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山东省烟台市芝罘区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷（五四学制） (含答案)
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这是一份山东省烟台市芝罘区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷（五四学制） (含答案)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省烟台市芝罘区九年级第一学期期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（每题3分，共36分）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列等式成立的是（ ）
A．sinA＝sinB B．cosA＝cosB C．sinA＝cosB D．tanA＝tanB
2．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinA＝，则BC＝（ ）
A．5 B．10 C．45 D．
4．抛物线y＝x2+6x+5可由抛物线y＝x2平移得到，平移方法是（ ）
A．先向右平移3个单位，再向下平移4个单位
B．先向左平移6个单位，再向上平移5个单位
C．先向左平移3个单位，再向下平移4个单位
D．先回右平移3个单位，再向上平移1个单位
5．已知tanA＝0.85，用计算器求∠A的大小，下列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的中柱AD（D为底边中点）长10米，∠B＝36°，则跨度BC的长是（ ）
A．米 B．米 C．20tan36°米 D．10tan36°米
7．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝（x﹣1）2+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系用“＜”连接正确的是（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
8．已知直线l1∥l2∥l3，且相邻的两条平行直线间的距离均等，将一个含45°的直角三角板按图示放置，使其三个顶点分别在三条平行线上，则sinα的值是（ ）
A． B． C． D．
9．在同一直角坐标系内，直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+8x+b的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，已知△ABC的三个顶点均在正方形格点上，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
11．校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高h（m）与水平距离x（m）之间的函数关系满足h＝﹣x2+x+，则该运动员掷铅球的成绩是（ ）
A．6m B．10m C．8m D．12m
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．③④ D．②④
二、填空（每题3分，共18分）
13．函数y＝ 的自变量x的取值范围是 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，AD＝BC＝5，cos∠ADC＝，则tanB的值是 ．
15．在平面直角坐标系中，若函数y＝x2+2x﹣m的图象与坐标轴只有一个交点，那么m的取值范围是 ．
16．下图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯次点B到点C上升的高度h是 m．
17．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，则tan∠EAF的值＝ ．
18．已知函数y＝﹣（x﹣1）2+h的图象过点A（3，a）和B（m，b），且a＜b，则m的取值范围是 ．
三、解答题（共7道题，满分66分）
19．计算：3tan30°+2sin60°﹣（cos60°）﹣1．
20．已知抛物线y＝﹣x2+2x+3．
（1）求出这个抛物线的对称轴方程和顶点坐标；
（2）在给定的坐标系中画出这条抛物线，设抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，求△ABC的面积．
21．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们西北方向距离6海里的B处有一艘捕鱼船正在沿南偏西75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以14海里的速度沿北偏西某一方向航行，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．
22．如图，一个高3米的涵洞的剖面示意图为一段抛物线，涵洞底部宽AB＝6米，涵洞内水面宽度MN＝4米．
（1）请建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数关系式；
（2）求涵洞内的水深．
23．如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道．已知楼梯共有五级均匀分布的台阶，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比为1：2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离ED＝2.55m．为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结果精确到1°）
（参考数据表）
计算器按键顺序
计算结果（已精确到0.001）
11.310
0.003
14.744
0.005
24．为满足市场需求，某超市购进一种品牌糕点，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种糕点的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售糕点多少盒？
25．如图①，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1，D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
（3）过点D向y轴作垂线（如图②），垂足为点E，是否存在点D，使△CDE与△AOC相似？若存在，请求出点D横坐标m的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（每题3分，共36分）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列等式成立的是（ ）
A．sinA＝sinB B．cosA＝cosB C．sinA＝cosB D．tanA＝tanB
【分析】根据一个锐角的正弦等于它的余角的余弦解答．
解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴sinA＝cosB．
