福建省三明市尤溪县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)

这是一份福建省三明市尤溪县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题（本题共8小题，共32分）
将一元二次方程3x2-2=-4x化成一般形式ax2+bx+c=0(a>0)后，一次项的系数是( )
A. -4B. 2C. 4D. 3
如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段AB=4，则线段BC的长是( )
A. 2B. 4C. 1D. 13
如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠ABE为( )
A. 10°B. 15°C. 20°D. 25°
下列一元二次方程有两个相等实数根的是( )
A. x2=1B. x2=xC. (x-1)2=0D. (x+1) 2=-1
如图，四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA'=2：3，则四边形ABCD与A'B'C'D'的面积比是( )
A. 4：9B. 2：5C. 2：3D. 2：3
甲、乙两位同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频本，绘出的统计图如图所示，则符合这结果的实验可能是( )
A. 从一个装有2个白球和1个红球的袋子任取一个球，则取到红球的概率
B. 任意买一张电影票，座位号是偶数的概率
C. 抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率
D. 掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
如图，已知矩形ABCD中，下列条件能使矩形ABCD成为正方形的是( )
A. AC=BD
B. AB⊥BC
C. AD=BC
D. AC⊥BD
如表是代数式ax2+bx的值的情况，根据表格中的数据，可知方程ax2+bx=2的根是( )
A. x1=0，x2=1B. x1=-1，x2=2
C. x1=-2，x2=3D. x1=-3，x2=4
如图，△ABC中，∠A=76°，AB=8，AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )
A. B.
C. D.
如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为( )
A. 5
B. 6
C. 163
D. 173
矩形ABCD的两条对角线相交于点O，若AO=3，则BD的长为______．
一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，这个球是白球的概率是______．
对于解一元二次方程(x+3)2=4，通过降次转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+3=2，则另一个一元一次方程是______．
对于一元二次方程：x2=mx，下列是小聪求解的推理过程：
解：两边都减m2，得x2-m2=mx-m2；①
两边分别分解因式，得(x+m)(x-m)=m(x-m)；②
两边都除以x-m，得x+m=m；③
两边都减m，得x=0. ④
以上推理过程，开始出现错误的那一步对应的序号是______．
如图，在△ABC中，AB=6，BC=8，AC=7，点D，E分别在AB，BC上，将△BDE沿ED折叠，点B的对应点F刚好落在AC上．当△CEF与△ABC相似时，BE的长为______．
解方程：(1)(x-5)2-1=0；
(2)2x2+4x-1=0．
《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB=1.6米，BD=1米，BE=0.2米，请你计算出古井水面以上部分深度AC是多少米？
某校计划举办“喜迎二十大”演讲比赛，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度“三个主题．
(1)若小颖随机选择其中一个主题，求她选中的主题是“5G时代”的概率是______；
(2)若小颖和小亮每人随机选择其中一个主题，用树状图或列表的方法求出他们恰好选择同一个主题的概率．
如图，在12×6的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，以DE为一边画格点△DEF，使得△DEF∽△ABC.其中AB=6，AC=25，BC=42，DE=3．
(1)在图中画出△DEF；
(2)证明：△DEF∽△ABC．
(1)如果a，b，c，d四个数成比例，即ab=cd，那么ad=bc，其变形根据是______；反过来，如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0)，可以得出比例式ab=cd，那么还可以得出其它哪些不同的比例式(直接写出其中三个正确的比例式即可)．
(2)如果ab=cd(b-d≠0)，那么a-cb-d=cd成立吗？若成立，请写出推理过程；若不成立，请说明理由．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
(1)求作：Rt△ABC斜边AB边上的中线CD(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下，求证：CD=12AB．
如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点，已知PE⊥EC．
(1)求证：△AEP∽△DEC；
(2)若AB=3，BC=4，求AP的长．
有一块长为a米，宽为b米的矩形场地，计划在该场地上修筑互相垂直的宽都为2米的纵横小路(阴影部分)，余下的场地建成草坪．
(1)如图1，在矩形场地上修筑两条的纵横小路．
①请写出两条小路的面积之和S=______(用含a、b的代数式表示)；
