湖北省襄阳市第四中学2022届高三数学上学期期中试题（Word版附解析）

湖北省襄阳四中2022届高三上学期期中考试(数学)

一、单选题

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】解不等式得到集合，，然后求补集和交集即可.

【详解】，

，

或，

所以或.

故选：B.

2. “”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

直接利用二倍角的正弦公式换化简，再利用齐次式进行弦切互化，得出，即可求出，即可判断充分条件和必要条件.

【详解】解：，

则或，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，运用到三角函数中的二倍角正弦公式、同角平方关系、齐次式进行弦切互化.

3.  如图所示，在直角三角形中，为直角，以为圆心，为半径作圆弧交于点，若将的面积分成相等的两部分，设（弧度），则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意得到，再根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可得到答案.

【详解】解：因为将的面积分成相等的两部分，

所以，

所以，,

所以，，

化简得：.

故选：D.

【点睛】本题主要考查扇形的面积公式、弧长公式，考查学生的计算能力和转化思想，属于基础题.

4. 《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到:冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列.若冬至､大寒､雨水的日影子长的和是尺，芒种的日影子长为尺，则冬至的日影子长为（    ）

A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意转化为等差数列，求首项.

【详解】设冬至的日影长为，雨水的日影长为，根据等差数列的性质可知，芒种的日影长为，

，解得：，，

所以冬至的日影长为尺.

故选：D

5. 若函数在区间上是减函数，则正数的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用辅助角公式得，根据余弦函数的单调区间求解即可.

【详解】由题意得

，

所以函数的减区间由，得，

根据题意得，则有，

解得，于是的最大值为

故选：B.

6. 如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前项和公式和对数恒等式即可求解

【详解】如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为，所以原数字塔中前10层所有数字之积为.

故选：A

【点睛】本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前项和公式应用，属于中档题

7. 若正数满足，则的最小值是（    ）

A.  B.  C.  D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可得，化简利用基本不等式可得，从而可求出的最小值.

【详解】解：，，

，

当且仅当时等号成立，

，解得，

的最小值为

故选：C

8. 已知，则与的大小关系是（    ）

A.  B.

C.  D. 不确定

【答案】C

【解析】

【分析】令，结合题意可知，进而有，再利用对数函数的单调性和运算性质即可求解

【详解】令，

则当时，，当时，；

由，得

考虑到得，

由，得，

即

故选：C

二、多选题

9. 设公差不为0的等差数列的前n项和为，若，则下列各式的值为0的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】由得，利用可知不正确；；根据可知 正确；根据可知不正确；根据可知正确.

【详解】因为，所以，所以，

因为公差，所以，故不正确；

，故正确；

，故不正确；

，故正确.

故选：BD.

【点睛】本题考查了等差数列的求和公式，考查了等差数列的下标性质，属于基础题.

10. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点F重合，则（    ）

A. 双曲线的实轴长为2 B. 双曲线的离心率为3

C. 双曲线的渐近线方程为 D. F到渐近线的距离为

【答案】CD

【解析】

【分析】根据抛物线焦点得到，得到双曲线方程，再依次计算实轴长，离心率.，渐近线方程，点到直线的距离依次判断每个选项得到答案.

【详解】抛物线的焦点，故，，故双曲线方程为，

双曲线的实轴长为，A错误；双曲线的离心率为，B错误；

双曲线的渐近线方程为，C正确；

F到渐近线的距离为，D正确；

故选：CD.

【点睛】本题考查了抛物线方程焦点，双曲线方程的离心率，渐近线，实轴长，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

11. 函数，的部分图象如图所示，则（    ）

A.

B. 的单调递减区间为，

C.

D. 的单调递减区间为，

【答案】ABC

【解析】

【分析】先根据图象，结合已知条件限制求出的解析式即可判断AC，利用整体代入法求单调区间可判断BD

【详解】解：由图象可知，所以则，故A正确；

又点在图象上，所以，

所以，即，

又，所以，所以函数，故C正确；

令，，即，，

所以的单调递减区间为，，故B正确，D不正确，

故选：

12. 函数（k为常数）的图象可能是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】先判断函数零点的个数，再求导函数，根据导函数判断原函数的单调性，从而逐一判断选项.