故选：C．
【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，熟记同角（或余角）的三角函数关系式是解题的关键．
2．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
【分析】根据二次函数的顶点式一般形式的特点，可直接写出顶点坐标．
解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3为顶点式，其顶点坐标为（1，3）．
故选：B．
【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinA＝，则BC＝（ ）
A．5 B．10 C．45 D．
【分析】根据锐角三角函数定义得出sinA＝＝，代入求出即可．
解：
∵sinA＝＝，AB＝15，
∴BC＝5，
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义等知识点，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
4．抛物线y＝x2+6x+5可由抛物线y＝x2平移得到，平移方法是（ ）
A．先向右平移3个单位，再向下平移4个单位
B．先向左平移6个单位，再向上平移5个单位
C．先向左平移3个单位，再向下平移4个单位
D．先回右平移3个单位，再向上平移1个单位
【分析】原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（﹣3，﹣4），由此确定平移规律．
解：∵y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4，
∴该抛物线的顶点坐标是（﹣3，﹣4），
∵抛物线y＝x2的顶点坐标是（0，0），
∴平移的方法可以是：将抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向下平移4个单位．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法．
5．已知tanA＝0.85，用计算器求∠A的大小，下列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】直接根据计算器功能键判断．
解：根据计算器功能键，先按反三角2ndF，再按正切值．
故选：A．
【点评】本题考查利用计算器求角，熟悉计算器功能键和按键顺序是求解本题的关键．
6．厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的中柱AD（D为底边中点）长10米，∠B＝36°，则跨度BC的长是（ ）
A．米 B．米 C．20tan36°米 D．10tan36°米
【分析】先由已知得到直角△ABD、BD与BC的关系，再由直角三角形的边角间关系求出BD得结论．
解：由题意，得AB＝AC，
∵D为底边BC的中点，
∴AD⊥BC，BD＝BC．
在Rt△ABD中，tanB＝，
∴BD＝＝．
∴BC＝2BD＝（米）．
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握等腰三角形的性质和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
7．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝（x﹣1）2+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系用“＜”连接正确的是（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据点A，B，C与对称轴距离的大小关系求解．
解：∵y＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∵1﹣1＜2﹣1＜1﹣（﹣2），
∴y2＜y3＜y1．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
8．已知直线l1∥l2∥l3，且相邻的两条平行直线间的距离均等，将一个含45°的直角三角板按图示放置，使其三个顶点分别在三条平行线上，则sinα的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】过点A作AD⊥l3于D，过点B作BE⊥l3于E，根据同角的余角相等求出∠CAD＝∠BCE，然后利用“角角边”证明△ACD和△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝AD，然后利用勾股定理列式求出BC，然后利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．
解：过点A作AD⊥l3于D，过点B作BE⊥l3于E，如图：
设l1，l2，l3间的距离为d＝1，
∵AD⊥l3，BE⊥l3，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠CAD+∠ACD＝90°，
∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在等腰直角△ABC中，AC＝BC，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CE＝AD＝2，
在Rt△BCE中，BC＝＝＝，
∴sinα＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
9．在同一直角坐标系内，直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+8x+b的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题可先由一次函数y＝ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+5x+b的图象相比较看是否一致．
解：A、由抛物线可知，a＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，且交y轴同一点，故本选项正确；
D、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＜0故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．
10．如图，已知△ABC的三个顶点均在正方形格点上，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用网格构建直角三角形，再利用勾股定理得出AD，AB的长，进而利用余弦值的定义得出答案．
解：如图所示：连接CD，
可得：∠ADC＝90°，CD＝，AD＝2，AC＝，
所以cosA＝＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
11．校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高h（m）与水平距离x（m）之间的函数关系满足h＝﹣x2+x+，则该运动员掷铅球的成绩是（ ）
A．6m B．10m C．8m D．12m
【分析】铅球落地才能计算成绩，此时y＝0，即﹣x2+x+＝0，解方程即可．在实际问题中，注意负值舍去．
