2022年北京市高考数学试卷（纯word精美版）

这是一份2022年北京市高考数学试卷（纯word精美版），共22页。试卷主要包含了解答题共6小题，共85分等内容，欢迎下载使用。
2022年北京市高考数学试卷
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）已知全集U＝{x|﹣3＜x＜3}，集合A＝{x|﹣2＜x≤1}，则∁UA＝（　　）
A．（﹣2，1] B．（﹣3，﹣2）∪[1，3）
C．[﹣2，1） D．（﹣3，﹣2]∪（1，3）
2．（4分）若复数z满足i•z＝3﹣4i，则|z|＝（　　）
A．1 B．5 C．7 D．25
3．（4分）若直线2x+y﹣1＝0是圆（x﹣a）2+y2＝1的一条对称轴，则a＝（　　）
A． B． C．1 D．﹣1
4．（4分）已知函数f（x）＝，则对任意实数x，有（　　）
A．f（﹣x）+f（x）＝0 B．f（﹣x）﹣f（x）＝0
C．f（﹣x）+f（x）＝1 D．f（﹣x）﹣f（x）＝
5．（4分）已知函数f（x）＝cos2x﹣sin2x，则（　　）
A．f（x）在（﹣，﹣）上单调递减
B．f（x）在（﹣，）上单调递增
C．f（x）在（0，）上单调递减
D．f（x）在（，）上单调递增
6．（4分）设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n＞N0时，an＞0”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（4分）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar．下列结论中正确的是（　　）

A．当T＝220，P＝1026时，二氧化碳处于液态
B．当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态
C．当T＝300，P＝9987时，二氧化碳处于超临界状态
D．当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态
8．（4分）若（2x﹣1）4＝a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a2+a4＝（　　）
A．40 B．41 C．﹣40 D．﹣41
9．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的六条棱长均为6，S是△ABC及其内部的点构成的集合．设集合T＝{Q∈S|PQ≤5}，则T表示的区域的面积为（　　）
A． B．π C．2π D．3π
10．（4分）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则•的取值范围是（　　）
A．[﹣5，3] B．[﹣3，5] C．[﹣6，4] D．[﹣4，6]
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）函数f（x）＝+的定义域是 　 　．
12．（5分）已知双曲线y2+＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝　 　．
13．（5分）若函数f（x）＝Asinx﹣cosx的一个零点为，则A＝　 　；f（）＝　 　．
14．（5分）设函数f（x）＝若f（x）存在最小值，则a的一个取值为 　 　；a的最大值为 　 　．
15．（5分）已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和Sn满足an•Sn＝9（n＝1，2，…）．给出下列四个结论：
①{an}的第2项小于3；
②{an}为等比数列；
③{an}为递减数列；
④{an}中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是 　 　．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（13分）在△ABC中，sin2C＝sinC．
（Ⅰ）求∠C；
（Ⅱ）若b＝6，且△ABC的面积为6，求△ABC的周长．
17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB＝BC＝2，M，N分别为A1B1，AC的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面BCC1B1；
（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①：AB⊥MN；
条件②：BM＝MN．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

18．（13分）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
（Ⅰ）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（Ⅱ）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望EX；
（Ⅲ）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
19．（15分）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），焦距为2．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过点P（﹣2，1）作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N．当|MN|＝2时，求k的值．
20．（15分）已知函数f（x）＝exln（1+x）．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）设g（x）＝f′（x），讨论函数g（x）在[0，+∞）上的单调性；
（Ⅲ）证明：对任意的s，t∈（0，+∞），有f（s+t）＞f（s）+f（t）．
21．（15分）已知Q：a1，a2，…，ak为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的n∈{1，2，…，m}，在Q中存在ai，ai+1，ai+2，…，ai+j（j≥0），使得ai+ai+1+ai+2+…+ai+j＝n，则称Q为m﹣连续可表数列．
（Ⅰ）判断Q：2，1，4是否为5﹣连续可表数列？是否为6﹣连续可表数列？说明理由；
（Ⅱ）若Q：a1，a2，…，ak为8﹣连续可表数列，求证：k的最小值为4；
（Ⅲ）若Q：a1，a2，…，ak为20﹣连续可表数列，且a1+a2+…+ak＜20，求证：k≥7．

