数学基础模块上册5.2 任意角的三角函数教案设计

这是一份数学基础模块上册5.2 任意角的三角函数教案设计，共8页。教案主要包含了教学目标，教学重点，教学难点，教学方法，教学过程等内容，欢迎下载使用。

1. 理解并掌握诱导公式，会求任意角的三角函数值与证明简单的三角恒等式；
2. 了解对称变换思想在数学问题中的应用；
3. 通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想．
【教学重点】
利用诱导公式进行三角函数式的求值、化简．
【教学难点】
诱导公式(一)、（二）、（三）的推导．
【教学方法】
本节课主要采用启发诱导与讲练结合的教学方法，引导学生借助单位圆和三角函数线，充分利用对称的性质，揭示诱导公式与同角公式之间的联系，然后讲练结合，使学生牢固掌握其应用．
【教学过程】
环节
教学内容
师生互动
设计意图
复
习
导
入
1. 复习三角函数的定义、单位圆与三角函数线．
2. 复习对称点的知识．
1. 教师运用多媒体展示三角函数的定义、单位圆与三角函数线，提问相关问题，学生回答．
2. 师：已知任意角  的终边与单位圆相交于点 P(x，y)，请分别写出点 P 关于 x 轴，y 轴，原点对称的点的坐标．
共同回顾，为新课做准备．
新
课
新
课
新
课
新
课
1．角与＋k·2π（kZ）的三角函数间的关系．
直角坐标系中，与＋k·2π (kZ)的终边相同，由三角函数的定义，它们的三角函数值相等．
公式（一）：
sin(＋k·2π) ＝ sin ；
cs(＋k·2π) ＝ cs  （kZ）；
tan(＋k·2π) ＝ tan ．
例1 求下列各三角函数的值：
(1) sin EQ \F(13 π,2) ；(2) cs EQ \F(19 π,3) ；(3) tan 405．
解 (1)sin EQ \F(13 π,2)＝sin( EQ \F(π,2)＋6 π)
＝sin EQ \F(π,2)＝1；
(2) cs EQ \F(19 π,3)＝cs( EQ \F(π,3)＋6 π)
＝cs EQ \F(π,3) ＝ EQ \F(1,2) ；
(3) tan 405＝tan (45＋360)
＝tan 45＝1．
2. 角 和角－ 的三角函数间的关系．
y
如图5-17，设单位圆与角和角－的终边的交点分别是点P和点P´．

x
P(x，y)
M
O

P (x，y)
图5-17
容易看出，点 P 与点 P´ 关于 x 轴对称．
已知P(cs ，sin )和
P(cs(－)，sin(－))．
于是，得到
公式（二）：sin（－）＝－sin ；
cs（－）＝ cs ；
tan（－）＝－tan ．
例2 求下列各三角函数的值：
(1) sin (－ EQ \F(π,6) )； (2) cs(－ EQ \F(π,4) )；
(3) tan(－ EQ \F(π,3) )； (4) sin(－ EQ \F(7π,3) )．
解 (1) sin (－ EQ \F(π,6) )＝－sin EQ \F(π,6) ＝－ EQ \F(1,2) ；
(2) cs(－ EQ \F(π,4) )＝ cs EQ \F(π,4) ＝ EQ \F( EQ \R(,2) ,2) ；
(3) tan(－ EQ \F(π,3) )＝－tan EQ \F(π,3) ＝－ EQ \R(,3) ；
(4) sin(－ EQ \F(7π,3) )＝－sin EQ \F(7π,3)
＝－sin( EQ \F(π,3) ＋2π )＝－sin EQ \F(π,3) ＝－ EQ \F( EQ \R(,3) ,2) ．
3.角 与 ±π的三角函数间的关系．
如图5-18，角  与  ±π 的终边与单位圆分别相交于点 P 与点P´，容易看出，点P 与点 P´ 关于原点对称，它们的坐标互为相反数 P( x，y)，P´(－x，－y)，
Ｐ(x，y)
x
y
O

+
P (-x,-y)
-
图5-18
所以得到公式（三）
sin ( ±  ) ＝－sin ；
cs ( ±  ) ＝－cs ；
tan ( ±  ) ＝ tan ．
4.角 与π－ 的三角函数间的关系．
Ｐ
P´
x
y
O