解：由题意可知，把y＝0代入解析式得：
﹣x2+x+＝0，
解方程得x1＝10，x2＝﹣2（舍去），
即该运动员的成绩是10米．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的应用，正确理解二次函数的含义是解题关键．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．③④ D．②④
【分析】根据对称轴、开口方向、与y轴的交点位置即可判断a、b、c与0的大小关系，然后将由对称轴可知a＝b．图象过（﹣2，0）代入二次函数中可得4a﹣2b+c＝0．再由二次函数最小值小于0，从而可判断ax2+bx+c＝1有两个不相同的解．
解：①由图可知：a＞0，c＜0，﹣＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，
故①错误，不符合题意；
②由题意可知：﹣＝﹣，
∴b＝a，
故②正确，符合题意；
③将（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，
∴4a﹣2b+c＝0，
∵a＝b，
∴2a+c＝0，
故③正确，符合题意；
④由图象可知：二次函数y＝ax2+bx+c的最小值小于0，
令y＝1与y＝ax2+bx+c有两个不同的交点，
∴方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个不相同的解，
故④错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图像与系数的关系，解题的关键是正确地由图象得出a、b、c的数量关系，本题属于基础题型．
二、填空（每题3分，共18分）
13．函数y＝ 的自变量x的取值范围是 x≥﹣1且x≠2 ．
【分析】根据分母不能为零且被开方数是非负数，可得答案．
解：由题意，得
x2﹣4≠0且x+1≥0，
解得x≥﹣1且x≠2．
故答案为：x≥﹣1且x≠2．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，利用分母不能为零且被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，AD＝BC＝5，cos∠ADC＝，则tanB的值是 ．
【分析】由AD＝BC＝5，根据cos∠ADC＝＝求出DC，由勾股定理求出AC，即可求出tanB的值．
解：∵cos∠ADC＝＝，AD＝BC＝5，
∴＝，
∴DC＝3，
在△ADC中，由勾股定理得：
AC＝＝＝4，
tanB＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
15．在平面直角坐标系中，若函数y＝x2+2x﹣m的图象与坐标轴只有一个交点，那么m的取值范围是 m＜﹣1 ．
【分析】根据函数y＝x2+2x﹣m的图象与坐标轴只有一个交点得出函数y＝x2+2x﹣m的图象与y轴有一个交点，与x轴无交点，得出Δ＜0，解不等式即可．
解：函数y＝x2+2x﹣m的图象与坐标轴只有一个交点，
∴函数y＝x2+2x﹣m的图象与y轴有一个交点，与x轴无交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣m）＝4+4m＜0，
解得m＜﹣1，
故答案为：m＜﹣1．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，关键是掌握用判别式Δ判定抛物线与x轴是否有交点．
16．下图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯次点B到点C上升的高度h是 4 m．
【分析】过C作CE⊥AB，交AB的延长线于E，在Rt△BCE中，易求得∠CBE＝30°，已知了斜边BC为8m，根据直角三角形的性质即可求出CE的长，即h的值．
解：过C作CE⊥AB，交AB的延长线于E；
在Rt△CBE中，∠CBE＝180°﹣∠CBA＝30°；
已知BC＝8m，则CE＝BC＝4m，即h＝4m．
【点评】正确地构造出直角三角形，然后根据直角三角形的性质求解，是解决此题的关键．
17．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，则tan∠EAF的值＝ ．
【分析】先根据矩形的性质得CD＝AB＝8，AD＝BC＝10，再根据折叠的性质得AF＝AD＝10，DE＝EF，∠AFE＝∠D＝90°，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF＝6，则FC＝BC﹣BF＝4，设EF＝x，则DE＝x，CE＝CD﹣DE＝8﹣x，在Rt△CEF中，根据勾股定理得到42+（8﹣x）2＝x2，解得x＝5，即EF＝5，然后在Rt△AEF中根据正切的定义求解．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴CD＝AB＝8，AD＝BC＝10，
∵折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，
∴AF＝AD＝10，DE＝EF，∠AFE＝∠D＝90°，
在Rt△ABF中，BF＝＝6，
∴FC＝BC﹣BF＝4，
设EF＝x，则DE＝x，CE＝CD﹣DE＝8﹣x，
在Rt△CEF中，
∵CF2+CE2＝EF2，
∴42+（8﹣x）2＝x2，解得x＝5，
即EF＝5，
在Rt△AEF中，tan∠EAF＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．
18．已知函数y＝﹣（x﹣1）2+h的图象过点A（3，a）和B（m，b），且a＜b，则m的取值范围是 ﹣1＜m＜3 ．
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，由点A坐标可得点A关于对称轴对称的坐标，进而求解．
解：∵y＝﹣（x﹣1）2+h，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴点A（3，a）关于抛物线对称轴的对称点为A'（﹣1，a），
∵a＜b，
∴﹣1＜m＜3时，符合题意．
故答案为：﹣1＜m＜3．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．
三、解答题（共7道题，满分66分）
19．计算：3tan30°+2sin60°﹣（cos60°）﹣1．
【分析】将特殊角的三角函数值代入后，利用二次根式的性质和负整数指数幂的意义化简运算即可．
解：原式＝3×+2×﹣
＝﹣2
＝2﹣2．
【点评】本题主要考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，二次根式的性质，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
20．已知抛物线y＝﹣x2+2x+3．
（1）求出这个抛物线的对称轴方程和顶点坐标；
（2）在给定的坐标系中画出这条抛物线，设抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，求△ABC的面积．
【分析】（1）将二次函数配方后即可确定其顶点坐标及对称轴；
（2）根据上题确定的二次函数的解析式即可求得抛物线与坐标轴的交点坐标，利用三角形面积公式即可求得△ABC的面积．
解：（1）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标是（1，4），对称轴是直线x＝1；