2022年北京市高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）已知全集U＝{x|﹣3＜x＜3}，集合A＝{x|﹣2＜x≤1}，则∁UA＝（　　）
A．（﹣2，1] B．（﹣3，﹣2）∪[1，3）
C．[﹣2，1） D．（﹣3，﹣2]∪（1，3）
【分析】由补集的定义直接求解即可．
【解答】解：因为全集U＝{x|﹣3＜x＜3}，集合A＝{x|﹣2＜x≤1}，
所以∁UA＝{x|﹣3＜x≤﹣2或1＜x＜3}＝（﹣3，﹣2]∪（1，3）．
故选：D．
【点评】本题主要考查补集的运算，考查运算求解能力，属于基础题．
2．（4分）若复数z满足i•z＝3﹣4i，则|z|＝（　　）
A．1 B．5 C．7 D．25
【分析】把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．
【解答】解：由i•z＝3﹣4i，得z＝，
∴|z|＝||＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查复数模的求法，考查化归与转化思想，是基础题．
3．（4分）若直线2x+y﹣1＝0是圆（x﹣a）2+y2＝1的一条对称轴，则a＝（　　）
A． B． C．1 D．﹣1
【分析】由圆的方程求得圆心坐标，代入直线方程即可求得a值．
【解答】解：圆（x﹣a）2+y2＝1的圆心坐标为（a，0），
∵直线2x+y﹣1＝0是圆（x﹣a）2+y2＝1的一条对称轴，
∴圆心在直线2x+y﹣1＝0上，可得2a+0﹣1＝0，即a＝．
故选：A．
【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，明确直线过圆心是关键，是基础题．
4．（4分）已知函数f（x）＝，则对任意实数x，有（　　）
A．f（﹣x）+f（x）＝0 B．f（﹣x）﹣f（x）＝0
C．f（﹣x）+f（x）＝1 D．f（﹣x）﹣f（x）＝
【分析】根据题意计算f（x）+f（﹣x）的值即可．
【解答】解：因为函数f（x）＝，所以f（﹣x）＝＝，
所以f（﹣x）+f（x）＝＝1．
故选：C．
【点评】本题考查了指数的运算与应用问题，是基础题．
5．（4分）已知函数f（x）＝cos2x﹣sin2x，则（　　）
A．f（x）在（﹣，﹣）上单调递减
B．f（x）在（﹣，）上单调递增
C．f（x）在（0，）上单调递减
D．f（x）在（，）上单调递增
【分析】利用二倍角公式化简得f（x）＝cos2x，周期T＝π，根据余弦函数的单调性可得f（x）的单调递减区间为[kπ，]（k∈Z），单调递增区间为[，π+kπ]（k∈Z），进而逐个判断各个选项的正误即可．
【解答】解：f（x）＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，周期T＝π，
∴f（x）的单调递减区间为[kπ，]（k∈Z），单调递增区间为[，π+kπ]（k∈Z），
对于A，f（x）在（﹣，﹣）上单调递增，故A错误，
对于B，f（x）在（﹣，0）上单调递增，在（0，）上单调递减，故B错误，
对于C，f（x）在（0，）上单调递减，故C正确，
对于D，f（x）在（，）上单调递减，在（，）上单调递增，故D错误，
故选：C．
【点评】本题主要考查了二倍角公式，考查了余弦函数的单调性，属于基础题．
6．（4分）设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n＞N0时，an＞0”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据等差数列的定义与性质，结合充分必要条件的定义，判断即可．
【解答】解：因为数列{an}是公差不为0的无穷等差数列，当{an}为递增数列时，公差d＞0，
令an＝a1+（n﹣1）d＞0，解得n＞1﹣，[1﹣]表示取整函数，
所以存在正整数N0＝1+[1﹣]，当n＞N0时，an＞0，充分性成立；
当n＞N0时，an＞0，an﹣1＜0，则d＝an﹣an﹣1＞0，必要性成立；
是充分必要条件．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列与充分必要条件的应用问题，是基础题．
7．（4分）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar．下列结论中正确的是（　　）

