轨迹方程为: .

15. 【答案】   【解析】略

16. 【答案】

 【解析】如图：

是过定点 , 当直线与半圆切于 点时, 结合图象可得: 直线 与曲线 有两个不同的交点时,

故答案为: .

三.解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17. 【答案】(1) ; (2)

 【解析】(1) 解法一:

  易知线段 中垂线所在直线方程为: ; 线段 的中点为 线段 中垂线的斜率为 , 线段 中垂线为 , 即 ,由 得: , 即圆心 ;又圆 的半径 , 外接圆圆 的方程为:

解法二:

设圆的一般方程为,其中 ,因为经过 三点,所以 ， 解得 ,所以圆的一般方程为 外接圆圆 的方程为: ;

(2)设 , 则 , 为线段 的中点, 即 ,又点 在圆 上, , 即 ,故点 的轨迹方程为 .

18. 【答案】(1) ； （2）

 【解析】(1) 设等差数列 的公差为 , 由题意得

,设等比数列 的公比为 , 则 ,

(2) 由(1) 知 ,数列的前项和为,

数列的前项和为,数列 的前 项和为;

19. 【答案】(1) ; (2)

【解析】(1) [方法一]: 由余弦定理得 ,

所以.由正弦定理得 .

由正弦定理得

[方法二]几何法:过点 作 , 垂足为 . 在Rt中, 由,

可得,又,所以.在 Rt 中, , 因此 .

(2) [方法一]: 两角和的正弦公式法

由于 , 所以 ，由于 , 所以 , 所以 所以 ，，

由于,所以 所以 .

[方法二]【最优解】: 几何法+两角差的正切公式法

在 (1) 的方法二的图中, 由 , 可得 ,

从而 又由 (1) 可得 , 所以 ,

[方法三]:几何法+正弦定理法

在 (1) 的方法二中可得 .

在Rt中, , 所以 .

在中, 由正弦定理可得 , 由此可得 .

[方法四]: 构造直角三角形法

如图, 作 , 垂足为 , 作 , 垂足为点 .在(1)的方法二中可得 ,由 , 可得 ,

在Rt中, ,

由(1)知 , 所以在Rt中, ,

从而 ,在Rt 中, . 所以 .

20. 【答案】(1) ；(2) 或 .

 【解析】(1)由题意, , 椭圆 的方程为 .

(2) 设直线 的方程为 , 点 联立方程组 ,化简,

得,

且

,解得 , 符合题意, 直线 的方程为 或 .

21. 【答案】（1）见解析；（2)见解析；（3）

 【解析】(1) 证明: 连接,易知,又由,故,

又因为平面,所以平面.

(II) 证明: 取棱的中点,连接,依题意,得,又因为平面平面,

平面平面,所以平面,又平面,故,

又已知所以平面.

(III) 解: 连接,由(II)中平面,可知 为直线与平面所成的角

因为为等边三角形,且为的中点,所以,又,在Rt 中, ,所以, 直线 与平面 所成角的正弦值为

22. 【答案】（1） ;；（2） .

 【解析】（1）因为点 在 上, 所以 , 又 ,解得 ,所以 的方程为 ;

（2）若 垂直于 轴, 则 若 不垂直于 轴, 由 (1) 知 , 则设 的方程为 ,代入 的方程得: ,设 , 所以 ,

 则有

，而点 到直线 的距离为 ， 显然, 若 , 则 .