2022-2023学年辽宁省大连市中山区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年辽宁省大连市中山区九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 剪纸是我国具有独特艺未风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸图形中，是中心对称图形的有(    )
    

A.  B.  C.  D.

2. 平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 若，相似比为：，则与的周长的比为(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

4. 下列事件不是随机事件的是(    )

A. 通常加热到时，水沸腾
B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C. 掷一次骰子，向上一面的点数是
D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯

5. 点，，，在反比例函数图象上，则，，，中最小的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，、分别是边，上的点，，若，，，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，四边形内接于，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，正六边形内接于，半径为，则这个正六边形的边心距为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，以点为位似中心，将放大后得到，，，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 已知圆锥的底面半径为，高为，则它的侧面展开图的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：

根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率结果保留两位小数约是______ ．

12. 在反比例函数的图象每一支曲线上，函数值随自变量的增大而增大，则的取值范围是______．
13. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则两次都是“正面朝上”的概率是______ ．
14. 如图，，是的半径，点在上，，，则的度数为______

15. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为______

16. 如图，矩形的对角线，交于点，分别以点，为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，若，，则图中阴影部分的面积为______结果保留

三、解答题（本大题共10小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    如图，在和中，．
    求证：∽．

18. 本小题分
    如图，已知，，，，的顶点均在格点网格线的交点上．
    将绕点逆时针旋转得到，在网格中画出；
    求弧的长．结果保留

19. 本小题分
    石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，如图，某石拱桥的桥拱是圆弧形．如果桥顶到水面的距离，桥拱的半径求此时水面的宽长．

20. 本小题分
    小明要测量一座钟塔的高，他在与钟塔底端处在同水平面上的地面放置一面镜子，并在镜子上做一个标记，当他站在离镜子处的处时，看到钟塔的顶端在镜子中的像与标记重合．已知，，在同直线上，小明的眼睛离地面的高度，，求钟塔的高度．

21. 本小题分
    为庆祝二十大胜利召开，中山区教育系统拔河比赛于年月日至月日在东港第一中学成功举办．本次比赛共进行三场，分别为：月日初赛，月日半决赛，月日决赛．李老师和张老师都是裁判员，他们被随机分配到这三场比赛中的任意一场进行裁判的可能性相同．
    求李老师被分配到做裁判员的概率；
    利用画树状图或列表的方法，求李老师和张老师同时被分配到同一场比赛做裁判员的概率．
22. 本小题分
    已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流单位：与电阻单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，．
    求蓄电池的电压；
    若，求可变电阻的变化范围．

23. 本小题分
    如图，为的直径，，为上两点，．
    求的度数；
    如图，过点，分别作的垂线，垂足为点，，求证：．

24. 本小题分
    反比例函数的图象经过点．
    求的值；
    点在轴的负半轴上，将点绕点顺时针旋转，其对应点落在此反比例函数第三象限的图象上，求点的坐标．

25. 本小题分
    如图，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为．
    求证：平分；
    如图，交于点，连接，，，求长．

26. 本小题分
    例题再现：
    如图，中，，，，是上一点，，，垂足为，则的长为______．
    类比探究：
    如图，中，，，点，分别在线段，上，，求的长．
    拓展延伸：
    如图，中，点，点分别在线段，上，延长，交于点，，，，求的长．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是中心对称图形，故本选项符合题意；
、是中心对称图形，故本选项符合题意；
、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：点关于原点对称的点的坐标为．
故选B．
根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点对称的点是，即可得．
本题主要考查中心对称中的坐标变化．
 

3.【答案】 

【解析】解：，相似比为：，
与的周长的比为：．
故选：．
直接利用相似三角形的性质求解．
本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．相似三角形多边形的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段对应中线、对应角平分线、对应边上的高的比也等于相似比．相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
 

4.【答案】 

【解析】解：、通常加热到时，水沸腾是必然事件，故符合题意；
B、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，故不符合题意；
C、掷一次骰子，向上一面的点数是，是随机事件，故不符合题意；
D、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，故不符合题意．
故选：．
根据随机事件的定义对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
在第一象限内，随的增大而减小，
，，，在反比例函数图象上，且，
最小．
故选：．
根据可知增减性：在第一象限内，随的增大而减小，根据横坐标的大小关系可作判断．
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象的增减性是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
∽．
．
．
．
故选：．
先说明∽，再利用相似三角形的性质得结论．
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，掌握“两角对应相等的两个三角形相似”、“相似三角形的对应边的比相等”是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形内接于，
，
，
，
故选：．
根据圆内接四边形的性质得出，再代入求出答案即可．
本题考查了圆内接四边形的性质，注意：圆内接四边形的对角互补．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接、，如图所示：
则，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
故选：．
连接、，证明是等边三角形，得出，由垂径定理求出，再由勾股定理求出即可．
本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出是解决问题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：以点为位似中心，将放大后得到，
∽，
，
，，
．
故选：．
直接利用位似图形的性质，进而得出，求出答案即可．
此题主要考查了位似变换，正确得出相似三角形是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：圆锥侧面展开图扇形的半径为：，其弧长为：，
圆锥侧面展开图的面积为：．
故选：．
先利用勾股定理求出圆锥侧面展开图扇形的半径，利用侧面展开图与底面圆的关系求出侧面展开图的弧长，再利用扇形面积公式即可求出圆锥侧面展开图的面积．
本题主要考查圆锥的计算，掌握侧面展开图与底面圆的关系是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：从频率的波动情况可以发现频率稳定在附近，
这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约为．
故答案为：．
根据大量的试验结果稳定在左右即可得出结论．
本题主要考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：反比例函数图象上的每一条曲线上，随的增大而增大，
，
．
故答案为：．
对于函数来说，当时，每一条曲线上，随的增大而增大；当时，每一条曲线上，随的增大而减小，所以根据已知中：图象的每一支曲线上，函数值随自变量的增大而增大列不等式：，解出即可．
本题考查反比例函数的性质．在解题时，要注意整体思想的运用．易错易混点：学生对解析式中的意义不理解，直接认为．
 