②若a：b=2：1，且草坪的总面积为312米 ​2，求原来矩形场地的长与宽各为多少米？
(2)如图2，在矩形场地上修筑多条的纵横小路，其中m条水平方向的小路，n条竖直方向的小路(m,n为常数)，若a=28.b=14，且草坪的总面积为120平方米，求m+n的值．
如图1，点O是▱ABCD的对角线AC，BD的交点，过点O作OH⊥AB，OM⊥BC，垂足分别为H，M，若OH≥OM，我们称λ=OHOM是▱ABCD的中心距比．
(1)如图2，当λ=1，求证：▱ABCD是菱形；
(2)如图3，当∠ABC=90°，且AB=OB，求▱ABCD的λ值；
(3)如图4，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，动点P从点B出发．沿线段BC向终点C运动，动点Q自C出发，沿线段CA向终点A运动，P、Q两点同时出发，运动速度均为每秒1个单位，连结PQ，以PQ、AQ为邻边作▱AQPE，若▱AQPE的中心距比λ=10.求点P的运动时间．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：将一元二次方程3x2-2=-4x化成一般形式ax2+bx+c=0(a>0)3x2+4x-2=0后，一次项的系数是4．
故选：C．
首先把-4x移到等号左边，把右边化为0，然后再确定答案．
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫一元二次方程的一般形式．
2.【答案】A
【解析】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，
则ABBC=ADDE，即4BC=2，
解得：BC=2，
故选：A．
过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，
∴AB=BC=CD=AD=AE=DE，∠BAD=90°，∠DAE=60°，
∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=150°，
又∵AB=AE，
∴∠ABE=12(180°-150°)=15°．
故选：B．
由四边形ABCD为正方形，三角形ADE为等边三角形，可得出正方形的四条边相等，三角形的三边相等，进而得到AB=AE，且得到∠BAD为直角，∠DAE为60°，由∠BAD+∠DAE求出∠BAE的度数，进而利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理即可求出∠ABE的度数．
此题考查了正方形的性质以及等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握正方形以及等边三角形的性质是解本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：方程x2=1整理得x2-1=0，
∵Δ=0-4×1×(-1)=4>0，
∴选项A中方程有两个不相等实数根；
方程x2=x整理得x2-x=0，
∵Δ=1-4×1×0=1>0，
∴选项B中方程有两个不相等实数根；
方程(x-1)2=0整理得x2-2x+1=0，
∵Δ=4-4×1×1=0，
∴选项C中方程有两个相等的实数根；
方程(x+1)2=-1整理得x2+2x+2=0，
∵Δ=4-4×1×2=-4<0，
∴选项D中方程没有实数根．
故选：C．
计算每个选项的根的判别式，根据判别式与0的关系可得结论．
本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程的解与根的判别式的关系是解决本题的关键．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查的是位似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性质是解题的关键．
根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．
【解答】
解：∵四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA'=2：3，
∴DA：D'A'=OA：OA'=2：3，
∴四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比为：(23)2=49，
故选：A．
6.【答案】A
【解析】解：A、从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率是：11+2=13≈0.33，正确；
B、任意写出一个整数，能被2整除的概率为12，故此选项错误；
C、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为12，故此选项错误；
D、掷一枚正六面体的骰子，出现某一特定面的概率为16，故此选项错误；
故选：A．
根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．
本题考查利用频率估计概率，正确计算出各自的概率是解题关键．
7.【答案】D
【解析】解：A、当AC=BD时，只能判定四边形ABCD是矩形，不能判定该矩形是正方形，故本选项错误；
B、矩形ABCD的四个角都是直角，则AB⊥BC，不能判定该矩形是正方形，故本选项错误；
C、矩形ABCD的对边AD=BC，不能判定该矩形是正方形，故本选项错误；
D、当矩形ABCD的对角线相互垂直，即AC⊥BD时，该矩形是正方形，故本选项正确；
故选：D．
根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形进行判断即可．
本题考查了正方形的判定．需要掌握矩形与正方形间的区别与联系．
8.【答案】B
【解析】解：由表中数据得当x=-1时，ax2+bx=2；
当x=2时，ax2+bx=2；
所以方程ax2+bx=2的解为x1=-1，x2=2．
故选：B．