【详解】显然有唯一零点，故D错误；

，，

∴在上单减，上单增，

∴，且时，时，

故当时，，单增，选项A可能；

当时，存在两个零点，在和上单增，上单减，选项B可能；

当时，存在唯一零点，在上单增，在上单减，

选项C可能．

故选: ABC.

【点睛】关键点睛：函数图像的判断关键在求出导函数，用极限思想判断导函数的符号，得出原函数的单调性.

三、填空题

13. 若复数是纯虚数其中是虚数单位，则__________.

【答案】

【解析】

【分析】由题知，再结合共轭复数与模的概念计算即可.

【详解】解：复数为纯虚数，

且，解得，

，，

故答案为：

14. 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x的非负半轴重合，终边过点，则______________．

【答案】；

【解析】

【分析】由题意 角的终边过点，求得，利用三角函数的定义，求得的值，再利用倍角公式，即可求解.

【详解】由题意，角的终边过点，求得，

利用三角函数的定义，求得，

又由.

【点睛】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，以及三角函数的诱导公式的应用，其中解答中熟记三角函数的定义，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

15. 若的函数值表示不超过x的最大整数，设，且当时的最小值为，则实数a的取值范围是__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据已知条件及二次函数的性质即可求解.

【详解】为不超过实数x的最大整数，当时的最小值为，

当时，

由的对称轴为，

当时，即时，，不满足；

当时，即时，，

所以，解得或，

所以或当时，即，，不满足；

综上，实数a的取值范围为

故答案为:

16. 在正方体中，球同时与以A为公共顶点的三个面相切，球同时与以为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点若以F为焦点，为准线的抛物线经过，，设球，的半径分别为，，则__________.

【答案】##

【解析】

【分析】首先根据抛物线的定义结合已知条件得到球内切于正方体，设，得到，即可得到答案.

【详解】如图所示：

根据抛物线的定义，点到点F的距离与到直线的距离相等，

其中点到点F的距离即半径，也即点到面的距离，

点到直线的距离即点到面的距离，

因此球内切于正方体.

不妨设，两个球心，和两球的切点F均在体对角线上，

两个球在平面处的截面如图所示，

则，，所以

因为，所以，所以，

因此，得，所以.

故答案为：

四、解答题

17. 已知函数，，             ．

（1）求在区间上的值域；

（2）若，，求的值．

请从①若，的最小值为；②图象的两条相邻对称轴之间的距离为；③若，的最小值为，这三个条件中任选一个，补充在上面问题的条件中并作答．

【答案】（1）条件选择见解析，值域为   

（2）

【解析】

【分析】（1）将已知转化为， 从①②③任选一个作为条件，可得到函数的周期，进而得到，求得函数的解析式，再利用正弦函数的性质可求解；

（2）由已知求得，再利用凑角公式结合两角和的正弦公式可得解.

【小问1详解】

.

从条件①②③任选一个作为条件，均可以得到的半周期为，故，解得.

所以.

由，得，所以，即的值域为.

【小问2详解】

由已知，得，

因为，则，所以，

所以.

18. 设是公差大于零的等差数列，已知

（1）求的通项公式；

（2）设是以函数的最小正周期为首项，以2为公比的等比数列，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）设数列的公差为，由题意可得，从而可求出的值，进而可得其通项公式；

（2）由题意可得，从而得，再利用错位相减法求出的值

【详解】解：(1)设数列的公差为，

则，解得或（舍），

(2)，其最小正周期为，故数列的首项为1，

公比，

，

令，…①，

两边都乘以2得，…②

② - ①得，

故，

【点睛】此题考查等差数列通项公式基本量计算，考查三角函数恒等变换公式的应用和三角函数的性质，考查错位相减法的应用，考查计算能力，属于中档题

19. 在中，BC边上的点D满足，且

（1）求的值；

（2）若，求的面积．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）在，根据得到，在中根据正弦定理得，再结合和，即可得到；

（2）设，则，根据勾股定理得到，在中，根据余弦定理得，再结合列方程，解得，然后利用面积公式求面积即可.