（2）画图象：
在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0）．
又∵C（0，3），
∴AB＝4，OC＝3，
∴S△ABC＝AB•OC＝×4×3＝6．
【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够利用配方法确定二次函数的顶点坐标和抛物线与坐标轴的交点坐标，难度不大．
21．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们西北方向距离6海里的B处有一艘捕鱼船正在沿南偏西75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以14海里的速度沿北偏西某一方向航行，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．
【分析】设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时，由题意得：∠ABC＝45°+75°＝120°，AB＝6海里，BC＝10x海里，AC＝14x海里．过点A作AD⊥CB交其延长线于点D，由锐角三角函数定义得BD＝3（海里），AD＝（海里），则CD＝（10x+3）海里然后在Rt△ACD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时，
由题意得：∠ABC＝45°+75°＝120°，AB＝6海里，BC＝10x海里，AC＝14x海里．
过点A作AD⊥CB交其延长线于点D，
在Rt△ABD中，AB＝6海里，∠ABD＝180°﹣∠ABC＝60°．
∴BD＝ABcos60°＝3（海里），AD＝ABsin60°＝（海里），
∴CD＝（10x+3）海里，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：（14x）2＝（10x+3）2+（）2，
解得：x1＝1，x2＝（不合题意，舍去），
答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为1小时．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22．如图，一个高3米的涵洞的剖面示意图为一段抛物线，涵洞底部宽AB＝6米，涵洞内水面宽度MN＝4米．
（1）请建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数关系式；
（2）求涵洞内的水深．
【分析】（1）取AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，过点O且垂直于AB的直线为y轴，由此建立平面直角坐标系，再利用待定系数法求解即可；
（2）由MN＝4，可得点N的横坐标为2，代入（1）中所求抛物线，即可得出水深．
解：（1）如图，取AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，过点O且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
设抛物线与y轴交于点C，则C（0，3），
∴A（﹣3，0），B（3，0），
设抛物线的解析式为：y＝ax2+c，
∴，解得．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3．
（2）设MN与y轴相交于点D，由抛物线的对称轴可知，D为MN的中点，
∴DM＝DN＝2，
令x＝2，则y＝﹣×22+3＝．
∴涵洞内的水深为m．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确建立平面直角坐标系是解题关键．
23．如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道．已知楼梯共有五级均匀分布的台阶，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比为1：2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离ED＝2.55m．为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结果精确到1°）
（参考数据表）
计算器按键顺序
计算结果（已精确到0.001）
11.310
0.003
14.744
0.005
【分析】根据题意可得DF＝AB＝0.15米，然后根据斜坡AC的坡比为1：2，可求出BC，CD的长，从而求出EB的长，最后在Rt△AEB中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
解：如图：
由题意得：
DF＝AB＝0.15（米），
∵斜坡AC的坡比为1：2，
∴＝，＝，
∴BC＝2AB＝1.5（米），CD＝2DF＝0.3（米），
∵ED＝2.55米，
∴EB＝ED+BC﹣CD＝2.55+1.5﹣0.3＝3.75（米），
在Rt△AEB中，tan∠AEB＝＝＝，
查表可得，∠AEB≈11.310°，
∴为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于12度．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟练掌握坡比是解题的关键．
24．为满足市场需求，某超市购进一种品牌糕点，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种糕点的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售糕点多少盒？
【分析】（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）根据利润＝1盒糕点所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）先由（2）中所求得的P与x的函数关系式，根据这种糕点的每盒售价不得高于58元，且每天销售糕点的利润不低于6000元，求出x的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式即可求解．
解：（1）由题意得，y＝700﹣20（x﹣45）＝﹣20x+1600；
（2）P＝（x﹣40）（﹣20x+1600）＝﹣20x2+2400x﹣64000＝﹣20（x﹣60）2+8000，
∵x≥45，a＝﹣20＜0，
∴当x＝60时，P最大值＝8000元，
即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；
（3）由题意，得﹣20（x﹣60）2+8000＝6000，
解得x1＝50，x2＝70．
∵抛物线P＝﹣20（x﹣60）2+8000的开口向下，
∴当50≤x≤70时，每天销售糕点的利润不低于6000元的利润．
又∵x≤58，
∴50≤x≤58．
∵在y＝﹣20x+1600中，k＝﹣20＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝58时，y最小值＝﹣20×58+1600＝440，
即超市每天至少销售糕点440盒．
【点评】本题考查的是二次函数与一次函数在实际生活中的应用，主要利用了利润＝1盒糕点所获得的利润×销售量，求函数的最值时，注意自变量的取值范围．