根据表中的对应值得到当x=-1时，ax2+bx=2；当x=2时，ax2+bx=2，则根据一元二次方程解的定义可得到方程ax2+bx=2的解．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
9.【答案】C
【解析】解：A、阴影三角形与原三角形有两组角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两组角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意；
D、阴影三角形中，∠A的两边分别为6-2=4，8-5=3，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．
故选：C．
本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
10.【答案】C
【解析】解：∵CD/​/AB，
∴△ABE∽△CDE，
∴AECE=ABCD=42=2，
∴S阴影=23S△ABC=23×12×4×4=163，

故选：C．
证明△ABE∽△CDE，求得AE：CE，再根据三角形的面积关系求得结果．
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，关键在于证明三角形相似．
11.【答案】6
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AO=CO，
∵AO=3，
∴CO=3，
∴AC=3+3=6，
∴BD=AC=6，
故答案为：6．
根据矩形的性质得出AC=BD，AO=CO，求出AC，再求出BD即可．
本题考查了矩形的性质，能熟记矩形的对角线互相平分且相等是解此题的关键．
12.【答案】25
【解析】解：P(这个球是白球)=25．
故答案为：25．
应用简单随机事件的概率计算方法进行计算即可得出答案．
本题主要考查了概率公式，熟练掌握简单随机事件的概率计算方法进行求解是解题关键．
13.【答案】x+3=-2
【解析】解：(x+3)2=4，
∴x+3=±2，
∴x+3=2或x+3=-2，
故答案为：x+3=-2．
利用解一元二次方程-直接开平方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
14.【答案】③
【解析】解：根据等式的基本性质可判断③错误．
故答案为：③．
根据等式的性质可判断③错误．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
15.【答案】247或4813
【解析】解：∵将△BDE沿DE翻折得到△FDE，
∴BE=EF，
∵BC=8，
∴CE=8-BE，
当△CEF与△ABC相似时，CEBC=EFAB或CEAC=EFAB，即8-BE8=BE6或8-BE7=BE6，
解得：BE=247或4813，
故答案是：247或4813．
根据折叠的性质得到BE=EF，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了相似三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
16.【答案】解：(1)∵(x-5)2-1=0，
∴(x-5)2=1，
∴x-5=±1，
∴x1=6，x2=4；
(2)∵2x2+4x-1=0，
∴2x2+4x=1，
则x2+2x=12，
∴x2+2x+1=12+1，即(x+1)2=32，
∴x+1=±62，
∴x1=-1+62，x2=-1-62．
【解析】(1)利用直接开平方法求解即可；
(2)将常数项移到方程的右边，再把二次项系数化为1，继而两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
17.【答案】解：由题意得：
BD/​/AC，
∴∠D=∠ACD，∠A=∠ABD，
∴△BDE∽△ACE，
∴BDBE=ACAE，
∴10.2=AC1.6-0.2，
解得：AC=7，
答：古井水面以上部分深度AC的长为7米．
【解析】根据8字模型相似三角形证明△BDE∽△ACE，利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关键．
18.【答案】13
【解析】解：(1)若小颖随机选择其中一个主题，则她选中的主题是“5G时代”的概率是13，
故答案为：13；
(2)把“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度“三个主题分别记为A、B、C，
画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中小颖和小亮恰好选择同一个主题的结果有3种，
∴小颖和小亮恰好选择同一个主题的概率为39=13．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有9种等可能的结果，其中小颖和小亮恰好选择同一个主题的结果有3种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19.【答案】解：(1)如图所示：△DEF即为所求；
(2)证明：由图可知：DF=5，EF=22，
∵AB=6，AC=25，BC=42，DE=3，
∴ABDE=ACDF=BCEF=2，
∴△DEF∽△ABC．
【解析】(1)利用AB与DE是对应边，进而得出DF，EF的长，进而得出答案；
(2)利用相似三角形的判定方法得出对应边的比值，进而得出答案．
此题主要考查了相似三角形的判定以及相似变换，正确得出对应边的长是解题关键．
20.【答案】等式的基本性质
【解析】解：(1)∵ab=cd，
∴根据等式的基本性质，ad=bc，
由ab=cd，还可以得到ac=bd，ba=dc，db=ca；
故答案为：等式的基本性质；
(2)成立，
理由：由(1)得ad=bc，
∴ad-cd=bc-cd，
即d(a-c)=c(b-d)，
∴a-cb-d=cd(b-d≠0)．
