江苏省盐城市盐都区2022-2023学年八年级上学期期中调研考试数学试题(含答案)

这是一份江苏省盐城市盐都区2022-2023学年八年级上学期期中调研考试数学试题(含答案)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题．，解答题.等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省盐城市盐都区八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应位置上）
1．下列图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．0.3，0.4，0.5 B．3，4，7
C．5，12，13 D．8，15，16
3．三角形的三边长为a，b，c，且满足（b+c）2＝a2+2bc，则这个三角形是（　　）
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
4．工人常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使CM＝CN，过角尺顶点C作射线OC，由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
5．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（　　）
A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm
6．如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（　　）

A．AC，BC两边高线的交点处
B．AC，BC两边中线的交点处
C．AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．∠A，∠B两内角平分线的交点处
7．下列说法正确的是（　　）
A．9的平方根3
B．
C．﹣9没有立方根
D．平方根等于本身的数只有0
8．如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A、B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有（　　）

A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）．
9．﹣27的立方根是 　 　．
10．等腰三角形的一个内角为100°，则它的底角为　 　．
11．已知x，y满足，则x+y＝　 　．
12．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若BC＝12，则△AEF的周长为 　 　．

13．若一个正数的两个平方根分别为m+1与3m﹣1，则m＝　 　．
14．观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝　 　．（提示：5＝，13＝，…）
15．如图，在四边形ABCD中，∠ACD＝∠BAD＝90°，AB＝AD，CD＝4，AC＝12，四边形ABCD的面积为 　 　．

16．如图，在钢架AB、AC中，从左至右顺次焊上7根相等长度的钢条P1P2、P2P3、P3P4…来加固钢架，且AP1＝P1P2，则∠BAC的最大值为　 　．（结果保留整数）

三、解答题（本大题共有10小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）.
17．求满足下列条件的x的值：
（1）4x2﹣25＝0；
（2）（x﹣3）3+125＝0．
18．如图，4×5的方格纸中，请你用三种不同的方法在除阴影之外的方格中任意选择一个涂黑，使得图中阴影部分构成的图形是轴对称图形．

19．已知：x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的算术平方根．
20．如图，点C、E在边BF上，BE＝CF，AB∥DE，∠A＝∠D．
求证：AC＝DF．

21．如图，已知△ABC．
（1）尺规作图：①作AC的中点D；②在BC上确定点E，使点E到AB、AC的距离相等；
（2）连接DE，若AB＝AC，BC＝10，AE＝12，则DE的长为 　 　．

22．一架长2.5米的梯子AB如图所示斜靠在一面墙上，这时梯足B离墙底C（∠C＝90°）的距离BC为0.7米．
（1）求此时梯顶A距地面的高度AC；
（2）如果梯顶A下滑0.9米，那么梯足B在水平方向，向右滑动了多少米？

23．如图所示，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝AD＝4，CD＝2，BC＝6．求∠ADC的度数．

24．有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为5m，12m．现在要将绿地扩充成等腰三角形绿地，且扩充部分是以12m为直角边的直角三角形，求扩充部分三角形绿地的面积．（如图备用）

25．定义：点P是△ABC所在平面内任意一点（不与A、B、C重合），若点P与A、B、C中的某两点的连线夹角是直角，则称点P是△ABC的一个直角点．
（1）如图1，点P是△ABC内一点，满足∠A＝60°，∠ABP＝10°，∠ACP＝20°，试说明点P是△ABC的一个直角点；
（2）如图2，△ABC的顶点都在格点上，AB＝AC，D是BC的中点，点P是直线AD上△ABC的直角点，请在图中标出所有符合条件的点P；
（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是AB的中点，点P是射线CD上△ABC的直角点，求CP的长．


26．【材料阅读】
材料1：我们知道，等边三角形的三边相等．那么等腰直角三角形的三边有何特殊关系呢？我们可以作如下探讨：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，此时我们称△ABC是等腰直角三角形．如果设AC＝BC＝a，那么由勾股定理得：AB2＝a2+a2＝2a2，所以AB＝＝．因此，我们得出结论：等腰直角三角形的斜边长等于直角边的倍．
材料2：如图2，点P是等边△ABC外一点，且满足∠BPC＝60°，连接PA，PB，PC，线段PA、PB、PC之间有何等量关系呢？经过探究，小聪同学给出了他的正确思路：
如图3，在PC上截取CQ＝PB，连接AQ．因为△ABC是等边三角形，所以AB＝AC，∠BAC＝60°，由AB＝AC，PB＝CQ，可证得△ABP≌△ACQ，所以AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ，故∠PAQ＝∠BAC＝60°．由可知△APQ是等边三角形，所以PQ＝PA．因此最终得出线段PA、PB、PC之间的等量关系是 　 　．
【材料理解】
请结合对材料2的阅读理解，完善以上证明思路．
【材料运用】
请运用上述材料的结论和方法，解决下列问题：如图4，点P是等腰直角三角形ABC外一点（其中∠BAC＝90°，AB＝AC），且满足∠BPC＝90°，连接PA，PB，PC，试判断线段PA、PB、PC之间的等量关系，并证明你的结论．
【解决问题】
如图5所示，将一只等腰直角三角尺的直角顶点C放置在直线l上并固定，点D是直线l上的一动点，连接AD，BD，已知当AD与BD之和最小时，AD＝m，CD＝n，则此时BD的长为 　 　.（用含m，n的代数式表示）



