2021-2022学年湖北省武汉市青山区八年级（上）期末数学试卷

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2021-2022学年湖北省武汉市青山区八年级（上）期末数学试卷
一、你一定能选对！（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡上，将对应的答案标号涂黑。
1．（3分）下列图书馆标志的图形中不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）要使分式1x-2有意义，则x的取值应满足（　　）
A．x≠2 B．x≠1 C．x＝2 D．x＝﹣1
3．（3分）2020年12月17日嫦娥五号返回器携带月球样品安全着陆，标志着中国航天业向前又迈出了一大步．嫦娥五号返回器在接近大气层时，飞行1m大约需要0.000 089 3s．数据0.000 089 3s用科学记数法表示为（　　）
A．8.93×10﹣5 B．893×10﹣4 C．8.93×10﹣4 D．8.93×10﹣7
4．（3分）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（　　）
A．x2+2x+3＝x（x+2）+3 B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
C．y2﹣3y﹣4＝（y﹣4）（y+1） D．m2+2m=m(m+2m)
5．（3分）下列各式中计算结果为x6的是（　　）
A．x2+x4 B．(12x3)2 C．x2•x4 D．x12÷x2
6．（3分）若一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形是（　　）
A．四边形 B．七边形 C．六边形 D．五边形
7．（3分）分式-a2-3a可变形为（　　）
A．-a3a-2 B．a3a-2 C．a3a+2 D．-a3a+2
8．（3分）在等腰△ABC中，∠A＝70°．则∠B的度数不可能为（　　）
A．40° B．50° C．55° D．70°
9．（3分）已知a+b＝5，ab＝3，则ba+ab的值为（　　）
A．133 B．163 C．193 D．253
10．（3分）如图，在△ACD中，∠CAD＝60°，以AC为底边向外作等腰△ABC，∠BAC+∠ADC＝60°，在CD上截取DE＝AB，连接BE．若∠BEC＝30°，则∠BAC的度数为（　　）

A．10° B．15° C．20° D．30°
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卷的指定位置.
11．（3分）计算30＝　 　．
12．（3分）点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标是 　 　．
13．（3分）计算：3x-1-3xx-1=　 　．
14．（3分）如图，D，E分别是AB，AC的中点，CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AC垂足为E，CD，BE交于点F，DF＝2，则BE＝　 　．

15．（3分）对于二次三项式x2+mx+n（m、n为常数），下列结论：
①若n＝36，且x2+mx+n＝（x+a）2，则a＝6；
②若m2＜4n，则无论x为何值时，x2+mx+n都是正数；
③若x2+mx+n＝（x+3）（x+a），则3m﹣n＝9；
④若n＝36，且x2+mx+n＝（x+a）（x+b），其中a、b为整数，则m可能取值有10个．
其中正确的有 　 　．（请填写序号）
16．（3分）如图，等腰△ABC的底边BC的长为6cm，面积是24cm2，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F，若D为边BC的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM周长的最小值为 　 　cm．

三、解下列各题（本大题共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形。
17．（8分）计算：
（1）（x﹣3）（x+1）；
（2）（15a2b﹣10ab2）÷5ab．
18．（8分）分解因式：
（1）x2﹣4；
（2）ax2+2a2x+a3．
19．（8分）先化简，再求值：(1-2x+1)÷x2-12x+2，其中x＝2．
20．（8分）如图，在8×7的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，如A（1，4）、B（6，4）、C（3，0）都是格点，且BC＝5．请用无刻度直尺在给定网格中画出下列图形，并保留作图痕迹．（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．
（1）过点A作AD∥BC，且AD＝BC；
（2）画△ABC的高BE，并直接写出E点坐标；
（3）在AB上找点P，使∠BCP＝45°：
（4）作点P关于AC的对称点Q．

21．（8分）如图，在等边△ABC中，点D为边BC上一点，∠ABE＝∠CAD，CF∥BE交AD的延长线于点F．
（1）求∠AEB的度数；
（2）若BE＝10，AF＝15，求AE的长．