25．如图①，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1，D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
（3）过点D向y轴作垂线（如图②），垂足为点E，是否存在点D，使△CDE与△AOC相似？若存在，请求出点D横坐标m的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求得A，C，B三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果；
（2）作DF⊥AB于F，交AC于E，根据点D和点E坐标可表示出DE的长，进而表示出三角形ADC的面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果；
（3）用含m的式子表示出D与E两点的坐标，根据相似三角形的性质列出比例式，进而求得D点的坐标．
解：（1）当x＝0时，y＝4，
∴C （0，4），
当y＝0时，x+4＝0，
∴x＝﹣3，
∴A （﹣3，0），
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴B（1，0），
∴设抛物线的表达式：y＝a（x﹣1）•（x+3），
∴4＝﹣3a，
∴a＝﹣，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）•（x+3）＝﹣x2﹣x+4；
（2）如图①，
作DF⊥AB于F，交AC于E，
∴D（m，﹣﹣m+4），M（m，m+4），
∴DM＝﹣﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m，
∴S△ADC＝OA＝•（﹣m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m，
∵S△ABC＝＝＝8，
∴S＝﹣2m2﹣6m+8＝﹣2（m+）2+，
∴当m＝﹣时，S最大＝，
当m＝﹣时，y＝﹣＝5，
∴D（﹣，5）；
（3）存在．
设D点坐标（m，﹣﹣m+4），E（0，﹣﹣m+4），
则DE＝﹣m，CE＝﹣﹣m+4﹣4＝﹣﹣m，
在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC＝＝＝5，
∵△CDE∽△AOC，
∴＝或＝，
即＝或，
解得m＝﹣或m＝﹣1．
∴当m＝﹣或m＝﹣1时，存在点D，使得△CDE∽△AOC．
【点评】本题考查了二次函数及其图象性质，勾股定理，相似三角形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关二次函数和相似三角形的性质．
2022-2023学年山东省烟台市芝罘区九年级第一学期期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（每题3分，共36分）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列等式成立的是（ ）
A．sinA＝sinB B．cosA＝cosB C．sinA＝cosB D．tanA＝tanB
2．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinA＝，则BC＝（ ）
A．5 B．10 C．45 D．
4．抛物线y＝x2+6x+5可由抛物线y＝x2平移得到，平移方法是（ ）
A．先向右平移3个单位，再向下平移4个单位
B．先向左平移6个单位，再向上平移5个单位
C．先向左平移3个单位，再向下平移4个单位
D．先回右平移3个单位，再向上平移1个单位
5．已知tanA＝0.85，用计算器求∠A的大小，下列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的中柱AD（D为底边中点）长10米，∠B＝36°，则跨度BC的长是（ ）
A．米 B．米 C．20tan36°米 D．10tan36°米
7．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝（x﹣1）2+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系用“＜”连接正确的是（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
8．已知直线l1∥l2∥l3，且相邻的两条平行直线间的距离均等，将一个含45°的直角三角板按图示放置，使其三个顶点分别在三条平行线上，则sinα的值是（ ）
A． B． C． D．
9．在同一直角坐标系内，直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+8x+b的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，已知△ABC的三个顶点均在正方形格点上，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
11．校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高h（m）与水平距离x（m）之间的函数关系满足h＝﹣x2+x+，则该运动员掷铅球的成绩是（ ）
A．6m B．10m C．8m D．12m
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．③④ D．②④
二、填空（每题3分，共18分）
13．函数y＝ 的自变量x的取值范围是 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，AD＝BC＝5，cos∠ADC＝，则tanB的值是 ．
15．在平面直角坐标系中，若函数y＝x2+2x﹣m的图象与坐标轴只有一个交点，那么m的取值范围是 ．
16．下图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯次点B到点C上升的高度h是 m．
17．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，则tan∠EAF的值＝ ．
18．已知函数y＝﹣（x﹣1）2+h的图象过点A（3，a）和B（m，b），且a＜b，则m的取值范围是 ．
三、解答题（共7道题，满分66分）
19．计算：3tan30°+2sin60°﹣（cos60°）﹣1．
20．已知抛物线y＝﹣x2+2x+3．
（1）求出这个抛物线的对称轴方程和顶点坐标；
（2）在给定的坐标系中画出这条抛物线，设抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，求△ABC的面积．
21．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们西北方向距离6海里的B处有一艘捕鱼船正在沿南偏西75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以14海里的速度沿北偏西某一方向航行，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．
22．如图，一个高3米的涵洞的剖面示意图为一段抛物线，涵洞底部宽AB＝6米，涵洞内水面宽度MN＝4米．
（1）请建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数关系式；
（2）求涵洞内的水深．