13.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果数，其中两次都是“正面朝上”的结果有种，
两次都是“正面朝上”的概率．
故答案为：．
画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出两次都是“正面朝上”的结果数，然后根据概率公式求解．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】 

【解析】解：和都对，
，
，
．
故答案为：．
先根据圆周角定理得到，再根据三角形内角和定理得到，从而可求得的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了三角形内角和定理．
 

15.【答案】 

【解析】解：绕点逆时针旋转得到，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
由旋转的性质可得，，利用直角三角形两锐角互余可得，即可得．
本题主要考查了旋转变换，掌握旋转前后两图形全等、对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角是解答本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，，
图中阴影部分的面积为：，
故答案为：
由图可知，阴影部分的面积是扇形和扇形的面积之和．
本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

17.【答案】证明：邻补角定义，已知，
．
又，
∽． 

【解析】利用“两角法”证得结论．
本题主要考查了相似三角形的判定．平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
 

18.【答案】解：如图，为所作；

，，，
，
弧的长 

【解析】利用网和特点和旋转的性质画出点、点的对应点即可；
先利用勾股定理计算出的长，然后根据弧长公式计算弧的长．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了勾股定理和弧长公式．
 

19.【答案】解：如图，连接，
则，
，
．
在中，，，
，
，
即此时水面的宽长为． 

【解析】连接，由垂径定理得，在中，由勾股定理即可求出的长，进而可得出的长，此题得解．
本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理，熟练掌握垂径定理，利用勾股定理求出的长度是解题的关键．
 

20.【答案】解：，，
．
由题意知：．
∽，
．
．
．
答：钟塔的高度为． 

【解析】根据相似三角形的判断和性质即可得到结论．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：李老师被分配到三场比赛作裁判员的可能性有三种，并且可能性相等，被分到的可能性只有一种，
则李老师被分配到做裁判员的概率是；

列表如下：

由表可以看出，所有可能出现的结果有种，并且出现的可能性相等．两人同时被分配到同一场比赛做裁判的可能性有种，即，，．
李老师和张老师同时被分配到同一场比赛作裁判的概率是． 

【解析】根据概率公式直接求解即可；
根据题意列出图表，得出所有等可能的情况数，找出李老师和张老师同时被分配到同一场比赛做裁判员的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】解：根据电学知识，设，
当时，．
，
电压．
由题意，，
，
，
可变电阻的变化范围是． 

【解析】利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式即可求得电压；
将代入中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围．
本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从题干中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．
 

23.【答案】解：为的直径，
，
，，
，
的度数为；
证明：连接，，

，，，
，
，
为的直径，
，
，
，，
，
，
，
≌，
，
，，

，
，
． 

【解析】根据直径所对的圆周角是直角可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得，然后利用等量代换可得，即可解答；
连接，，利用圆周角定理可得，，从而可得，进而可得，然后根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，再根据垂直定义可得，从而可得，进而利用同角的余角相等可得，再证明≌，最后利用全等三角形的性质可得，再证明是等腰直角三角形，从而可得，即可解答
本题考查了全等三角形的判定与性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】解：反比例函数的图象经过点．
，
；

设点坐标为，
作轴于点，轴于点，
，

，，
，
，
≌，
，，
，，
，，
，
，
点在双曲线上，
，
，舍，
点坐标为． 

【解析】利用待定系数法可求出的值；
证明≌，确定点的坐标为，即可求解．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等、解一元二次方程，表示出点的坐标是解题的关键．
 

25.【答案】证明：如图，连接，

切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分；
解：如图，连接交于点，

为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，，
，
，，
，
，
，
，
．
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
在中，． 

【解析】连接，根据切线的性质得到，则可判断，所以，然后利用，得到；
连接交于点，先根据圆周角定理得到，证明∽，由，，可得，然后利用勾股定理计算出的长．
本题考查了切线的性质，圆周角定理、垂径定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握圆的切线的性质，圆周角定理、垂径定理．
 

26.【答案】 

【解析】解：，，
∽，
，
，，，
，
解得：，
故答案为：；
如图，在上截取，连接，
，
为等边三角形，
，，
，，
，
，
，
，
∽，
，即，
解得：；
过点作于点，过点作于点，
，
，
，
，
则，
，
设，
，，
，
，
，
，，
，
，，，，
，
∽，
，即，
解得：，
．
证明∽，根据相似三角形的性质得到，把已知数据代入计算，求出；
在上截取，连接，根据等边三角形的性质得到，，证明∽，根据相似三角形的性质计算即可；
过点作于点，过点作于点，设，用表示出、，证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质，正确作出辅助线、熟记三角形相似的判定定理是解题的关键．