A．当T＝220，P＝1026时，二氧化碳处于液态
B．当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态
C．当T＝300，P＝9987时，二氧化碳处于超临界状态
D．当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态
【分析】计算每个选项的lgP的值，结合T与图可判断结论．
【解答】解：对于A，当T＝220，P＝1026时，lgP＞3，由图可知二氧化碳处于固态，故A错误；
对于B：当T＝270，P＝128时，2＜lgP＜3，由图可知二氧化碳处于液态，故B错误；
对于C：当T＝300，P＝9987时，lgP≈4，由图可知二氧化碳处于固态，故C错误；
对于D：当T＝360，P＝729时，2＜lgP＜3，由图可知二氧化碳处于超临界状态，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查对数的计算，考查看图的能力，数形结合思想，属基础题．
8．（4分）若（2x﹣1）4＝a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a2+a4＝（　　）
A．40 B．41 C．﹣40 D．﹣41
【分析】法一：由题意，利用二项式展开式的通项公式，求出a0和a2，以及a4的值，可得结论．
解法二：在所给的等式中，分别令x＝1，x＝﹣1，得到两个等式，再把两个等式相加并处以2可得a0+a2+a4的值．
【解答】解：法一：∵（2x﹣1）4＝a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，
可得a0＝＝1，a2＝×22＝24，a4＝×24＝16，
∴a0+a2+a4＝41，
故答案为：41．
法二：∵（2x﹣1）4＝a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，
令x＝1，可得a0+a1+a2+a3+a4＝1，
再令x＝﹣1，可得a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝（﹣3）4＝81，
∴两式相加处以2可得，a0+a2+a4＝＝41，
故选：B．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于基础题．
9．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的六条棱长均为6，S是△ABC及其内部的点构成的集合．设集合T＝{Q∈S|PQ≤5}，则T表示的区域的面积为（　　）
A． B．π C．2π D．3π
【分析】设点P在面ABC内的投影为点O，连接OA，根据正三角形的性质求得OA的长，并由勾股定理求得OP的长，进而知T表示的区域是以O为圆心，1为半径的圆．
【解答】解：设点P在面ABC内的投影为点O，连接OA，则OA＝＝2，
所以OP＝＝＝2，
由＝＝1，知T表示的区域是以O为圆心，1为半径的圆，
所以其面积S＝π．

故选：B．
【点评】本题考查棱锥的结构特征，点的轨迹问题，考查空间立体感和运算求解能力，属于基础题．
10．（4分）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则•的取值范围是（　　）
A．[﹣5，3] B．[﹣3，5] C．[﹣6，4] D．[﹣4，6]
【分析】根据条件，建立平面直角坐标系，设P（x，y），计算可得＝﹣3x﹣4y+1，进而可利用参数方程转化为三角函数的最值问题求解．
【解答】解：在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，
以C为坐标原点，CA，CB所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图：

