2022-2023学年上海市奉贤区五校联考九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市奉贤区五校联考九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 在中，各边的长度都缩小倍，那么锐角的余切值(    )

A. 扩大倍 B. 保持不变 C. 缩小倍 D. 缩小倍

2. 下列各组图形中，一定相似的是(    )

A. 两个等腰直角三角形
B. 各有两边长是和的两个直角三角形
C. 各有两边长是和的两个等腰三角形
D. 各有一个角是的两个等腰三角形

3. 如图，在中，，，那么下列结论正确的是(    )

A.
B.
C.
D. ．

4. 已知线段，，，求作线段，使，下列作法中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 如图，正方形的边在的边上，顶点、分别在边、上，已知的边长厘米，高为厘米，则正方形的边长是(    )

A. 厘米
B. 厘米
C. 厘米
D. 厘米

6. 如图是由个边长为的等边三角形组成的网格图，的三个顶点和线段的两个端点都在等边三角形的顶点上，若点也在等边三角形的顶点上，能使与相似的点有个．(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）

7. 已知：：，那么：______．
8. 已知线段是线段、的比例中项，且，，则______．
9. 已知点是线段的黄金分割点，若厘米，那么______厘米．
10. 在中，，，，那么______．
11. 在中，，，______．
12. 如图，在四边形中，添加一个条件______，可以利用定理“斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似”证明．
13. 如图：已知中，是上一点，添加一个条件______，可使∽．

14. 如图，点是的重心，过点，，，那么：______．

15. 如图，四边形中，，如果，，，则的长是______．

16. 如图，梯形中，，，若：：，则：______．

17. 如图，在菱形中，，，点、是对角线上的点点、不与、重合，分别联结、、、，若四边形是菱形，且与菱形是相似形，那么菱形的边长是______用的代数式表示．

18. 如图，中，，，，是边上的中线，把绕点旋转，点、、分别与点、、对应，与边交于点，在旋转过程中，若，那么______．

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

19. 已知实数、、满足，且求的值．

四、解答题（本大题共6小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20. 本小题分
    计算：．
21. 本小题分
    如图，已知中，，点、分别在边、上，．
    求证：∽；
    若，，，求点到的距离．

22. 本小题分
    如图，中，点、分别在边、上，，联结、相交于点，，，，．
    求线段的长；
    若，求的面积．

23. 本小题分
    如图，正方形中，对角线、相交于点，点在上，联结，延长交于点，过点作分别交、于点、．
    求证：∽；
    求证：．

24. 本小题分
    如图，已知在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、，反比例函数的图象也经过点，且点横坐标是．
    求一次函数的解析式．
    点是轴正半轴上的一点，联结，，过点作轴分别交反比例函数和一次函数的图象于点、，求点、的坐标．
    在的条件下，联结，一次函数的图象上是否存在一点使得和相似？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．

25. 本小题分
    如图，在中，已知，，点是边上一动点，过点作交射线于点，把沿翻折，点落在点处，和相交于点．
    若点和点重合，请在图中画出相应的图形，并求的长．
    在的条件下，求证：∽．
    是否存在这样的点，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出这时的正切值；若不存在，请说明理由．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：锐角三角函数表示的是直角三角形中相应的两条边的比，将各边的长度都缩小倍，其比值不变，
故选：．
根据锐角三角函数的定义进行判断即可．
本题考查解直角三角形，理解锐角三角函数的定义是正确解答的前提．
 

2.【答案】 

【解析】解：、两个等腰直角三角形，两腰成比例，夹角都是直角相等，一定相似，故本选项符合题意；
B、各有两边长是和的两个直角三角形，不一定相似，故本选项不符合题意；
C、各有两边长是和的两个等腰三角形，不一定相似，故本选项不符合题意；
D、各有一个角是的两个等腰三角形，不一定相似，故本选项不符合题意．
故选：．
根据相似图形的定义，对应角相等，对应边成比例对各选项分析判断利用排除法求解．
本题考查了相似图形，注意相似图形从对应边与夹角两方面考虑，是基础题，熟练掌握概念是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
在中，
，
，
因此选项A不符合题意；

，
因此选项B符合题意；
在中，
，
，
因此选项C不符合题意；
，
，
因此选项D不符合题意；
故选：．
在不同的直角三角形中由锐角三角函数的定义进行解答即可．
本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意，，
，
故选：．
把乘积式转化为比例式，可得结论．
本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
 

5.【答案】 

【解析】解：设正方形的边长为厘米．
由正方形得，，即，
，
．
由得∽
．
，
，，
即，
由厘米，厘米，，
得，
解得．
故正方形的边长是厘米．
故选：．
由得∽，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解．
本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程．
 

6.【答案】 

【解析】解：网格中都是等边三角形，
，，
，
，，
，
与的位置相同，
，
当点在和处时，，，
≌，≌，
当点在处时，∽，相似比是，
当点在处时，∽，相似比是，
综上所述：与相似的点有个，
故选：．
通过网格可知是直角三角形，当与全等时，点有两个；当与的相似比是时，点有两个．
本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握等边三角形，直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键．
 

7.【答案】： 

【解析】解：：：，
设，则，
．
故答案为：：．
本题考查了比例的性质，熟练掌握设法是解题的关键．
利用设法进行计算即可．
 

8.【答案】 

【解析】解：线段是线段、的比例中项，且，，
，
，
负值舍去．
故答案为：．
根据已知线段，，线段是，的比例中项，列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．
此题主要考查学生对比例线段这一知识点的理解和掌握，难度不大，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：点是线段的黄金分割点，厘米，
，
厘米，
故答案为：．
根据黄金分割的定义，进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：在中，，，，

