高一数学上学期期中期末考试精选50题压轴解析版

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期中解答题精选50题（压轴版）

一、解答题
1．（2017·黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学高一期中）已知函数在定义域上为增函数，且满足,.
(1) 求的值;
(2) 解不等式.
【答案】（1） （2）.
【详解】（1）
（2）
而函数f(x)是定义在上为增函数
即原不等式的解集为
2．（2019·哈尔滨市阿城区龙涤中学校高一期中）函数f(x)对任意的m，，都有，并且时，恒有
(1)求证：f(x)在R上是增函数
(2)若，解不等式
【答案】（1）证明见解析（2）不等式的解集为:.
【分析】(1)利用=和增函数的定义证明;
(2)先通过赋值法得到,再根据(1)的增函数可解得不等式的解集.
【详解】(1)证明:任取,则
=
=,
因为,所以,
因为时，恒有,
所以,所以,
所以,
所以,
根据增函数的定义可知, f(x)在R上是增函数.
(2)在中,令得,
即,
在中,令得,
即,
所以,
又,所以 ,所以,
所以等价于,
因为函数在上是增函数,
所以,即,
所以,
所以,
所以不等式的解集为:.
【点睛】本题考查了用定义证明增函数,利用增函数的性质解不等式,属于中档题.
3．（2019·安徽蚌埠市·高一期中）已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求a，b的值；
（2）判断函数的单调性，并用定义证明；
（3）当时，恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】（1），；（2）单调递减，见解析；（3）
【分析】（1）根据得到，根据计算得到，得到答案.
（2）化简得到，，计算，得到是减函数.
（3）化简得到，参数分离，求函数的最小值得到答案.
【详解】（1）因为在定义域R上是奇函数.所以，
即，所以．又由，即，
所以，检验知，当，时，原函数是奇函数.
（2）在上单调递减.证明：由（1）知，
任取，设，则，
因为函数在上是增函数，且，所以，又，
所以，即，
所以函数在R上单调递减.
（3）因为是奇函数，从而不等式等价于，
因为在上是减函数，由上式推得，
即对一切有恒成立，设，
令，
则有，，所以，
所以，即的取值范围为.
【点睛】本题考查了函数解析式，单调性，恒成立问题，将恒成立问题通过参数分离转化为最值问题是解题的关键.
4．（2020·河北正定中学高一期中）已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求的值；
（2）判断函数的单调性，并用定义证明；
（3）当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1) (2) 减函数，证明见解析；(3) ．
【分析】（1）利用奇函数的性质令，求解即可．
（2）利用函数的单调性的定义证明即可．
（3）利用函数是奇函数以及函数的单调性转化不等式为代数形式的不等式，求解即可．
【详解】（1）∵在定义域上是奇函数，
所以，即，∴，
经检验，当时，原函数是奇函数．
（2）在上是减函数，证明如下：
由（1）知，
任取，设，
则，
∵函数在上是增函数，且，
∴，又，
∴，即，
∴函数在上是减函数．
（3）因是奇函数，从而不等式等价于，
由（2）知在上是减函数，由上式推得，
即对任意，有恒成立，
由，
令，，则可设，，
∴，
∴，即的取值范围为．
【点睛】本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，考查函数与方程的思想，是中档题．
5．（2019·安徽省肥东县第二中学高一期中）已知定义域为的函数，是奇函数.
（1）求，的值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先由求出，然后由求出
（2）由得在上为减函数，然后将不等式化为即可.
【详解】（1）因为是上的奇函数，
所以，即，解得.
从而有.又由知，解得.
经检验，当时，，满足题意
（2）由（1）知，
由上式易知在上为减函数，又因为是奇函数，从而不等式等价于.
因为是上的减函数，由上式推得.
即对一切有，从而，解得.
【点睛】本题主要考查的是利用函数的奇偶性和单调性解不等式，较为典型.
6．（2020·盘州市第六中学）已知定义域为的函数满足.
（1）若，求；又若，求.
（2）设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析式.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）首先可根据得出，然后带入，即可求出的值，最后采用同样的方法即可求出的值；
（2）本题首先可根据得出，然后令，通过计算得出或，最后对、分别进行检验，即可得出结果.
【详解】（1）因为，
所以，
因为，所以，即，
因为，，
所以，
（2）因为，有且仅有一个实数使，
所以对于任意的，有，
令，则，即，解得或，
若，则，即，
但方程有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故，
若，则，即，
此时有且仅有一个实数根，
综上所述，函数的解析式为.
【点睛】本题考查函数值的求法以及函数解析式的求法，考查了函数的赋值法的应用，赋值法主要应用于抽象函数的解析式或者函数解析式比较复杂的函数，能够很好的解决函数求值的问题，考查计算能力，是中档题.
7．（2019·福建福州市·高一期中）设函数f（x）＝x2﹣3x
（1）若不等式f（x）≥m对任意x∈[0，1]恒成立，求实数的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当m取最大值时，设x＞0，y＞0且2x+4y+m＝0，求的最小值.