22．（10分）某商场以m元购进一批单价为a元/件的商品，很快销售完了，由于商品畅销，商场又用m元购进第二批这种商品，但第二批商品单价上涨到b元/件．
（1）第一批购进了 　 　件商品，第二批购进了 　 　件商品，购买这两批商品的平均价格为 　 　元/件；
（2）若m＝2400，购买第二批商品的单价比第一批商品的单价上涨了20%，结果比第一批少购进10件这种商品．
①求第一批商品的购进单价；
②若第一批商品的售价为60元/件，第二批商品按照同样的售价销售一定数量后发现销量不好，将剩余的商品按照售价的九折售完．要使两批商品销售的总利润不低于1680元，求第二批商品按原销售单价至少销售多少件？
23．（10分）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△ABD为等腰三角形，AD＝AB＝BC，E为DB延长线上一点，∠BAD＝2∠CAE．
（1）若∠CAE＝20°，求∠CBE的度数；
（2）求证：∠BEC＝135°；
（3）若AE＝a，BE＝b，CE＝c．则△ABC的面积为 　 　．（用含a，b，c的式子表示）


24．（12分）已知，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0）为x轴上两点，且a，b满足：a2+6a+9+（a+b）2＝0，点C（0，3），∠ABC＝30°，D为线段AB上一动点．
（1）则a＝　 　，b＝　 　；
（2）如图1，若点D在BC的垂直平分线上，作∠ADE＝120°，交AC的延长线于点E，连接BE，求证：BE⊥x轴；
（3）如图2，作点D关于BC的对称点P，连接AP，取AP中点Q，连接CQ、CD，求CQ的最小值．



2021-2022学年湖北省武汉市青山区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、你一定能选对！（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡上，将对应的答案标号涂黑。
1．（3分）下列图书馆标志的图形中不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项正确；
C、轴对称图形，故本选项错误；
D、轴对称图形，故本选项错误；
故选：B．
2．（3分）要使分式1x-2有意义，则x的取值应满足（　　）
A．x≠2 B．x≠1 C．x＝2 D．x＝﹣1
【解答】解：由题意得，x﹣2≠0，
解得，x≠2，
故选：A．
3．（3分）2020年12月17日嫦娥五号返回器携带月球样品安全着陆，标志着中国航天业向前又迈出了一大步．嫦娥五号返回器在接近大气层时，飞行1m大约需要0.000 089 3s．数据0.000 089 3s用科学记数法表示为（　　）
A．8.93×10﹣5 B．893×10﹣4 C．8.93×10﹣4 D．8.93×10﹣7
【解答】解：0.0000893＝8.93×10﹣5．
故选：A．
4．（3分）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（　　）
A．x2+2x+3＝x（x+2）+3 B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
C．y2﹣3y﹣4＝（y﹣4）（y+1） D．m2+2m=m(m+2m)
【解答】解：A．等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D．等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
5．（3分）下列各式中计算结果为x6的是（　　）
A．x2+x4 B．(12x3)2 C．x2•x4 D．x12÷x2
【解答】解：A．x2+x4，无法合并，故此选项不合题意；
B．（12x3）2=14x6，故此选项不合题意；
C．x2•x4＝x6，故此选项符合题意；
D．x12÷x2＝x10，故此选项不合题意；
故选：C．
6．（3分）若一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形是（　　）
A．四边形 B．七边形 C．六边形 D．五边形
【解答】解：多边形的边数是：360÷72＝5．
故选：D．
7．（3分）分式-a2-3a可变形为（　　）
A．-a3a-2 B．a3a-2 C．a3a+2 D．-a3a+2
【解答】解：-a2-3a
=-a-(3a-2)
=a3a-2，
故选：B．
8．（3分）在等腰△ABC中，∠A＝70°．则∠B的度数不可能为（　　）
A．40° B．50° C．55° D．70°
【解答】解：当∠A为顶角，
∴∠B=180°-∠A2=55°；
当∠B是顶角，则∠A是底角，则∠B＝180°﹣70°﹣70°＝40°；
当∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，则∠B＝∠A＝70°，
综上所述，∠B的度数为55°或40°或70°，
故选：B．
9．（3分）已知a+b＝5，ab＝3，则ba+ab的值为（　　）
A．133 B．163 C．193 D．253
【解答】解：∵a+b＝5，
∴（a+b）2＝25，即a2+2ab+b2＝25，
∵ab＝3，
∴a2+b2＝25﹣2×3＝19，
则ba+ab=b2+a2ab=193，
故选：C．
10．（3分）如图，在△ACD中，∠CAD＝60°，以AC为底边向外作等腰△ABC，∠BAC+∠ADC＝60°，在CD上截取DE＝AB，连接BE．若∠BEC＝30°，则∠BAC的度数为（　　）

