2021-2022学年湖北省武汉外国语学校八年级（上）期末数学模拟练习试卷

这是一份2021-2022学年湖北省武汉外国语学校八年级（上）期末数学模拟练习试卷，共21页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年湖北省武汉外国语学校八年级（上）期末数学模拟练习试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的字母代号涂黑。
1．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a5 B．a3÷a3＝a C．（a2）3＝a5 D．（3a2）3＝9a6
3．（3分）某种细胞的直径是0.00000095米，将0.00000095米用科学记数法表示为（　　）
A．9.5×10﹣7 B．9.5×10﹣8 C．0.95×10﹣7 D．95×10﹣8
4．（3分）分式12x-2与11-x的最简公分母是（　　）
A．x﹣1 B．x2﹣1 C．2（x﹣1） D．2（x﹣1）2
5．（3分）下列因式分解结果正确的是（　　）
A．﹣x3+4x＝﹣x（x2﹣4） B．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y）
C．﹣x2﹣2x﹣1＝﹣x（x+2）﹣1 D．x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）
6．（3分）下列各式中，正确的是（　　）
A．1-2nm-2n=1m B．m+3m2-9=1m+3
C．m+1m-1=m2-1(m-1)2 D．-1+nm=-1+nm
7．（3分）已知n是正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
8．（3分）施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是（　　）
A．2000x-2000x+50=2 B．2000x+50-2000x=2
C．2000x-2000x-50=2 D．2000x-50-2000x=2
9．（3分）在下面的正方形分割方案中，可以验证（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab的图形是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点，则下列结论中正确的有（　　）个
①∠AMD＝45°；②NE﹣EM＝MC；③EM：MC：NE＝1：2：3；④S△ACD＝2S△DNE．

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）要使分式21-x有意义，则x应满足的条件是　 　．
12．（3分）计算（x+y）（x﹣y）+16＝　 　．
13．（3分）已知x2﹣2x+y2+4y+5＝0，则x+y＝　 　．
14．（3分）已知长方形金鱼池的面积为1平方米，周长为6米，以长方形鱼池相邻两边向外作正方形的小花园，则两个正方形小花园面积之和是 　 　平方米．

15．（3分）某次列车平均提速akm/h，用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶30km，提速前列车的平均速度＝　 　km/h．
16．（3分）如图，∠ABC＝60°，点E在射线BC上，且BE＝5，点D在射线AB上移动，在∠ABC内部找一点F，使FD＝FE＝ED，则EF取最小值的时候，BD＝　 　．

三、解答题（一共8大题，总分72分）
17．（8分）解方程5x=7x-2．
18．（8分）因式分解：
（1）ax2﹣a；
（2）6xy2﹣9x2y﹣y3．
19．（8分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．求证：AD是△ABC的角平分线．

20．（8分）（1）计算：[3a3•a3+（﹣3a3）2]÷（﹣2a﹣2）3；
（2）先化简，再求值：（a2a-1-a﹣1）÷a-a2a2-2a+1，其中a＝2．
21．（8分）如图，在5×5的正方形网格中，请仅用无刻度直尺完成下列画图问题（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．
（1）在图1中，画出线段AB的中点M．
（2）在图2中，线段AC与水平网格线相交于D、E两点，在直线l上画一点P，连接PD和PE，使得PD+PE最小．
（3）在图3中的直线l上画一点F，使∠CAF＝45°．
（4）在图4中，线段AC与水平网格线相交于D点，过D点画DH⊥AG于H点．

22．（10分）武汉市某一工程，若甲工程队单独施工，刚好如期完成；若乙工程队单独施工，要比甲工程队多用16天才能完工．若甲、乙两队合作8天，余下的工程由乙队单独做也正好能如期完成．
（1）甲、乙两队单独完成该工程各需多少天？
（2）若甲队施工一天，工程款为1.2万元；乙队施工一天，工程款为0.5万元．
①若甲队单独完成这项工程，总工程款为 　 　万元；若甲、乙两队合作8天，余下的工程由乙队单独完成，总工程款为 　 　万元．
②实际施工中，甲、乙两队合作m天后，余下的工程乙队单独又做了n天完成．已知整个工期小于15天，总工程款不超过18.2万元，求m和n的值．（m、n均为正整数）
23．（10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E两点在直线BC上（点D在点E的左侧）．
（1）如图1，若BD＝CE，∠BAD＝15°，求证：△ADE为等边三角形；
（2）如图2，若∠ADE＝30°，∠AEC＝75°，求证：BD＝BE；
（3）如图3，若∠ADE＝15°，∠DAE＝135°，求证：BD＝BE．