，
故答案为：．
根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可．
本题考查锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握勾股定理以及锐角三角函数的定义是正确解答的前提．
 

11.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，
，
，
故答案为：．
在中，利用锐角三角函数的定义可得，然后利用勾股定理求出，再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了互余两角三角函数的关系，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

12.【答案】或 

【解析】解：，
当：：，即，；
当：：，即，；
故答案为：或．
由于，当添加：：或：：时，可利用定理“斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似”证明．
本题考查了相似直角三角形的判定：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．
 

13.【答案】 

【解析】解；由图可知，再加一个对应角相等即可，
所以，可以为：或，
故答案为：．
根据题目所给的条件，利用利用一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，即可得出答案．
此题主要考查学生对相似三角形的判定定理的理解和掌握，此题答案不唯一，属于开放型，大部分学生能正确做出，对此都要给予积极鼓励，以激发他们的学习兴趣．
 

14.【答案】： 

【解析】解：连接并延长交于点，如图，
点是的重心，
，
，
，
，
．
即：：．
故答案为：：．
连接并延长交于点，如图，根据三角形的重心的性质得到，再根据平行线分线段成比例定理，由得到，然后由得到．
本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为：也考查了平行线分线段成比例定理．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
，，，
，
解得，
，
故答案为：．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，求出，进而求出．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：在梯形中，，
，
，
，
∽，
，
，
，
：，
故答案为：．
根据梯形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的性质和判定，梯形的性质，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，连接，交于．
在菱形中，，，
，，，

由题意，可得菱形∽菱形，
，

故答案为：
连接，交于根据菱形的性质得出，，，利用含的直角三角形的性质得出再根据相似图形的性质及锐角三角函数定义求解即可．
本题考查了相似图形的性质，菱形的性质，含的直角三角形的性质，锐角三角函数定义等知识，难度适中．准确作出辅助线求出的长是解题的关键．
 

18.【答案】或 

【解析】解：，，，
，
设，则，
，
，
，
，．
如图，

是边上的中线，
，
，
．
当时，
；
当与不平行时，过作，交于点，过作于点，如图，

，
，
，为的中点，
，．
．
，，
∽，
，
，
，．
，
，
，
综上，或．
故答案为：或．
利用直角三角形的边角关系定理和勾股定理求得，的长，再利用分类讨论的思想方法解答：当时，由三角形的中位线定理即可得出结论；当与不平行时，过作，交于点，过作于点，利用等腰三角形的性质，三角形的中位线定理和相似三角形的判定与性质求得的长，则结论可求．
本题主要考查了直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键
 

19.【答案】解：，
设，，，
，
，
，
，，，
． 

【解析】设，，，根据，得，，，，即可求出答案．
本题考查了比例的基本性质，根据已知条件列方程是关键．
 

20.【答案】解：原式

． 

【解析】将特殊锐角三角函数值代入计算即可．
本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数值是正确解答的前提．
 

21.【答案】证明：，
，
，
，
∽；
如图，过点作于，过点作于，

，，
，
，
，，
，
∽，
，
，
，
点到的距离为． 

【解析】由等腰三角形的性质可得，由外角的性质可得，可得结论；
由相似三角形的性质可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：，，，
，，
，
又，
∽，
，
；
∽，
∽，
，
∽，
，，
，
，
，
． 

【解析】通过证明∽，由相似三角形的性质可求解；
通过证明∽，可得，，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
 

23.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
∽；
∽，
，
，
又，
∽，
，
． 

【解析】由正方形的性质可得，，由余角的性质可得，可得结论；
通过证明∽，可得，可得结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
 

24.【答案】解：反比例函数的图象也经过点，点横坐标是，
，
，
把，代入得，
，
解得，
一次函数的解析式为；
过作轴于，

则，，
，
，
，
把代入得，
把代入得得，
，；
如图，设，
当∽，
，
，
解得或不合题意舍去；
当∽，，
，
，
解得或不合题意舍去，
点坐标为或 

【解析】根据反比例函数的图象也经过点，点横坐标是，求得，解方程组即可得到结论；
过作轴于，则，，根据三角函数的定义得到，求得，把分别代入和即可得到结论；
如图，设，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．
本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，分类讨论是解题的关键．
 

25.【答案】解：，，，
，
是直角三角形，且，
由翻折得，
，
，
点在射线上，
如图，点和点重合，则，
，，
∽，
，
，
的长是．
证明：如图，
垂直平分，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
∽．
解：存在，
作于点，则，
，
∽，
，
，，
：：：：，
如图，是等腰三角形，且，
作于点，则，
，
，
，
，
，，
，
；
如图，是等腰三角形，且，
，
，，
，
；
如图，是等腰三角形，且，则，
，，
，
，
，
，，
，
；
如图，是等腰三角形，点在的延长线上，且，
，
，，
，
，
综上所述，的正切值为或或或． 

【解析】先由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，再证明∽，得，则；
由垂直平分，得，则，由∽，得，由，得，则，而，即可证明∽；
作于点，先由∽，求得：：：：，再分四种情况分别求出的长，并且求出相应的和的长，即可由，求出的正切值，一是是等腰三角形，且，作于点，由，求得，再由勾股定理求得，则；二是是等腰三角形，且，则；三是是等腰三角形，且，则，所以；四是是等腰三角形，点在的延长线上，且，．
此题重点考查勾股定理及其逆定理的应用、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等角的余角相等、线段的垂直平分线的性质、根据面积等式求线段的长度、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．