A．10° B．15° C．20° D．30°
【解答】解：如图所示，在DC的下方作∠CDT＝∠BAC，DT交AC的延长线于点T，连接ET，DB，BT

∵∠BAC+∠ADC＝60°，∠CDT＝∠BAC，
∴∠ADT＝60°，
∵∠DAT＝60°，
∴△ADT是等边三角形，
∴DT＝AT，
∵AB＝DE，
∴△BAT≌△EDT（SAS），
∴TB＝TE，∠ATB＝∠DTE，
∴∠BTE＝∠ATD＝60°，
∴△BTE是等边三角形，
∴EB＝ET，∠BET＝60°，
∵∠BEC＝30°，
∴∠TEC＝∠BEC＝30°，
∴∠DEB＝∠DET，
∵ED＝ED，
∴△DEB≌△DET（SAS），
∴∠EDB＝∠EDT，DB＝DT，
∵∠BAC＝∠CDT，
∴∠BAC＝∠EDT＝∠EDB，
∵DC＝DC，∠CDB＝∠CDT，DB＝DT，
∴△DCB≌△DCT（SAS），
∴∠CBD＝∠CTD＝60°，
∴∠CBD＝∠CAD＝60°，
∴∠ADB＝∠ACB，
∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB，
∴∠BAC＝∠ADB，
设∠BAC＝∠ADB＝x，
∵DA＝DT，DB＝DT，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠DBA＝x+60°，
∴2（x+60°）+x＝180°，
∴x＝20°，
∴∠BAC＝20°，
故选：C．
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卷的指定位置.
11．（3分）计算30＝　1　．
【解答】解：30＝1．
故答案为：1．
12．（3分）点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标是 　（2，3）　．
【解答】解：∵关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标是（2，3）．
13．（3分）计算：3x-1-3xx-1=　﹣3　．
【解答】解：原式=3-3xx-1
=-3(x-1)x-1
＝﹣3．
故答案为：﹣3．
14．（3分）如图，D，E分别是AB，AC的中点，CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AC垂足为E，CD，BE交于点F，DF＝2，则BE＝　6　．

【解答】证明：连接BC，

∵点D是AB中点且CD⊥AB于点D，
∴CD是线段AB的垂直平分线，
∴CA＝CB，
同理BA＝BC，
∴AC＝AB．
∴△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，BE＝CD，
在Rt△ABE中，∠ABE＝90°﹣∠A＝30°，
在Rt△BFD中，BF＝2DF，
∵在Rt△ADC中，∠ACD＝90°﹣∠A＝30°，
又∵∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠FBC＝∠FCB，
∴CF＝BF＝2DF＝4，
∴BE＝CD＝6，
故答案为：6．
15．（3分）对于二次三项式x2+mx+n（m、n为常数），下列结论：
①若n＝36，且x2+mx+n＝（x+a）2，则a＝6；
②若m2＜4n，则无论x为何值时，x2+mx+n都是正数；
③若x2+mx+n＝（x+3）（x+a），则3m﹣n＝9；
④若n＝36，且x2+mx+n＝（x+a）（x+b），其中a、b为整数，则m可能取值有10个．
其中正确的有 　②③④　．（请填写序号）
【解答】解：①若n＝36，且x2+mx+n＝（x+a）2，
则有x2+mx+36＝x2+2ax+a2，
∴a2＝36，
解得：a＝±6，
故①说法错误；
②∵m2＜4n，
∴Δ＝m2﹣4n＜0，
∴无论x为何值时，x2+mx+n都是正数，
故②说法正确；
③∵x2+mx+n＝（x+3）（x+a），
∴x2+mx+n＝x2+（a+3）x+3a，
则m＝a+3，n＝3a，
∴3m﹣n＝3（a+3）﹣3a＝3a+9﹣3a＝9，
故③说法正确；
④∵n＝36，且x2+mx+n＝（x+a）（x+b），
∴x2+mx+36＝x2+（a+b）x+ab，
则m＝a+b，n＝36，
∵a、b为整数，
∴相应的数对为：﹣1和﹣36，1和36，﹣2和﹣18，2和18，﹣3和﹣12，3和12，﹣4和﹣9，4和9，﹣6和﹣6，6和6，共10对，
故m的值可能有10个，
故④说法正确．
综上所述，正确的说法有：②③④．
故答案为：②③④．
16．（3分）如图，等腰△ABC的底边BC的长为6cm，面积是24cm2，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F，若D为边BC的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM周长的最小值为 　11　cm．