则A（3，0），B（0，4），C（0，0），
设P（x，y），
因为PC＝1，
所以x2+y2＝1，
又＝（3﹣x，﹣y），＝（﹣x，4﹣y），
所以＝﹣x（3﹣x）﹣y（4﹣y）＝x2+y2﹣3x﹣4y＝﹣3x﹣4y+1，
设x＝cosθ，y＝sinθ，
所以＝﹣（3cosθ+4sinθ）+1＝﹣5sin（θ+φ）+1，其中tanφ＝，
当sin（θ+φ）＝1时，有最小值为﹣4，
当sin（θ+φ）＝﹣1时，有最大值为6，
所以∈[﹣4，6]，
故选：D．
【点评】本题考查了平面向量数量积的最值问题，属于中档题．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）函数f（x）＝+的定义域是 　（﹣∞，0）∪（0，1]　．
【分析】由分母不为0，被开方数非负列不等式组，即可求解函数的定义域．
【解答】解：要使函数f（x）＝+有意义，
则，解得x≤1且x≠0，
所以函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，1]．
故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1]．
【点评】本题主要考查函数定义域的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
12．（5分）已知双曲线y2+＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝　﹣3　．
【分析】化双曲线方程为标准方程，从而可得m＜0，求出渐近线方程，结合已知即可求解m的值．
【解答】解：双曲线y2+＝1化为标准方程可得y2﹣＝1，
所以m＜0，双曲线的渐近线方程y＝±x，
又双曲线y2+＝1的渐近线方程为y＝±x，
所以＝，解得m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查双曲线的简单性质，考查运算求解能力，属于基础题．
13．（5分）若函数f（x）＝Asinx﹣cosx的一个零点为，则A＝　1　；f（）＝　﹣　．
【分析】由题意，利用函数的零点，求得A的值，再利用两角差的正弦公式化简f（x），可得f（）的值．
【解答】解：∵函数f（x）＝Asinx﹣cosx的一个零点为，∴A﹣×＝0，
∴A＝1，函数f（x）＝sinx﹣cosx＝2sin（x﹣），
∴f（）＝2sin（﹣）＝2sin（﹣）＝﹣2sin＝﹣，
故答案为：1；﹣．
【点评】本题主要考查两角差的正弦公式，函数的零点，求三角函数的值，属于中档题．
14．（5分）设函数f（x）＝若f（x）存在最小值，则a的一个取值为 　0　；a的最大值为 　1　．
【分析】对函数f（x）分段函数的分界点进行分类讨论，研究其不同图像时函数取最小值时a的范围即可．
【解答】解：当a＜0时，函数f（x）图像如图所示，不满足题意，