24．（12分）如图1，已知A（0，a），B（2a，0），且|a|-4a2+8a+16的值为0．
（1）求A，B的坐标；
（2）若C点与B点关于y轴对称，M点在二象限，AM⊥AC且AM＝AC，若D（0，20），请判定DM与AB的关系，并证明．
（3）如图2，若C点与B点关于y轴对称，点G在二象限，作∠CGE＝2∠ABC且EG＝CG，连接BE，点F为BE的中点，请判定GF与AF的位置关系，并证明．


2021-2022学年湖北省武汉外国语学校八年级（上）期末数学模拟练习试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的字母代号涂黑。
1．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：“美”能找到这样的一条直线，使其沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，可以看作是轴对称图形，
“丽”、“经”、“开”不能找到这样的一条直线，使其沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，不可以看作是轴对称图形，
故选：A．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a5 B．a3÷a3＝a C．（a2）3＝a5 D．（3a2）3＝9a6
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故A符合题意；
B、a3÷a3＝1，故B不符合题意；
C、（a2）3＝a6，故C不符合题意；
D、（3a2）3＝27a6，故D不符合题意；
故选：A．
3．（3分）某种细胞的直径是0.00000095米，将0.00000095米用科学记数法表示为（　　）
A．9.5×10﹣7 B．9.5×10﹣8 C．0.95×10﹣7 D．95×10﹣8
【解答】解：0.00000095＝9.5×10﹣7，
故选：A．
4．（3分）分式12x-2与11-x的最简公分母是（　　）
A．x﹣1 B．x2﹣1 C．2（x﹣1） D．2（x﹣1）2
【解答】解：∵2x﹣2＝2（x﹣1），
∴12x-2与11-x的最简公分母是2（x﹣1），
故选：C．
5．（3分）下列因式分解结果正确的是（　　）
A．﹣x3+4x＝﹣x（x2﹣4） B．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y）
C．﹣x2﹣2x﹣1＝﹣x（x+2）﹣1 D．x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）
【解答】解：A．﹣x3+4x＝﹣x（x2﹣4）＝﹣x（x+2）（x﹣2），故A不符合题意；
B．x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），故B不符合题意；
C．﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2，故C不符合题意；
D．x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3），故D符合题意；
故选：D．
6．（3分）下列各式中，正确的是（　　）
A．1-2nm-2n=1m B．m+3m2-9=1m+3
C．m+1m-1=m2-1(m-1)2 D．-1+nm=-1+nm
【解答】解：A选项，1-2nm-2n是最简分式，故该选项不符合题意；
B选项，m+3m2-9=m+3(m+3)(m-3)=1m-3，故该选项不符合题意；
C选项，m+1m-1=(m+1)(m-1)(m-1)2=m2-1(m-1)2，故该选项符合题意；
D选项，-1+nm=-1-nm，故该选项不符合题意；
故选：C．
7．（3分）已知n是正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【解答】解：由三角形三边关系可得，
n+2+n+8＞3nn+2+3n＞n+8n+8+3n＞n+2，
解得2＜n＜10，
∴正整数n有7个：3，4，5，6，7，8，9．
故选：D．
8．（3分）施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是（　　）
A．2000x-2000x+50=2 B．2000x+50-2000x=2
C．2000x-2000x-50=2 D．2000x-50-2000x=2
【解答】解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+50）米，
根据题意，可列方程：2000x-2000x+50=2，
故选：A．
9．（3分）在下面的正方形分割方案中，可以验证（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab的图形是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵由选项A可得a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
∴选项A不符合题意；
∵由选项B可得（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴选项B不符合题意；
∵由选项C可得（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．
∴选项C不符合题意；
∵由选项D可得（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
∴选项D符合题意；
故选：D．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点，则下列结论中正确的有（　　）个
①∠AMD＝45°；②NE﹣EM＝MC；③EM：MC：NE＝1：2：3；④S△ACD＝2S△DNE．