参考答案
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应位置上）
1．下列图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．0.3，0.4，0.5 B．3，4，7
C．5，12，13 D．8，15，16
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
解：A、0.3，0.4，0.5，都不是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意；
B、32+42≠72，不能构成直角三角形，不是勾股数，故选项不符合题意；
C、52+122＝132，能构成直角三角形，都是整数，是勾股数，故选项符合题意；
D、38+152≠162，故不是勾股数，故选项不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
3．三角形的三边长为a，b，c，且满足（b+c）2＝a2+2bc，则这个三角形是（　　）
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
【分析】展开等式后，利用勾股定理的逆定理解答即可．
解：因为三角形的三边长满足（b+c）2＝a2+2bc，
可得：b2+c2＝a2，
所以这个三角形是直角三角形，
故选：C．
【点评】此题考查了勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
4．工人常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使CM＝CN，过角尺顶点C作射线OC，由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【分析】利用作法得到OM＝ON，CM＝CN，加上OC为公共边，则根据“SSS”可判断△NOC≌△MOC．
解：由作得OM＝ON，CM＝CN，
∵OC＝OC，
∴△NOC≌△MOC（SSS）．
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．
5．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（　　）
A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm
【分析】已知的边可能是腰，也可能是底边，应分两种情况进行讨论．
解：当腰是3cm时，则另两边是3cm，7cm．而3+3＜7，不满足三边关系定理，因而应舍去．
当底边是3cm时，另两边长是5cm，5cm．则该等腰三角形的底边为3cm．
故选：B．
【点评】本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．
6．如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（　　）

A．AC，BC两边高线的交点处
B．AC，BC两边中线的交点处
C．AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．∠A，∠B两内角平分线的交点处
【分析】要求到三个小区的距离相等，首先思考到A小区、C小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段AC的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段BC的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得．
解：A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处．
故选：C．
【点评】本题主要考查线段的垂直平分线定理的逆定理：到一条线段的两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；此题是一道实际应用题，做题时，可分别考虑，先满足到两个小区的距离相等，再满足到另两个小区的距离相等，交点即可得到．
7．下列说法正确的是（　　）
A．9的平方根3
B．
C．﹣9没有立方根
D．平方根等于本身的数只有0
【分析】利用平方根，算术平方根，以及立方根性质判断即可．
解：A、9的平方根是3和﹣3，不符合题意；
B、＝4，不符合题意；
C、﹣9的立方根是﹣，不符合题意；
D、平方根等于本身的数只有0，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了立方根，平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
8．如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A、B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有（　　）

A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
【分析】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
解：如图，AB是腰长时，红色的4个点可以作为点C，
AB是底边时，黑色的4个点都可以作为点C，
所以，满足条件的点C的个数是4+4＝8．
故选：C．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握网格结构的特点是解题的关键，要注意分AB是腰长与底边两种情况讨论求解．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）．
9．﹣27的立方根是 　﹣3　．
【分析】根据立方根的定义求解即可．
解：∵（﹣3）3＝﹣27，
∴＝﹣3
故答案为：﹣3．
【点评】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
10．等腰三角形的一个内角为100°，则它的底角为　40°　．
【分析】由于等腰三角形的一个内角为100°，这个角是顶角或底角不能确定，故应分两种情况进行讨论．
解：①当这个角是顶角时，底角＝（180°﹣100°）÷2＝40°；
②当这个角是底角时，另一个底角为100°，因为100°+100°＝200°，不符合三角形内角和定理，所以舍去．
故答案为：40°．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，解答此类问题时往往用到三角形的内角和是180°这一隐藏条件．
11．已知x，y满足，则x+y＝　1　．
【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
解：根据题意得：
x+1＝0，y﹣2＝0，
解得x＝﹣1，y＝2，
∴x+y＝﹣1+2＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了绝对值的非负数性质，算术平方根的非负数性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
12．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若BC＝12，则△AEF的周长为 　12　．