【答案】(1) m≤﹣2;(2) 3+2.
【分析】（1）分析函数f（x）＝x2﹣3x在[0，1]上的单调性，进而求出函数的最小值，可得实数m的取值范围；
（2）由（1）得：m＝﹣2，即x+2y＝1，利用基本不等式，可得的最小值．
【详解】解：（1）函数f（x）＝x2﹣3x的图象是开口朝上，且以直线x为对称轴的抛物线，
故函数f（x）＝x2﹣3x在[0，1]上单调递减，
当x＝1时，函数取最小值﹣2，
若不等式f（x）≥m对任意x∈[0，1]恒成立，
则m≤﹣2；
（2）由（1）得：m＝﹣2，
即2x+4y＝2，即x+2y＝1
由x＞0，y＞0
故（）（x+2y）＝33+23+2
即的最小值为3+2．
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．
8．（2020·江苏南京市·）设函数.
（1）证明函数在区间上是增函数；
（2）设函数，其中，若对任意的，，都有，试求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）利用定义即可证明；
（2）先求出当时，的最小值，再根据题意得到对任意的，都有，利用分离参数法即可求解.
【详解】解：（1）对于任意的，



.

当时，，，从而，
即，即，
因此，函数在区间上是增函数.
（2）由（1）知，在区间上是增函数，
当时，的最小值是，
对任意的，，都有，
等价于对任意的，都有，
即，即.
同（1）可证函数在区间上单调递增，
从而当时，取得最大值，
，
的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是把，，都有转化为 ，再利用分离参数法求解.
9．（2020·上海市行知中学高一期中）若函数在定义域内的某个区间上是增函数，而在区间上是减函数，则称函数在区间上是“弱增函数”.
（1）分别判断，在区间上是否是“弱增函数”（不必证明）；
（2）若函数（、是常数）在区间上是“弱增函数”，求、应满足的条件；
（3）已知（是常数且），若存在区间使得在区间上是“弱增函数”，求的取值范围.
【答案】（1）不是“弱增函数”， 不 是上的“弱增函数”；（2），；（3）.
【分析】（1）根据定义可判断不是“弱增函数”，而是上的“弱增函数.
（2）根据定义和双勾函数的单调性可得、应满足的条件.
（3）先去掉中的绝对值符号，再根据定义和反比例函数的单调性可得的取值范围.
【详解】（1）因为是增函数，所以不是“弱增函数”，
因为在上单调递增，
而在上单调递减，在上单调递增，
所以不是上的 “弱增函数”；
（2）由题意得在区间上是增函数，
且在区间上是减函数，
所以，，所以，.
（3）先对去绝对值，，
设在区间上是“弱增函数”，
并设，
若，取，则在区间上也为弱增函数，
故为增函数，为减函数，
所以，无解；
若，取，则在区间上也为弱增函数，
故为增函数，为减函数，
所以，解得；
若，取，则在区间上也为弱增函数，
所以为增函数，
为减函数，所以，解得；
若，取，则在区间上也为弱增函数，
所以为增函数，
为减函数，所以，解得；
综上所述，的取值范围是.
【点睛】方法点睛：对于函数新定义问题，需根据给出的定义验证，这需要结合常见函数的单调性（如二次函数、反比例函数、双勾函数等），如果函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号后再讨论.
10．（2020·江苏省南京市第十二中学高一期中）已知，
（1）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；
（2）若，函数在区间上最大值不超过最小值的2倍，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1）化简方程，根据二次方程的性质求解即可;
(2)先求出函数的最大值和最小值，然后根据已知最值的关系建立不等式，整理化简建立新函数，求出新函数的单调性，利用恒成立思想即可求解．
【详解】（1）方程，即方程，其中，
整理得到，
显然不是方程的根，
所以方程在上只有一解，
当即时，符合题意；
当即时，，解得，所以；
（2）函数在上单调递减，
而，，
所以函数在上单调递减，
所以在上，的最大值为，最小值为，
由题意得，，恒成立，
即，恒成立，下面来说明的单调性，
，且，则
，
因为，
所以，，，
所以，即在上单调递减，
所以只需的最大值即，解得.
【点睛】关键点点睛：首先由二次函数的单调性求出函数在区间上最值，
转化为恒成立，利用单调性求新函数的最大值即可，本题的关键在于利用单调性求最值.
11．（2020·深圳科学高中高一期中）设函数．
（1）当时，求函数的单调递减区间；
（2）若函数在R上单调递增，求a的取值范围；
（3）若对，不等式恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）去掉绝对值符号后根据一次函数、二次函数的单调性可得所求的单调减区间.
（2）去掉绝对值符号可得，根据函数在R上单调递增可得关于的不等式组，从而可得其取值范围.
（3）等价于 且恒成立，前者可分类讨论，后者可结合一次函数的图象和性质，两者结合可得a的取值范围.
【详解】（1）时，，
故在上为增函数，在上为减函数，在为增函数，
故函数的单调递减区间为.