(1)观察两个式子，是在原等式的左右两边同乘以bd，即可得到，是根据等式的基本性质．反过来，则需同除以bd，即可得到结果；
(2)由(1)得ad=bc，根据等式的性质，两边都减cd，得ad-cd=bc-cd，即d(a-c)=c(b-d)，所以a-cb-d=cd(b-d≠0)．
本题考查了比例的性质，会正确变形和能够说明其变形的依据是关键．
21.【答案】(1)解：如图，CD为所作；

(2)证明：延长CD到E点使DE=CD，
∵CD为AB边上的中线，
∴AD=BD，
∵CD=ED，AD=BD，
∴四边形ACBE为平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴四边形ACBE为矩形，
∴AB=CE，
∴CD=12AB．
【解析】(1)作AB的垂直平分线即可；
(2)延长CD到E点使DE=CD，先证明四边形ACBE为平行四边形，则判断四边形ACBE为矩形，所以AB=CE，从而得到CD=12AB．
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了矩形的判定与性质．
22.【答案】证明：(1)∵AE⊥BD，PE⊥EC，
∴∠AED=∠PEC=90°，
∴∠AEP=∠DEC，
∵∠EAD+∠ADE=90°，∠ADE+∠CDE=90°，
∴∠EAP=∠EDC，
∴△AEP∽△DEC；
(2)在Rt△ADE和Rt△BAE中，∠AEB=∠AED=90°，
又∵∠DAE+∠BAE=90°，
∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAE=∠ADE，
∴△AEB∽△DEA，
∴AEDE=ABAD=34，
由(1)知，△AEP∽△DEC，
∴AEDE=APCD=34，
即AP3=34，
∴AP=94．
【解析】(1)由余角的性质可得∠AEP=∠DEC，∠EAP=∠EDC，可得结论；
(2)由相似三角形的性质可得AEDE=ABAD=34，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，余角的性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．
23.【答案】(2a+2b-4)平方米
【解析】解：(1)①根据题意，两条小路的面积之和S=(2a+2b-4)平方米，
故答案为：(2a+2b-4)平方米；
②根据题意，得(a-2)(b-2)=312，
又∵a：b=2：1，
∴a=2b，
∴原方程化为(2b-2)(b-2)=312，
解得b1=-11(不符合题意，舍去)，b2=14，
∴a=2b=28(米)，
答：原来矩形场地的长为28米，宽为14米；
(2)根据题意，得(28-2n)(14-2m)=120，
整理得(14-n)(7-m)=30，
∵m，n为正整数，
∴14-n是正整数且是30的约数，7-m是正整数且是30的约数，
当14-n=5时，7-m=6，
∴n=9，m=1，
∴m+n=10；
当14-n=6时，7-m=5，
∴n=8，m=2，
∴m+n=10；
当14-n=10时，7-m=3，
∴n=4，m=4，
∴m+n=8，
综上所述，m+n=8或10．
(1)①根据两条小路的面积之和=两个长方形的面积-重叠的正方形的面积表示即可；
②根据草坪的总面积为312米 ​2，列一元二次方程，求解即可；
(2)根据草坪的总面积为120平方米，列方程求解，再进一步求出符合条件的m和n的值，即可求出m+n的值．
本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵λ=1，
∴OH=OM．
∵OH⊥AB，OM⊥BC，垂足分别为H，M，
∴∠ABO=∠CBO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD/​/BC．
∴∠ADB=∠CBD．
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AC=BD，
∵OH⊥AB，OM⊥BC，垂足分别为H，M，
∴∠OHB=∠OMB=90°，
∴四边形BMOH是矩形，
∴OM=BH，
∵AC，BD交于点O，
∴AO=12AC，BO=12BD，
∴AO=BO，
∵AB=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=BO，
∵OH⊥AB，垂足分别为H，
∴BH=12AB=12BO，
设BH=k(k>0)，则BO=2k.由勾股定理得OH=3k，
∴λ=OHOM=OHBH=3kk=3；
(3)解：设▱AQPE的对角线交点为O，过O作OH⊥AQ交AC于H，过O作OM⊥PQ交PQ于M，

设运动时间为t秒，由题意得：CQ=t，AQ=6-t，BP=t，CP=6-t，
在Rt△PCQ中，PQ2=CP2+CQ2，
∴PQ=(6-t)2+t2，
∵四边形AQPE是平行四边形，
∴S△AQO=S△PQO，
∴12AQ⋅OH=12PQ⋅OM，
∵PQ>PC=AQ，
OH>OM，
∴OHOM=PQAQ，
∵λ=10，
∴10=(6-t)2+t26-t，
化简得：3t2-32t+64=0，
∴t1=92，t2=9(舍)，
∴点P运动时间为92秒，
故答案为：92．
【解析】(1)当λ=1，利用角平分线的判定可得∠ABO=∠CBO，再利用平行线的性质可证明AB=AD，从而证明结论；
(2)由∠AOB=60°可得△AOB是等边三角形，再利用含30°角的直角三角形的性质可得OH=3BH，可得答案；
(3)设▱AQPE的对角线交点为O，过O作OH⊥AQ交AC于H，过O作OM⊥PQ交PQ于M，根据S△AQO=S△PQO，得OHOM=PQAQ，列出方程，解方程可得答案．
本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，掌握新定义，根据面积法列出方程是解决问题(3)的关键．
x
……
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
……
ax2+bx
……
12
6
2
0
0
2
6
12
……