图5-19

如图5-19，角 与π－ 和单位圆分别交于点P与点P´，由P´与点P关于y轴对称，可以得到 与π－ 之间的三角函数关系：
sin(－)＝sin ；
cs(－)＝－cs ．
即 互为补角的两个角正弦值相等，余弦值互为相反数．
例如：sin EQ \F(5π,6) ＝ sin EQ \F(π,6) ＝ EQ \F(1,2) ；
cs EQ \F(3π,4) ＝－cs EQ \F(π,4) ＝－ EQ \F( EQ \R(,2) ,2) ．
例3 求下列各三角函数的值：
(1) sin EQ \F(4π,3) ； (2) cs(－ EQ \F(8π,3) )；
(3) tan(－ EQ \F(10π,3) )； (4) sin 930．
解 略．
例4 求下列各三角函数的值：
(1) sin(－ EQ \F(55π,6) )； (2) cs EQ \F(11π,4) ；
(3) tan(－ EQ \F(14π,3) )； (4) sin870．
解 (1)sin(－ EQ \F(55π,6) )＝－sin( EQ \F(π,6) ＋ 9π )
＝－(－sin EQ \F(π,6) )＝ EQ \F(1,2) ；
(2)cs EQ \F(11π,4) ＝cs(－ EQ \F(π,4) ＋ 3π )＝cs(π－ EQ \F(π,4) )＝－cs EQ \F(π,4) ＝－ EQ \F( EQ \R(,2) ,2) ；
(3)tan(－ EQ \F(14π,3) )＝ tan( EQ \F(π,3) －5π )
＝ tan EQ \F(π,3) ＝ EQ \R(,3) ；
(4)sin870＝sin(－30＋5×180)
＝sin(180－30)＝sin30＝ EQ \F(1,2) ．
例5 化简：
EQ \F(sin(2π－α)tan(α +π)tan(－α－π),cs(π－α)tan(3π－α))
解 EQ \F(sin(2π－α) tan(α +π) tan(－α－π),cs(π－α) tan(3π－α))
＝ EQ \F(sin(－α) tanα tan(－α), －csα tan(－α))
＝ EQ \F(－sinα tanα, －csα)
＝tan2．
师生共同探讨得出公式（一）的结构特征：等号两边是同名函数，且符号都为正．
例1由学生试着完成．
教师在例1结束后小结公式(一)的作用：把任意角的三角函数转化为0~360º之间角的三角函数．
练习：教材P146，练习A组第1（1）（2）题，第2（1）（2）题，第3（1）（2）题．
观察图5-17，教师引导学生回答，点 P´ 与点 P 的位置关系怎样？它们的坐标之间有什么关系？推出诱导公式（二）．
学生独立完成，并交流解题心得．
例2结束后教师小结诱导公式(二)的作用：把任意负角的三角函数转化为正角三角函数．
练习：教材P146，练习A组第1（3）（4）题，第2（3）（4）题，第3（3）（4）题．
教师引导学生观察图5-18，并回答，点 P´ 与点 P 的位置关系怎样？它们的坐标之间有什么关系？推出诱导公式（三）．
学生独立完成，并交流解题心得．
教师在例3结束后小结诱导公式(三)的作用：把任意负角的三角函数转化为正角的三角函数．
教师总结解题步骤：先用诱导公式(二)把负角的三角函数化为正角的三角函数，然后再用诱导公式(三)把它们化为锐角的三角函数来求．进一步强化学生运用公式的灵活性．
解题关键是找出题中各角与锐角的关系，转化为求锐角的三角函数值．
教师对例5小结：化简时，综合应用诱导公式(一)、(二)、(三)，适当地改变角的结构，使之符合诱导公式中角的形式，是解决问题的关键．
体会诱导公式(一)的作用．
熟练应用公式(一)求值．
熟练应用公式（二）求值．
教师用语言叙述公式，更利于学生理解掌握公式特征．
利用例3，熟练运用公式(三)求三角函数值．
利用例4，学会综合运用诱导公式求任意角的三角函数值．
利用例5，学会综合运用各组诱导公式化简较复杂的三角代数式．
小
结
任意负角的三角函数
任意正角的三角函数
0到2π内的三角函数
锐 角
三角函数
公式（一）
公式（二）
公式（三）
求任意角的三角函数值的步骤：
师生共同总结、交流．
让学生养成自己归纳、总结的习惯，重视数学思想方法的应用．
作
业
必做题：教材 P 146，练习 B组．