【小问1详解】

在中，，所以

在中，根据正弦定理得，即，

因为，所以

因，所以，

所以

小问2详解】

设，则，在中，根据勾股定理得

在中，根据余弦定理得，

所以，解得或

当时，，，与外角定理矛盾，故舍去；

当时，，，则

综上所述，的面积是

20. 如图,在四棱锥中,底面,是直角梯形,,,,是的中点．

（1）求证:平面平面;

（2）若二面角的余弦值为,求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】(1)先根据题中给出的数量关系和垂直关系,由线线垂直证得线面垂直,再根据面面垂直的判定定理证得面面垂直.

(2)先建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,然后分别求出平面和平面的法向量,根据二面角的余弦值为确定点的坐标,最后求出与平面的法向量的夹角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值.

【小问1详解】

平面,平面,

,

,,,

,

,

,

,,平面,

平面,

平面,

平面平面.

【小问2详解】

如图,以为原点,取中点,、、分别为x轴、y轴、z轴正向,建立空间直角坐标系,

则,,

设,则,

设为平面的法向量,,,

,即,

令则.

设为平面的法向量,

则,即,

令,则.

，,

解得

,

设直线与平面所成角,

则,

即直线与平面所成角的正弦值为.

21. 已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为、，且点在椭圆M上．

（1）若过点的直线l与椭圆M交于P、两点，且，求直线l的方程；

（2）如图，矩形ABCD各边分别与椭圆M相切于点E、F、G、H，求该矩形面积的取值范围．

【答案】（1）或；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用椭圆的离心率公式及点在椭圆上，结合直线的点斜式方程及弦长公式即可求解；

（2）根据直线的斜截式方程及直线与椭圆的位置关系，再利用点到直线的距离公式及矩形的性质，结合两直线垂直关系、矩形的面积公式及二次函数的性质即可求解.

【小问1详解】

由题意，知, 解得，

故椭圆M的方程为，则

当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时，不符合题意；

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，设，则

联立， 消去，整理得，

则

，，

所以

，

解得，

所以直线的方程为或.

【小问2详解】

当直线AD的斜率不存在或为0时，矩形ABCD的面积为

当直线AD的斜率存在且不为0时，设直线AD的方程为，

联立，消去，整理得，

所以，整理得，

所以到直线AD：的距离为，

由题意可知,，

同理可得

设矩形ABCD的面积为S，

则，

令，所以，

又，所以，，当，即时，取得最大值为.所以所以，

综上所述，矩形ABCD面积的取值范围是

【点睛】关键点睛：解决此题的关键第一问是利用离心率公式及点在椭圆上，结合弦长公式反向求参即可，第二问根据已知条件及点到直线间的距离公式，利用两直线垂直关系得出边长关系，结合矩形的面积公式，再利用换元法及二次函数的性质即可，但要注意用直线的点斜式和斜截式方程应讨论斜率的存在性.

22. 已知函数

（1）记，讨论的单调性；

（2）若对，都有，求实数a取值范围．

【答案】（1）答案见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意得到，然后分和两种情况讨论即可；

（2）分、和三种情况讨论即可.

【小问1详解】

依题意有，则，

①当时，有，所以在R上单调递增;

②当时，则当时，有，单调递减，

当时，有，单调递增;

综上可知，当时，在R上单调递增;

当时，在上单调递减，在上单调递增.

【小问2详解】

情形一：由（1）可知时，，

则当，有，又时，，

所以当时，，即，在R上单调递增，

依题意，则可知时，，

时，，

即有，

此时有当时，在R上恒成立，符合；

情形二：当时，

①若，有，则时，，不符合；

②若，则，

有，不符合;

情形三：当时，

①若，

则，所以，

则，不符合;

②若，

由情形一，取，则有，当时取等，

所以有，

又，则时，，此时，不符合.

综上

【点睛】分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容.分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.