当a＝0时，函数f（x）图像如图所示，满足题意；

当0＜a＜2时，函数f（x）图像如图所示，要使得函数有最小值，需满足﹣a2+1≥0，解得：0＜a≤1；

当a＝2时，函数f（x）图像如图所示，不满足题意，

当a＞2时，函数f（x）图像如图所示，要使得函数f（x）有最小值，需（a﹣2）2≤﹣a2+1，无解，故不满足题意；

综上所述：a的取值范围是[0，1]，
故答案为：0，1．
【点评】本题主要考查利用分段函数图像确定函数最小值是分界点的讨论，属于较难题目．
15．（5分）已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和Sn满足an•Sn＝9（n＝1，2，…）．给出下列四个结论：
①{an}的第2项小于3；
②{an}为等比数列；
③{an}为递减数列；
④{an}中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是 　①③④　．
【分析】对于①，求出a2即可得出结论；对于②，假设{an}为等比数列，推出矛盾即可得出结论；对于③，容易推得an＜an﹣1；对于④，假设所有项均大于等于，推出矛盾即可判断．
【解答】解：对于①n＝1时，可得a1＝3，当n＝2时，由a2•S2＝9，可得a2•（a1+a2）＝9，可得a2＝＜3，故①正确；
对于②，当n≥2时，由得，于是可得，即，
若{an}为等比数列，则n≥2时，an+1＝an，即从第二项起为常数，可检验n＝3不成立，故②错误；
对于③，因为an•Sn＝9，an＞0，a1＝3，
当n≥2时，Sn＝，
所以an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣＞0，
所以＞⇒＞⇒an＜an﹣1，
所以{an}为递减数列，故③正确；
对于④，假设所有项均大于等于，取n＞90000，则，则anSn＞9与已知矛盾，故④正确；
故答案为：①③④．
【点评】本题考查命题的真假判断，考查数列的递推关系，考查逻辑推理能力，运算求解能力，属于较难题目．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（13分）在△ABC中，sin2C＝sinC．
（Ⅰ）求∠C；
（Ⅱ）若b＝6，且△ABC的面积为6，求△ABC的周长．
【分析】（Ⅰ）根据二倍角公式化简可得cosC，进一步计算可得角C；（Ⅱ）根据三角形面积求得a，再根据余弦定理求得c，相加可得三角形的周长．
【解答】解：（Ⅰ）∵sin2C＝sinC，
∴2sinCcosC＝sinC，
又sinC≠0，∴2cosC＝，
∴cosC＝，∵0＜C＜π，
∴C＝；
（Ⅱ）∵△ABC的面积为6，
∴absinC＝6，
又b＝6，C＝，
∴×a×6×＝6，
∴a＝4，
又cosC＝，
∴＝，
∴c＝2，
∴a+b+c＝6+6，
∴△ABC的周长为6+6．
【点评】本题考查了三角形面积公式和余弦定理的应用，属于中档题．
17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB＝BC＝2，M，N分别为A1B1，AC的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面BCC1B1；
（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①：AB⊥MN；
条件②：BM＝MN．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

【分析】（1）通过证面面平证线面平行；
（2）通过证明BC，BA，BB1两两垂直，从而建立以B为坐标原点，BC，BA，BB1为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值．
【解答】解：（I）证明：取AB中点K，连接NK，MK，
∵M为A1B1的中点．∴B1M∥BK，且B1M＝BK，
∴四边形BKMB1是平行四边形，故MK∥BB1，
MK⊄平面BCC1B1；BB1⊂平面BCC1B1，
∴MK∥平面BCC1B1，
∵K是AB中点，N是AC的点，
∴NK∥BC，∵NK⊄平面BCC1B1；BC⊂平面BCC1B1，
∴NK∥平面BCC1B1，又NK∩MK＝K，
∴平面NMK∥平面BCC1B1，
又MN⊂平面NMK，∴MN∥平面BCC1B1；
（II）∵侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，平面BCC1B1∩平面ABB1A1＝BB1，
∴CB⊥平面ABB1A1，∴CB⊥AB，又NK∥BC，∴AB⊥NK，
若选①：AB⊥MN；又MN∩NK＝N，∴AB⊥平面MNK，
又MK⊂平面MNK，∴AB⊥MK，又MK∥BB1，
∴AB⊥BB1，∴BC，BA，BB1两两垂直，
若选②：∵CB⊥平面ABB1A1，NK∥BC，∴NK⊥平面ABB1A1，KM⊂平面ABB1A1，
∴MK⊥NK，又BM＝MN，NK＝BC，BK＝AB，
∴△BKM≌△NKM，∴∠BKM＝∠NKM＝90°，
∴AB⊥MK，又MK∥BB1，∴AB⊥BB1，
∴BC，BA，BB1两两垂直，
以B为坐标原点，BC，BA，BB1为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则B（0，0，0），N（1，1，0），M（0，1，2），A（0，2，0），
∴＝（0，1，2），＝（1，1，0），