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，FA＝FC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，
∴EA＝EB，FA＝FC，
∴△AEF的周长＝EA+EF+FA＝EB+EF+FC＝BC＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
13．若一个正数的两个平方根分别为m+1与3m﹣1，则m＝　0　．
【分析】根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数，求出m的值即可．
解：∵一个正数的两个平方根分别为m+1与3m﹣1，
∴m+1+3m﹣1＝0，
解得：m＝0．
故答案为：0．
【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的性质是解本题的关键．
14．观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝　17　．（提示：5＝，13＝，…）
【分析】它们三个一组，都是勾股数，一组勾股数中，并且第一个都是奇数，并且从3开始的连续奇数，每一组勾股数的第二，第三个数是连续整数，第二个数是第一个数的平方减去一除以二．
解：由题意得：a2+1442＝1452，
a2＝1452﹣1442，
a＝17．
故答案为：17．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理逆定理．
15．如图，在四边形ABCD中，∠ACD＝∠BAD＝90°，AB＝AD，CD＝4，AC＝12，四边形ABCD的面积为 　24+24　．

【分析】由勾股定理求得AD的长，得出AB的长，再由四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD即可求解．
解：在Rt△ACD中，由勾股定理得，
AD＝＝＝4，
∴AB＝AD＝4，
∴四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD
＝
＝+
＝24+24，
故答案为：24+24．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16．如图，在钢架AB、AC中，从左至右顺次焊上7根相等长度的钢条P1P2、P2P3、P3P4…来加固钢架，且AP1＝P1P2，则∠BAC的最大值为　12°　．（结果保留整数）

【分析】设∠BAC＝x，根据等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AP6P7，∠AP7P6，再根据三角形的内角和定理列式进行计算即可得解．
解：设∠BAC＝x，
∵AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P6P7，
∴∠A＝∠AP2P1＝x，
∴∠P2P1P3＝2x，
∴∠P3P2P4＝3x，
…，
∠P7P8P6＝7x，
∴7x＜90°且8x≥90°，则11.25°≤∠BAC＜（）°，
故∠BAC的最大值约为12°．
故答案为：12°．
【点评】考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，规律探寻题，难度较大．
三、解答题（本大题共有10小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）.
17．求满足下列条件的x的值：
（1）4x2﹣25＝0；
（2）（x﹣3）3+125＝0．
【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义计算即可求出x的值；
（2）方程变形后，利用立方根定义计算即可求出x的值．
解：（1）方程整理得：x2＝，
开方得：x＝±；
（2）方程整理得：（x﹣3）3＝﹣125，
开立方得：x﹣3＝﹣5，
解得：x＝﹣2．
【点评】此题考查了立方根，平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
18．如图，4×5的方格纸中，请你用三种不同的方法在除阴影之外的方格中任意选择一个涂黑，使得图中阴影部分构成的图形是轴对称图形．

【分析】直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案．
解：如图所示：
．
【点评】此题主要考查了轴对称变换，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
19．已知：x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的算术平方根．
【分析】根据平方根、立方根的定义和已知条件可知x﹣2＝4，2x+y+7＝27，列方程解出x、y，最后代入代数式求解即可．
解：∵x﹣2的平方根是±2，
∴x﹣2＝4，
∴x＝6，
∵2x+y+7的立方根是3
∴2x+y+7＝27
把x的值代入解得：
y＝8，
∴x2+y2的算术平方根为10．
【点评】本题主要考查了平方根、立方根的概念，难易程度适中．
20．如图，点C、E在边BF上，BE＝CF，AB∥DE，∠A＝∠D．
求证：AC＝DF．

【分析】由“AAS”可证△ABC≌△DEF，可得AC＝DF．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF．
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴AC＝DF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
21．如图，已知△ABC．
（1）尺规作图：①作AC的中点D；②在BC上确定点E，使点E到AB、AC的距离相等；
（2）连接DE，若AB＝AC，BC＝10，AE＝12，则DE的长为 　　．

【分析】（1）①作AC的垂直平分线得到AC的中点D；
②作∠BAC的平分线交BC于E点；
（2）先根据等腰三角形的性质得到AE⊥BC，BE＝CE＝5，再利用勾股定理计算出AB＝13，然后根据三角形中位线性质得到DE的长．
解：（1）①如图，点D为所作；
②如图，点E为所作；