A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝∠ADC＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴BD＝CD，
∵BM⊥AC，
∴∠AMB＝∠ADC＝90°，
∴∠A+∠DBN＝90°，
∠A+∠DCM＝90°，
∴∠DBN＝∠DCM，
∵DN⊥MD，
∴∠CDM+∠CDN＝90°，
∵∠CDN+∠BDN＝90°，
∴∠CDM＝∠BDN，
∵∠DBN＝∠DCM，BD＝CD，∠CDM＝∠BDN，
∴△BDN≌△CDM（ASA），
∴DN＝DM，
∵∠MDN＝90°，
∴△DMN是等腰直角三角形，
∴∠DMN＝45°，
∴∠AMD＝90°﹣45°＝45°，
故①正确；
②由①知，DN＝DM，
过点D作DF⊥MN于F，

则∠DFE＝90°＝∠CME，
∵DN⊥MD，
∴DF＝FN，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△DEF与△CEM中，
∠DEF=∠CEM∠DFE=∠CMEDE=CE，
∴△DEF≌△CEM（AAS），
∴ME＝EF，CM＝DF，
∴FN＝CM，
∵NE﹣EF＝FN，
∴NE﹣EM＝MC，
故②正确；
③由ME＝EF，MF＝NF，
设EF＝x，则EM＝x，MC＝MF＝DF＝2x，NE＝3x，
∴EM：MC：NE＝1：2：3，
故③正确；
④如图，∵CD⊥AB，
∴∠BDE＝∠CDA＝90°，
由①知，∠DBN＝∠DCM，BD＝CD，
∴△BED≌△CAD（ASA），
∴S△BED＝S△CAD，
由①知，△BDN≌△CDM，
∴BN＝CM，
∵CM＝FN，
∴BN＝FN，
∴BN＜NE，
∴S△BDN＜S△DEN，
∴S△BED＜2S△DNE，
∴S△ACD＜2S△DNE，
故④错误，
∴正确的有3个，
故选：C．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）要使分式21-x有意义，则x应满足的条件是　x≠1　．
【解答】解：由题意得1﹣x≠0，
则x≠1，
故答案为：x≠1．
12．（3分）计算（x+y）（x﹣y）+16＝　x2﹣y2+16　．
【解答】解：（x+y）（x﹣y）+16
＝x2﹣y2+16．
故答案为：x2﹣y2+16．
13．（3分）已知x2﹣2x+y2+4y+5＝0，则x+y＝　﹣1　．
【解答】解：已知等式整理得：
（x2﹣2x+1）+（y2+4y+4）＝0，
即（x﹣1）2+（y+2）2＝0，
∵（x﹣1）2≥0，（y+2）2≥0，
∴x﹣1＝0，y+2＝0，
解得：x＝1，y＝﹣2，
则x+y＝1﹣2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．（3分）已知长方形金鱼池的面积为1平方米，周长为6米，以长方形鱼池相邻两边向外作正方形的小花园，则两个正方形小花园面积之和是 　7　平方米．

【解答】解：设金鱼池的边长各为a米和b米，得ab＝1，a+b＝3，
由完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2得，
a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×1＝9﹣2＝7，
故答案为：7．
15．（3分）某次列车平均提速akm/h，用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶30km，提速前列车的平均速度＝　sa30　km/h．
【解答】解：依题意得：提速前列车的平均速度为：s30a=sa30（km/h），
故答案为：sa30．
16．（3分）如图，∠ABC＝60°，点E在射线BC上，且BE＝5，点D在射线AB上移动，在∠ABC内部找一点F，使FD＝FE＝ED，则EF取最小值的时候，BD＝　2.5　．

【解答】解：∵FD＝FE＝ED，
∴EF取最小值时，DE取得最小值，
如图，过点E作ED'⊥AB于点D'，则∠BD'E＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BED'＝30°，
∵BE＝5，
∴BD'=12BE=12×5＝2.5，
∴EF取得最小值时，BD的长为2.5，
故答案为：2.5．