设平面BMN的一个法向量为＝（x，y，z），
则，令z＝1，则y＝﹣2，x＝2，
∴平面BMN的一个法向量为＝（2，﹣2，1），
又＝（0，2，0），
设直线AB与平面BMN所成角为θ，
∴sinθ＝|cos＜，＞|＝＝＝．
∴直线AB与平面BMN所成角的正弦值为．
【点评】本题考查线面平行的证明，线面角的求法，属中档题．
18．（13分）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
（Ⅰ）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（Ⅱ）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望EX；
（Ⅲ）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
【分析】（Ⅰ）用频率估计概率，即可求出甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率．
（Ⅱ）分别求出甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率，X的所有可能取值为0，1，2，3，结合独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，再利用期望公式即可求出EX．
（Ⅲ）丙夺冠概率估计值最大，因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩，比赛一次，丙获得9.85的概率为，甲获得9.80的概率为，乙获得9.78的概率为，并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利，所以丙冠军的概率估计值最大．
【解答】解：（Ⅰ）甲以往的10次成绩中有4次获得优秀奖，用频率估计概率，则甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率＝．
（Ⅱ）用频率估计概率，则乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为＝，丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为＝，
X的所有可能取值为0，1，2，3，
则P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝＝，
P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝＝，
∴EX＝0×＝．
（Ⅲ）甲获得冠军的概率估计值最大．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的期望，属于中档题．
19．（15分）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），焦距为2．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过点P（﹣2，1）作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N．当|MN|＝2时，求k的值．
【分析】（Ⅰ）利用已知和a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程．
（Ⅱ）联立直线与椭圆方程，再利用韦达定理求出x1+x2，x1•x2，再表示出|MN|，化简即可．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得，
，∴b＝1，c＝，a＝2，
∴椭圆E的方程为+y2＝1．
（Ⅱ）设过点P（﹣2，1）的直线为y﹣1＝k（x+2），B（x1，y1），C（x2，y2），
联立得，即（1+4k2）x2+（16k2+8k）x+16k2+16k＝0，
∵直线与椭圆相交，∴Δ＝[（16k2+8k）]2﹣4（1+4k2）（16k2+16k）＞0，∴k＜0，
由韦达定理得x1+x2＝﹣，x1•x2＝，
∵kAB＝，∴直线AB为y＝x+1，
令y＝0，则x＝，∴M（，0），同理N（，0），
∴|MN|＝|﹣|＝|﹣|＝|（﹣）|
＝|•|＝|•|
＝||＝2，
∴|•|＝2，∴||＝，
∴k＝﹣4．
【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，考查联立法和韦达定理、方程思想和运算能力，是一道综合题．
20．（15分）已知函数f（x）＝exln（1+x）．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）设g（x）＝f′（x），讨论函数g（x）在[0，+∞）上的单调性；
（Ⅲ）证明：对任意的s，t∈（0，+∞），有f（s+t）＞f（s）+f（t）．
【分析】（Ⅰ）对函数求导，将x＝0代入原函数及导函数得到纵坐标和斜率即可；