（2）∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC，BE＝CE＝BC＝5，
在Rt△ABE中，AB＝＝＝13，
∵点D为AC的中点，E为BC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE＝AB＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全腰三角形的性质．
22．一架长2.5米的梯子AB如图所示斜靠在一面墙上，这时梯足B离墙底C（∠C＝90°）的距离BC为0.7米．
（1）求此时梯顶A距地面的高度AC；
（2）如果梯顶A下滑0.9米，那么梯足B在水平方向，向右滑动了多少米？

【分析】（1）根据勾股定理可以求得这个梯子的顶端距地面的距离；
（2）利用勾股定理可求出B′C的长，进而得到BB′＝CB′﹣CB的值．
解：（1）由题意可得，
AC＝＝＝2.4（米），
即此时梯顶A距地面的高度AC是2.4米；

（2）∵梯子的顶端A下滑了0.9米至点A′，
∴A′C＝AC﹣A′A＝2.4﹣0.9＝1.5（m），
在Rt△A′CB′中，由勾股定理得A′C2+B′C2＝A′B′2，
即1.52+B′C2＝2.52
所以B′C＝2（m）
BB′＝CB′﹣BC＝2﹣0.7＝1.3（m），
即梯子的底端在水平方向滑动了1.3m．
【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键．
23．如图所示，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝AD＝4，CD＝2，BC＝6．求∠ADC的度数．

【分析】连接BD，根据勾股定理求出BD，根据勾股定理的逆定理判断∠CDB＝90°，计算即可．
解：连接BD，
∵∠A＝90°，AD＝AB＝4，
∴∠ADB＝45°，
在Rt△ADB中，BD2＝AD2+AB2＝16+16＝32，
在△CDB中，CB2﹣DC2＝62﹣22＝32，
∴CB2﹣DC2＝BD2，
∴∠CDB＝90°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠CDB＝135°．

【点评】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
24．有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为5m，12m．现在要将绿地扩充成等腰三角形绿地，且扩充部分是以12m为直角边的直角三角形，求扩充部分三角形绿地的面积．（如图备用）

【分析】根据勾股定理求出斜边AB，（1）当AB＝AD时，求出CD即可；（2）当AB＝BD时，求出CD、AD即可；（3）当DA＝DB时，设AD＝x，则CD＝x﹣5，求出即可；（4）当CD＝AC＝12，直接求出面积即可．
解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝5m，BC＝12m，
∴AB＝13m，

（1）如图1，当AB＝AD时，CD＝5m，
则△ABD的面积为：BD•AC＝×（5+5）×12＝60（m2）；
扩充部分三角形绿地的面积为60﹣30＝30 （m2）；
（2）图2，当AB＝BD时，CD＝8m，则△ABD的面积为：BD•AC＝×（5+8）×12＝78（m2）；
扩充部分三角形绿地的面积为78﹣30＝48（m2）；
（3）如图3，当DA＝DB时，设AD＝x，则CD＝x﹣5，
则x2＝（x﹣5）2+122，
∴x＝16.9，
则△ABD的面积为：BD•AC＝×16.9×12＝101.4（m2）；
扩充部分三角形绿地的面积为101.4﹣30＝71.4（m2）．
答：扩充部分三角形绿地的面积是30m2或48m2或71.4m2．
【点评】本题主要考查对勾股定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能通过分类求出等腰三角形的所有情况是解此题的关键．
25．定义：点P是△ABC所在平面内任意一点（不与A、B、C重合），若点P与A、B、C中的某两点的连线夹角是直角，则称点P是△ABC的一个直角点．
（1）如图1，点P是△ABC内一点，满足∠A＝60°，∠ABP＝10°，∠ACP＝20°，试说明点P是△ABC的一个直角点；
（2）如图2，△ABC的顶点都在格点上，AB＝AC，D是BC的中点，点P是直线AD上△ABC的直角点，请在图中标出所有符合条件的点P；
（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是AB的中点，点P是射线CD上△ABC的直角点，求CP的长．


【分析】（1）证明∠CPB＝90°即可解决问题．
（2）根据勾股点的定义解决问题即可．
（3）分三种情形①∠APC＝90°时．②当∠CPB＝90°时．③当∠APB＝90°时．分别讨论求解即可．
【解答】（1）证明：在△ABC中，∠A＝60°，
∴∠ACB+∠ABC＝120°．
∵∠ABP＝10°，∠ACP＝20°，
∴∠PCB+∠PBC＝90°．
∴∠CPB＝90°，
∴点P是△ABC的一个直角点．

（2）解：如图，点P1，P2，P3即为所求．


（3）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．
∴AB＝10，
又∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD＝CD＝10，
①∠APC＝90°时，设CP＝x，DP＝10﹣x，