三、解答题（一共8大题，总分72分）
17．（8分）解方程5x=7x-2．
【解答】解：去分母得：5（x﹣2）＝7x，
去括号得：5x﹣10＝7x，
解得：x＝﹣5，
经检验x＝﹣5是分式方程的解．
18．（8分）因式分解：
（1）ax2﹣a；
（2）6xy2﹣9x2y﹣y3．
【解答】解：（1）原式＝a（x2﹣1）
＝a（x+1）（x﹣1）；
（2）原式＝﹣y（9x2﹣6xy+y2）
＝﹣y（3x﹣y）2．
19．（8分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．求证：AD是△ABC的角平分线．

【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴Rt△BDE和Rt△CDF是直角三角形．
BD=DCBE=CF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD＝AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴∠DAE＝∠DAF，
∴AD是△ABC的角平分线．

20．（8分）（1）计算：[3a3•a3+（﹣3a3）2]÷（﹣2a﹣2）3；
（2）先化简，再求值：（a2a-1-a﹣1）÷a-a2a2-2a+1，其中a＝2．
【解答】解：（1）原式＝（3a6+9a6）÷（﹣8a﹣6）
＝12a6÷（﹣8a﹣6）
=-32a12；
（2）原式＝（a2a-1-a2-1a-1）÷-a(a-1)(a-1)2
=1a-1•a-1-a
=-1a，
当a＝2时，
原式=-12．
21．（8分）如图，在5×5的正方形网格中，请仅用无刻度直尺完成下列画图问题（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．
（1）在图1中，画出线段AB的中点M．
（2）在图2中，线段AC与水平网格线相交于D、E两点，在直线l上画一点P，连接PD和PE，使得PD+PE最小．
（3）在图3中的直线l上画一点F，使∠CAF＝45°．
（4）在图4中，线段AC与水平网格线相交于D点，过D点画DH⊥AG于H点．

【解答】解：（1）如图1中，点M即为所求；
（2）如图2中，点P即为所求；

（3）如图3中，点F即为所求；
（4）如图4中，直线DH即为所求．

22．（10分）武汉市某一工程，若甲工程队单独施工，刚好如期完成；若乙工程队单独施工，要比甲工程队多用16天才能完工．若甲、乙两队合作8天，余下的工程由乙队单独做也正好能如期完成．
（1）甲、乙两队单独完成该工程各需多少天？
（2）若甲队施工一天，工程款为1.2万元；乙队施工一天，工程款为0.5万元．
①若甲队单独完成这项工程，总工程款为 　19.2　万元；若甲、乙两队合作8天，余下的工程由乙队单独完成，总工程款为 　25.6　万元．
②实际施工中，甲、乙两队合作m天后，余下的工程乙队单独又做了n天完成．已知整个工期小于15天，总工程款不超过18.2万元，求m和n的值．（m、n均为正整数）
【解答】解：（1）设甲队单独完成该工程需x天，则乙队单独完成该工程需（x+16）天，
由题意得：8x+xx+16=1，
解得：x＝16，
经检验，x＝16是原方程的解，且符合题意，
则x+16＝32，
答：甲队单独完成该工程需16天，则乙队单独完成该工程需32天；
（2）①若甲队单独完成这项工程，总工程款为1.2×16＝19.2（万元）；
若甲、乙两队合作8天，余下的工程由乙队单独完成，总工程款为1.2×8+0.5×16＝17.6（万元），
故答案为：19.2；17.6；
②由题意得：m16+m+n32=1，
∴3m+n＝32，
∵m+n＜15，m、n均为正整数，
∴m=10n=2或m=9n=5，
∵1.2m+0.5（m+n）≤18.2，
∴17m+5n≤182，
∴m=10n=2与m=9n=5均符合，
∴m=10n=2或m=9n=5．
23．（10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E两点在直线BC上（点D在点E的左侧）．
（1）如图1，若BD＝CE，∠BAD＝15°，求证：△ADE为等边三角形；
（2）如图2，若∠ADE＝30°，∠AEC＝75°，求证：BD＝BE；
（3）如图3，若∠ADE＝15°，∠DAE＝135°，求证：BD＝BE．

【解答】证明：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵∠BAD＝15°，
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝60°，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠B=∠CBD=CE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，
∴△ADE为等边三角形；
（2）过E作EM⊥AB于M，作EN⊥AD于N，如图：