（Ⅱ）法一：对g（x）求导，并研究g（x）导函数的正负即可．
法二：设m（x）＝ex，n（x）＝ln（x+1）+，则g（x）＝m（x）•n（x），由指数函数的性质得m（x）＝ex在（0，+∞）上是增函数，且m（x）＝ex＞0，由导数性质得n（x）在（0，+∞）上单调递增，n（x）＝ln（x+1）+＞0，从而g（x）在[0，+∞）单调递增．
（Ⅲ）构造函数w（x）＝f（x+t）﹣f（x），利用w（x）单调性判断f（s+t）﹣f（s）与f（t）﹣f（0）大小关系即可．
【解答】解：（Ⅰ）对函数求导可得：，
将x＝0代入原函数可得f（0）＝0，将x＝0代入导函数可得：f′（0）＝1，
故在x＝0处切线斜率为1，故y﹣0＝1（x﹣0），化简得：y＝x；
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）有：g（x）＝，
，
令，令x+1＝k（k≥1），
设，恒成立，
故h（x）在[0，+∞）单调递增，又因为h（0）＝1，
故h（x）＞0在[0，+∞）恒成立，故g′（x）＞0，
故g（x）在[0，+∞）单调递增；
解法二：由（Ⅰ）有：g（x）＝，
，
设m（x）＝ex，n（x）＝ln（x+1）+，则g（x）＝m（x）•n（x），
由指数函数的性质得m（x）＝ex上 （0，+∞）上是增函数，且m（x）＝ex＞0，
n′（x）＝＝，当x∈（0，+∞）时，n′（x）＞0，n（x）单调递增，
且当x∈（0，+∞）时，n（x）＝ln（x+1）+＞0，
∴g（x）在[0，+∞）单调递增．
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）有g（x）在[0，+∞）单调递增，又g（0）＝1，
故g（x）＞0在[0，+∞）恒成立，故f（x）在[0，+∞）单调递增，
设w（x）＝f（x+t）﹣f（x），w′（x）＝f′（x+t）﹣f′（x），
由（Ⅱ）有g（x）在[0，+∞）单调递增，又因为x+t＞x，所以f′（x+t）＞f′（x），
故w（x）单调递增，又因为s＞0，故w（s）＞w（0），
即：f（s+t）﹣f（s）＞f（t）﹣f（0），又因为函数f（0）＝0，
故f（s+t）＞f（s）+f（t），得证．
【点评】本题主要考查利用导函数研究函数切线，及证明函数不等式，属于较难题目．
21．（15分）已知Q：a1，a2，…，ak为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的n∈{1，2，…，m}，在Q中存在ai，ai+1，ai+2，…，ai+j（j≥0），使得ai+ai+1+ai+2+…+ai+j＝n，则称Q为m﹣连续可表数列．
（Ⅰ）判断Q：2，1，4是否为5﹣连续可表数列？是否为6﹣连续可表数列？说明理由；
（Ⅱ）若Q：a1，a2，…，ak为8﹣连续可表数列，求证：k的最小值为4；
（Ⅲ）若Q：a1，a2，…，ak为20﹣连续可表数列，且a1+a2+…+ak＜20，求证：k≥7．
【分析】（Ⅰ）直接根据m﹣连续可表数列的定义即可判断；
（Ⅱ）采用反证法证明，即假设k的值为3，结合Q是8﹣连续可表数列的定义推出矛盾，进而得出证明；
（Ⅲ）首先m﹣连续可表数列的定义，证明得出k≥6，然后验证k＝6是否成立，进而得出所证的结论．
【解答】解：（Ⅰ）若m＝5，则对于任意的n∈{1，2，3，4，5}，
a2＝1，a1＝2，a1+a2＝2+1＝3，a3＝4，a2+a3＝1+4＝5，
所以Q是5﹣连续可表数列；
由于不存在任意连续若干项之和相加为6，
所以Q不是6﹣连续可表数列；
（Ⅱ）假设k的值为3，则a1，a2，a3 最多能表示a1，a2，a3，a1+a2，a2+a3，a1+a2+a3，共6个数字，
与Q是8﹣连续可表数列矛盾，故k≥4；
现构造Q：4，2，1，5可以表达出1，2，3，4，5，6，7，8这8个数字，即存在k＝4满足题意．
故k的最小值为4．
（Ⅲ）先证明k≥6．
从5个正整数中，取一个数字只能表示自身，最多可表示5个数字，
取连续两个数字最多能表示4个数字，取连续三个数字最多能表示3个数字，
取连续四个数字最多能表示2个数字，取连续五个数字最多能表示1个数字，
所以对任意给定的5个整数，最多可以表示5+4+3+2+1＝15个正整数，不能表示20个正整数，即k≥6．
若k＝6，最多可以表示6+5+4+3+2+1＝21个正整数，
由于Q为20﹣连续可表数列，且a1+a2+…+ak＜20，
所以其中必有一项为负数．
既然5个正整数都不能连续可表1﹣20的正整数，
所以至少要有6个正整数连续可表1﹣20的正整数，
所以至少6个正整数和一个负数才能满足题意，
当k＝7时，数列1，2，4，5，8，﹣2，﹣1满足题意，
当k＞7时，数列1，2，4，6，8，﹣2，﹣1，ak＝•••＝an＝0，所以k≥7符合题意，
故k≥7．
【点评】本题考查数列的新定义，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
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