（2），
因为函数在R上单调递增，故 ，
解得.
（3）等价于 且恒成立，
先考虑恒成立，则，故.
再考虑恒成立，
又，故，
故，解得，
综上，的取值范围为.
【点睛】方法点睛：对于含绝对值符号的函数，可先去掉绝对值符号，从而把问题题转化为常见的一次函数、二次函数在给定范围上的恒成立问题，注意先讨论简单的一次函数的性质，从而参数的初步范围后再讨论二次函数的性质.
12．（2020·重庆）已知定理：“若a，b为常数，满足，则函数的图象关于点中心对称”，设函数，定义域为A.
（1）试证明的图象关于点成中心对称；
（2）当时，求证：.
（3）对于给定的，设计构造过程：.如果，构造过程将继续下去；如果，构造过程将停止.若对任意，构造过程可以无限进行下去，求a的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【分析】（1）根据定义证明即可；
（2）先证明函数在给定区间上的单调性，再求其值域；
（3）因为构造过程可以无限进行下去，所以对任意的恒成立，将问题转化为方程无解再进行求解即可.
【详解】（1）因为，
所以，
即
由已知得的图象关于点成中心对称，
（2）先证明在单调递增，只需要证明在上单调递增，
设任意的且，
所以，
所以在上单调递增，因为，
所以在单调递增，
所以的最大值为，
所以，
（3）因为构造过程可以无限进行下去，所以对任意的恒成立，所以无解，即无解或有唯一解，
所以或解得：
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是理解函数有关对称中心的定义，利用函数单调性的定义证明函数在上单调递增，所以在单调递增，可证，第三问由已知可得对任意的恒成立，所以无解等价于无解或有唯一解，即或即可求.
13．（2020·山东烟台·）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是．给定函数．
（1）求函数图象的对称中心；
（2）判断在区间上的单调性（只写出结论即可）；
（3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）在区间上为增函数；（3）.
【分析】（1）根据题意可知，若函数关于点中心对称，则，
然后利用得出与，代入上式求解；
（2）因为函数及函数在上递增，所以函数在上递增；
（3）根据题意可知，若对任意，总存在，使得，则只需使函数在上的值域为在上的值域的子集，然后分类讨论求解函数的值域与函数的值域，根据集合间的包含关求解参数的取值范围．
【详解】解：（1）设函数图象的对称中心为，则．
即，
整理得，
于是，解得．
所以的对称中心为；
（2）函数在上为增函数；
（3）由已知，值域为值域的子集．
由（2）知在上单增，所以的值域为．
于是原问题转化为在上的值域．
①当，即时，在单增，注意到的图象恒过对称中心，可知在上亦单增，所以在上单增，又，，所以．
因为，所以，解得．
②当，即时，在单减，单增，
又过对称中心，所以在单增，单减；
此时．
欲使，
只需且
解不等式得，又，此时．
③当，即时，在单减，在上亦单减，
由对称性，知在上单减，于是．
因为，所以,解得．
综上，实数的取值范围为．
【点睛】本题考查函数的对称中心及对称性的运用，难点在于（3）的求解，解答时应注意以下几点：
（1）注意划归与转化思想的运用，将问题转化为两个函数值域之间的包含问题求解；
（2）注意分类讨论思想的运用，结合对称性，分析讨论函数的单调性及最值是关键．
14．（2020·青岛市黄岛区教育发展研究中心高一期中）已知函数.
（1）直接写出在上的单调区间（无需证明）；
（2）求在上的最大值；
（3）设函数的定义域为，若存在区间，满足：，，使得，则称区间为的“区间”.已知（），若是函数的“区间”，求的最大值.
【答案】（1）在区间上单调递减，在区间上单调递增；（2）答案见解析；
（3）1.
【分析】（1）根据解析式可直接得出；
（2）讨论的范围根据函数的单调性可求出；
（3）分和两种情况根据“区间”的定义讨论求解.
【详解】（1）在区间上单调递减，在区间上单调递增；
（2）由题意知，，
①若，则在上单调递减，所以的最大值为；
②若，则在上单调递减，在上单调递增，
因此此时，所以的最大值为；
③若，则在上单调递减，在上单调递增，
因此此时，所以的最大值为；
综上知：若，则的最大值为；若，则的最大值为；
（3）由（1）（2）知：
①当时，在上的值域为，
在上的值域为，
因为，所以，
满足，，使得，
所以此时是的“区间”；
②当时，在上得到值域为，
在上的值域为，
因为当时，，
所以，使得，
即，，，
所以此时不是的“区间”；
故所求的最大值为1.
【点睛】关键点睛：正确理解“区间”的定义并根据函数特点讨论的范围是解决本题的关键.
15．（2020·北京101中学）已知是定义在R上的单调递减函数，对任意实数m，n都有=．函数．定义在R上的单调递增函数的图象经过点A（0,0）和点B(2,2)．
（1）判断函数的奇偶性并证明；
（2）若，使得