在Rt△APC和Rt△APD中，
∵AC2﹣CP2＝AD2﹣DP2，即：62﹣x2＝52﹣（5﹣x）2，
解得：x＝3.6．
②当∠CPB＝90°时，设CP＝x，DP＝x﹣5，

在Rt△BPD和Rt△BPC中，∵BC2﹣CP2＝BD2﹣DP2，即82﹣x2＝52﹣（x﹣5）2，
解得：x＝6.4．
③当∠APB＝90°时，

在Rt△APB中，DP＝AB＝5，
∴CP＝10，
综上所述，CP的长为3.6或6.4或10．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
26．【材料阅读】
材料1：我们知道，等边三角形的三边相等．那么等腰直角三角形的三边有何特殊关系呢？我们可以作如下探讨：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，此时我们称△ABC是等腰直角三角形．如果设AC＝BC＝a，那么由勾股定理得：AB2＝a2+a2＝2a2，所以AB＝＝．因此，我们得出结论：等腰直角三角形的斜边长等于直角边的倍．
材料2：如图2，点P是等边△ABC外一点，且满足∠BPC＝60°，连接PA，PB，PC，线段PA、PB、PC之间有何等量关系呢？经过探究，小聪同学给出了他的正确思路：
如图3，在PC上截取CQ＝PB，连接AQ．因为△ABC是等边三角形，所以AB＝AC，∠BAC＝60°，由AB＝AC，PB＝CQ，可证得△ABP≌△ACQ，所以AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ，故∠PAQ＝∠BAC＝60°．由可知△APQ是等边三角形，所以PQ＝PA．因此最终得出线段PA、PB、PC之间的等量关系是 　PC＝PA+PB　．
【材料理解】
请结合对材料2的阅读理解，完善以上证明思路．
【材料运用】
请运用上述材料的结论和方法，解决下列问题：如图4，点P是等腰直角三角形ABC外一点（其中∠BAC＝90°，AB＝AC），且满足∠BPC＝90°，连接PA，PB，PC，试判断线段PA、PB、PC之间的等量关系，并证明你的结论．
【解决问题】
如图5所示，将一只等腰直角三角尺的直角顶点C放置在直线l上并固定，点D是直线l上的一动点，连接AD，BD，已知当AD与BD之和最小时，AD＝m，CD＝n，则此时BD的长为 　m﹣n　.（用含m，n的代数式表示）

【分析】【材料阅读】利用全等三角形的性质判断即可；
【材料理解】根据材料2即可解决问题；
【材料运用】结论：PC﹣PA＝PB．在CP上取一点T，使得BP＝CT，设CP交AB于点J．证明△ABP≌△ACT（SAS），推出PA＝AT，∠BAP＝∠CAT，推出∠PAT＝∠BAC＝90°，可得结论；
【解决问题】如图5中，过点C作CT⊥CD，使得CT＝CD，连接TB，DT．证明△ACD≌△BCT（SAS），推出AD＝BT＝m，由CD＝CT＝n，∠DCT＝90°，推出DT＝＝n，由AD+BD＝BT+DB≥DT＝m，可得结论．
解：【材料阅读】结论：PC＝PA+PB；
故答案为：PC＝PA+PB．
【材料理解】理由：如图3中，在PC上截取CQ＝PB，连接AQ，设AB交CP于点O．

∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴∠OPB＝∠OAC＝60°，
∵∠POB＝∠AOC，
∴∠ABP＝∠ACQ，
在△ABP和△ACQ中，
，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ，
∴∠PAQ＝∠BAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形，
∴PQ＝PA，
∴PC＝PA+CQ＝PA+PB；

【材料运用】结论：PC﹣PA＝PB．
理由：在CP上取一点T，使得BP＝CT，设CP交AB于点J．

∵∠BPJ＝∠JAC＝90°，∠PJB＝∠AJC，
∴∠ABP＝∠ACT，
在△ABP和△ACT中，
，
∴△ABP≌△ACT（SAS），
∴PA＝AT，∠BAP＝∠CAT，
∴∠PAT＝∠BAC＝90°，
∴PT＝PA，
∴PC＝PT+CT＝PA+PB；

【解决问题】如图5中，过点C作CT⊥CD，使得CT＝CD，连接TB，DT．

∵∠DCT＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠BCT，
在△ACD和△BCT中，
，
∴△ACD≌△BCT（SAS），
∴AD＝BT＝m，
∵CD＝CT＝n，∠DCT＝90°，
∴DT＝＝n，
∴AD+BD＝BT+DB≥DT＝m，
∴AD+BD的最小值为m，此时BD＝m﹣n
故答案为：m﹣n．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．