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝45°，
∵EM⊥AB，
∴△BEM是等腰直角三角形，
设BM＝EM＝a，则BE=2a，
∵∠AEC＝75°，∠ABC＝45°，∠ADE＝30°，
∴∠MAE＝∠AEC﹣∠ABC＝30°，∠NAE＝∠AEC﹣∠ADE＝45°，
∴在Rt△AEM中，AE＝2EM＝2a，
∴在Rt△ANE中，NE=AE2=2a，
在Rt△DNE中，∠ADE＝30°
∴DE＝2NE＝22a，
∴BD＝DE﹣BE=2a，
∴BD＝BE；
（3）过D作DP⊥AB交AB延长线于P，过A作AQ⊥BC于Q，如图：

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝45°＝∠DBP，
∵DP⊥AB，
∴△DBP是等腰直角三角形，
设DP＝BP＝b，则BD=2b，
∵∠ADE＝15°，
∴∠DAP＝∠ABC﹣∠ADE＝30°，
在Rt△ADP中，
AD＝2DP＝2b，AP=AD2-DP2=3b，
∴AB＝AP﹣BP＝（3-1）b，
∵AQ⊥BC，
∴△ABQ是等腰直角三角形，
∴AQ＝BQ=AB2=(3-1)b2=6-22b，
∵∠ADE＝15°，∠DAE＝135°，
∴∠E＝30°，
在Rt△AEQ中，
AE＝2AQ＝（6-2）b，QE=AE2-AQ2=32-62b，
∴BE＝BQ+QE=6-22b+32-62b=2b，
∴BD＝BE．
24．（12分）如图1，已知A（0，a），B（2a，0），且|a|-4a2+8a+16的值为0．
（1）求A，B的坐标；
（2）若C点与B点关于y轴对称，M点在二象限，AM⊥AC且AM＝AC，若D（0，20），请判定DM与AB的关系，并证明．
（3）如图2，若C点与B点关于y轴对称，点G在二象限，作∠CGE＝2∠ABC且EG＝CG，连接BE，点F为BE的中点，请判定GF与AF的位置关系，并证明．

【解答】解：（1）由题意得，
|a|-4=0a2+8a+16≠0，
∴a＝4，
∴A（0，4），B（8，0）；
（2）如图1，


DM⊥AB，理由如下：
∵C点与B点关于y轴对称，
∴OC＝OB＝8，
∵OA⊥BC，
∴AC＝BC，
∴∠ACB＝ABC，
作ME⊥AD于E，DM和BA交于点E，
∴∠AOC＝∠AEM＝90°，
∴∠OAC+∠ACO＝90°，
∵AM⊥AC，
∴∠CAM＝90°，
∴∠OAC+∠MAE＝90°，
∴∠ACO＝∠MAE，
∵AM＝AC，
∴△AOC≌△MEA（AAS），
∴AE＝OC＝8，
∴OE＝AE+OA＝12，
∵OD＝20，
∴DE＝OD﹣OE＝20﹣12＝8，
∴DE＝AE，
∴DM＝AM
∴∠MDA＝∠EAM，
∴∠MDA＝∠ABC，
∵∠DAN＝∠BAO，
∴∠AND＝∠AOB＝90°，
∴DM⊥AB；
（3）如图2，

GF⊥AF，理由如下：
延长GF至H，使FH＝FG，连接BH，AH，AG，EG交BC记作V点，
∵F是EB的中点，
∴EF＝BF，
∵∠EFG＝∠BFH，
∴△EFG≌△BFH（SAS），
∴BH＝EG，∠E＝∠FBH，
∴EG∥BH，
∴∠BHO＝∠GVC，
∵∠GCB＝∠GVC+∠CGE，∠CGE＝2∠ABC＝2∠ACB，
∴∠ACG＝∠GCB﹣∠ACB＝∠GVC+∠CGE﹣∠ACB＝∠GVC+2∠ACB﹣∠ACB＝∠GVC+∠ACB，
∵∠ABH＝∠BHO+∠ABC＝∠GVC+∠ACB，
∴∠ACG＝∠ABH，
∵EG＝CG，BH＝EG，
∴BH＝CG，
∵AC＝AB，
∴△ACG≌△ABH（SAS），
∴AG＝AH，
∴GF⊥AF．