重庆市巴蜀中学2023届高二上数学期中考试数学试题及参考答案

这是一份重庆市巴蜀中学2023届高二上数学期中考试数学试题及参考答案，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年第一学期期中考高二年级数学科试卷参考答案及评分标准一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.12345678ADDABBCD8．【解析】由题意可知，因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数，，使，所以，所以，所以，所以.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9101112ADBCACDABD12．【解析】A选项：连接，由正方体可得，且平面，又平面，则，因为，所以平面，又平面，故；同理，连接，易证得，因为，所以平面，故A正确；B选项：，因为点在线段上运动，所以，面积为定值，且到平面的距离即为到平面的距离，也为定值，故体积为定值，故B正确；C选项：当点与线段的端点重合时，与所成角取得最小值为，故C错误；D选项：因为直线平面，所以若直线与平面所成角的正弦值最大，则直线与直线所成角的余弦值最大，即运动到中点处，所成角为，设棱长为1，在中，，故D正确.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13141516或16．【解析】设点坐标为，由题可知存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，所以一定有无穷多对直线和斜率存在满足题意，故可设直线的方程分别为：，即：，因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等，由垂径定理，得圆心到直线与圆心到直线的距离相等，∴，化简，得，或，关于的方程有无穷多解，有或，解方程组，得点坐标为或，经检验以上两点满足题意.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．解：（1）依题意，直线的斜率，且，所以直线的斜率为，   ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 2分故直线的方程为，即；  ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 5分（2）设，由的中点为，得，  ┉┉┉┉┉┉┉ 7分故直线的方程为，即．  ┉┉┉┉┉┉┉ 10分18．（1）证明：连接、，在平行四边形中，为、的中点，∵为中点，∴，    ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 3分又∵平面，平面，  ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 4分∴平面；  ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 5分（2）证明：∵，且，∴，即， ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 7分∵平面，平面，∴，┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 9分∵，、平面，∴平面，┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 10分又∵平面，∴平面平面. ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 12分19．解：（1），配方得， ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 2分当时，圆的半径有最小值2，此时圆的周长最小. ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 4分（2）由（1）得，，圆的方程为：.  ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 5分当直线与轴垂直时，方程为，此时直线与圆相切，符合条件；┉┉┉┉┉┉ 7分当直线与轴不垂直时，设方程为，┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 8分由直线与圆相切得：，解得， ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 10分所以切线方程为，即.  ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 11分综上，直线方程为或.  ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 12分20．（1）证明：依题意，平面，，如图所示，分别以、、所在直线为轴、轴和轴建立空间直角坐标系， ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 1分则，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，，1，，   ，1，，，1，，，2，  ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 2分设，，是平面的一个法向量，可得，取，得，，，，是平面的一个法向量，┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 4分同理可得，1，是平面的一个法向量， ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 5分，， ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 6分 平面平面；   ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 7分（2）解：由（1）得，，是平面的一个法向量，┉┉┉┉┉┉┉ 8分，2，，得， ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 10分点到平面的距离． ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 12分21．解：（1）在中，，，由余弦定理得：，即，解得，  ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 3分在中，，由余弦定理得：，所以.  ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 6分（2）设，在中，由余弦定理得：， ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 7分由正弦定理得：，，┉┉┉┉ 8分在中，由余弦定理得：，┉ 10分当且仅当，即时，取得最大值36，即取得最大值6，所以当时，线段AC长度的最大值为6.  ┉┉┉┉┉┉┉ 12分22．解：（1）由题可知，设圆的方程为， 由直线与圆相切于点，得，解得，，    ┉┉┉┉┉┉┉ 2分圆的方程为； ┉┉┉┉┉┉┉ 3分（2）由直线可得；得，即 ，即直线恒过定点； ┉┉┉┉┉┉┉ 5分又，即点在圆内部；圆的圆心为；设直线恒过定点；当直线与直线垂直时，圆心到直线的距离最长，此时弦长最短；此时，弦长最短为； ┉┉┉┉┉┉┉ 7分（3）由题意知，，设直线的斜率为，则直线的方程为，由，得，解得或，则点的坐标为，又直线的斜率为，同理可得：点的坐标为   ┉┉┉┉┉┉┉ 9分由题可知：，，  ┉┉┉┉┉┉┉┉ 10分又，同理，．当且仅当时等号成立．的最大值为．  ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 12分