【解答】解：连接AD交EF于点M，连接BM，
∵EF是AB的垂直平分线，
∴AM＝BM，
∴BM+MD＝MA+MD≥AD，
此时BM+DM值最小，即△BDM周长最小，
∵D为边BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵BC＝6cm，面积是24cm2，
∴AD＝8cm，
∴△BDM周长＝BM＝MD+BD＝AD+BD＝8+3＝11cm，
故答案为：11．

三、解下列各题（本大题共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形。
17．（8分）计算：
（1）（x﹣3）（x+1）；
（2）（15a2b﹣10ab2）÷5ab．
【解答】解：（1）原式＝x2+x﹣3x﹣3
＝x2﹣2x﹣3．
（2）原式＝15a2b÷5ab﹣10ab2÷5ab
＝3a﹣2b．
18．（8分）分解因式：
（1）x2﹣4；
（2）ax2+2a2x+a3．
【解答】解：（1）原式＝x2﹣22
＝（x+2）（x﹣2）；
（2）原式＝a（x2+2ax+a2）
＝a（x+a）2．
19．（8分）先化简，再求值：(1-2x+1)÷x2-12x+2，其中x＝2．
【解答】解：原式=x+1-2x+1•2(x+1)(x+1)(x-1)
=x-1x+1•2(x+1)(x+1)(x-1)
=2x+1，
当x＝2时，原式=22+1=23．
20．（8分）如图，在8×7的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，如A（1，4）、B（6，4）、C（3，0）都是格点，且BC＝5．请用无刻度直尺在给定网格中画出下列图形，并保留作图痕迹．（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．
（1）过点A作AD∥BC，且AD＝BC；
（2）画△ABC的高BE，并直接写出E点坐标；
（3）在AB上找点P，使∠BCP＝45°：
（4）作点P关于AC的对称点Q．

【解答】解：（1）如图，线段AD即为所求；
（2）如图，线段BE即为所求；
（3）如图，点P即为所求；
（4）如图，点Q即为所求．

21．（8分）如图，在等边△ABC中，点D为边BC上一点，∠ABE＝∠CAD，CF∥BE交AD的延长线于点F．
（1）求∠AEB的度数；
（2）若BE＝10，AF＝15，求AE的长．

【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵∠ABE＝∠CAD，
∴∠CAD+∠BAE＝∠ABE+∠BAE＝∠BAC＝60°，
∴∠AEB＝120°；
（2）如图，在AF上截取FH＝FC，连接CH，

∵∠AEB＝120°，
∴∠BED＝60°，
∵BE∥CF，
∴∠BED＝∠F＝60°，
又∵FH＝FC，
∴△FCH是等边三角形，
∴CF＝CH＝FH，∠FCH＝∠FHC＝60°，
∴∠AHC＝120°＝∠AEB，
在△ABE和△CAH中，
∠ABE=∠CAD∠AEB=∠AHCAB=AC，
∴△ABE≌△CAH（AAS），
∴BE＝AH＝10，AE＝CH，
∴FH＝AF＝AH＝5＝CH＝AF．
22．（10分）某商场以m元购进一批单价为a元/件的商品，很快销售完了，由于商品畅销，商场又用m元购进第二批这种商品，但第二批商品单价上涨到b元/件．
（1）第一批购进了 　ma　件商品，第二批购进了 　mb　件商品，购买这两批商品的平均价格为 　2aba+b　元/件；
（2）若m＝2400，购买第二批商品的单价比第一批商品的单价上涨了20%，结果比第一批少购进10件这种商品．
①求第一批商品的购进单价；
②若第一批商品的售价为60元/件，第二批商品按照同样的售价销售一定数量后发现销量不好，将剩余的商品按照售价的九折售完．要使两批商品销售的总利润不低于1680元，求第二批商品按原销售单价至少销售多少件？
【解答】解：（1）由题意可得第一批购进了ma件商品，第二批购进了mb件商品，
∴购买这两批商品的平均价格为2mma+mb=2aba+b（元/件），
故答案为：ma；mb；2aba+b；
（2）①由题意得，2400a-10=24001.2a，
解得a＝40，
经检验a＝40是原方程的解，
答：第一批商品的购进单价为40元；
②设第二批商品按原销售单价销售y件，则有：
20×60+12y+6（50﹣y）≥1680，
∴y≥30，
答：第二批商品按原销售单价至少销售30件．
23．（10分）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△ABD为等腰三角形，AD＝AB＝BC，E为DB延长线上一点，∠BAD＝2∠CAE．
（1）若∠CAE＝20°，求∠CBE的度数；
（2）求证：∠BEC＝135°；
（3）若AE＝a，BE＝b，CE＝c．则△ABC的面积为 　12ac+12b2　．（用含a，b，c的式子表示）


【解答】（1）解：∵∠CAE＝20°，∠BAD＝2∠CAE，
∴∠BAD＝40°，
∵AD＝AB，
∴∠D＝∠DBA＝70°，
又∵∠ABC＝90°，
∴∠CBE＝180°﹣70°﹣90°＝20°；
（2）证明：过点A作AF⊥DE于点F，过点C作CG⊥DE于点G，

∴∠AFB＝∠ABC＝∠CGB＝90°，
又∵AD＝BC＝AB，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∠FAB=12∠DAB＝∠CAE，
∵∠FAB+∠FBA＝∠FBA+∠CBG＝90°，
∴∠FAB＝∠CBG＝∠CAE，
在△BAF和△CBG中，
∠BAF=∠CBG∠AFB=∠CGBAB=BC，
∴△BAF≌△CBG（AAS），
∴AF＝BG，BF＝CG，
∵∠CBG＝∠CAE，
∴∠AEF＝∠ACB＝45°，
∴AF＝EF＝BG，BF＝CG，
∴BF＝EG＝CG，
∴∠CEG＝∠AEF＝45°，
∴∠AEC＝90°，
∴∠BEC＝135°；
（3）解：由（2）可知CG＝BF，AF＝EF，
∴CG＝BF＝EF﹣BE＝AF﹣BE，
∵S△ABC＝S△AEB+S△AEC﹣S△BEC，
∴S△ABC=12BE⋅AF+12AE⋅EC-12BE•CG
=12BE⋅AF+12ac-12BE•（AF﹣BE）
=12ac+12b2．
故答案为：12ac+12b2．
24．（12分）已知，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0）为x轴上两点，且a，b满足：a2+6a+9+（a+b）2＝0，点C（0，3），∠ABC＝30°，D为线段AB上一动点．
（1）则a＝　﹣3　，b＝　3　；
（2）如图1，若点D在BC的垂直平分线上，作∠ADE＝120°，交AC的延长线于点E，连接BE，求证：BE⊥x轴；
（3）如图2，作点D关于BC的对称点P，连接AP，取AP中点Q，连接CQ、CD，求CQ的最小值．


【解答】解：（1）∵a2+6a+9+（a+b）2＝0，
∴（a+3）2+（a+b）2＝0，
∴a+3＝0，a+b＝0，
∴a＝﹣3，b＝3，
故答案为：﹣3，3；
（2）证明：连接CD，

∵点D在BC的垂直平分线上，
∴BD＝CD，
∴∠CBD＝∠BCD＝30°，
∵∠ADE＝120°，
∴∠BDE＝60°，
∴∠BHD＝90°，
即DE⊥BC，
∵DB＝CD，
∴DE为BC的垂直平分线，
∴CE＝EB，
∵OA＝OB，∠COB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝30°，
∴∠ACB＝120°，
∴∠BCE＝60°，
∴△BCE为等边三角形，
∴∠BCE＝∠CBE＝60°，
∴∠CBA+CBE＝∠ABE＝90°，
∴BE⊥x轴；
（3）连接DQ，延长到F，使QF＝QD，连接AF，FC，CD，

∵∠ABC＝30°，点D，P关于BC的对称，
∴∠ABC＝∠PBC＝30°，BD＝BP，
∴∠PBD＝60°，
∴△PDB为等边三角形，
在△DPQ和△FAQ中，
DQ=FQ∠DQP=∠FQAQP=AQ，
∴△DPQ≌△FAQ（SAS），
∴DP＝FA，∠DPQ＝∠FAQ，
∴DP∥AF，AF＝BD，
∴∠FAD＝∠PDB＝60°，
∵∠CAB＝30°，
∴∠FAC＝30°，
在△CAF和△CBD中，
CA=CB∠CAF=∠CBDAF=BD，
∴△CAF≌△CBD（SAS），
∴CF＝CD，∠ACF＝∠BCD，
∴∠DCF＝120°，
∵DQ＝FQ，DC＝FC，
∴∠CDF＝30°，∠CQD＝90°，
∴CQ=12CD，
∴当CD取最小值时，CQ最小，
根据垂线段最短，CD与CO重合时，最小值为3，
∴CQ的最小值为32．