23．如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道．已知楼梯共有五级均匀分布的台阶，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比为1：2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离ED＝2.55m．为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结果精确到1°）
（参考数据表）
计算器按键顺序
计算结果（已精确到0.001）
11.310
0.003
14.744
0.005
24．为满足市场需求，某超市购进一种品牌糕点，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种糕点的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售糕点多少盒？
25．如图①，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1，D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
（3）过点D向y轴作垂线（如图②），垂足为点E，是否存在点D，使△CDE与△AOC相似？若存在，请求出点D横坐标m的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（每题3分，共36分）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列等式成立的是（ ）
A．sinA＝sinB B．cosA＝cosB C．sinA＝cosB D．tanA＝tanB
【分析】根据一个锐角的正弦等于它的余角的余弦解答．
解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴sinA＝cosB．
故选：C．
【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，熟记同角（或余角）的三角函数关系式是解题的关键．
2．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
【分析】根据二次函数的顶点式一般形式的特点，可直接写出顶点坐标．
解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3为顶点式，其顶点坐标为（1，3）．
故选：B．
【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinA＝，则BC＝（ ）
A．5 B．10 C．45 D．
【分析】根据锐角三角函数定义得出sinA＝＝，代入求出即可．
解：
∵sinA＝＝，AB＝15，
∴BC＝5，
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义等知识点，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
4．抛物线y＝x2+6x+5可由抛物线y＝x2平移得到，平移方法是（ ）
A．先向右平移3个单位，再向下平移4个单位
B．先向左平移6个单位，再向上平移5个单位
C．先向左平移3个单位，再向下平移4个单位
D．先回右平移3个单位，再向上平移1个单位
【分析】原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（﹣3，﹣4），由此确定平移规律．
解：∵y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4，
∴该抛物线的顶点坐标是（﹣3，﹣4），
∵抛物线y＝x2的顶点坐标是（0，0），
∴平移的方法可以是：将抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向下平移4个单位．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法．
5．已知tanA＝0.85，用计算器求∠A的大小，下列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】直接根据计算器功能键判断．
解：根据计算器功能键，先按反三角2ndF，再按正切值．
故选：A．
【点评】本题考查利用计算器求角，熟悉计算器功能键和按键顺序是求解本题的关键．
6．厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的中柱AD（D为底边中点）长10米，∠B＝36°，则跨度BC的长是（ ）
A．米 B．米 C．20tan36°米 D．10tan36°米
【分析】先由已知得到直角△ABD、BD与BC的关系，再由直角三角形的边角间关系求出BD得结论．
解：由题意，得AB＝AC，
∵D为底边BC的中点，
∴AD⊥BC，BD＝BC．
在Rt△ABD中，tanB＝，
∴BD＝＝．
∴BC＝2BD＝（米）．
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握等腰三角形的性质和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
7．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝（x﹣1）2+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系用“＜”连接正确的是（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据点A，B，C与对称轴距离的大小关系求解．
解：∵y＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∵1﹣1＜2﹣1＜1﹣（﹣2），
∴y2＜y3＜y1．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
8．已知直线l1∥l2∥l3，且相邻的两条平行直线间的距离均等，将一个含45°的直角三角板按图示放置，使其三个顶点分别在三条平行线上，则sinα的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】过点A作AD⊥l3于D，过点B作BE⊥l3于E，根据同角的余角相等求出∠CAD＝∠BCE，然后利用“角角边”证明△ACD和△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝AD，然后利用勾股定理列式求出BC，然后利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．
解：过点A作AD⊥l3于D，过点B作BE⊥l3于E，如图：
设l1，l2，l3间的距离为d＝1，
∵AD⊥l3，BE⊥l3，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠CAD+∠ACD＝90°，
∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在等腰直角△ABC中，AC＝BC，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CE＝AD＝2，
在Rt△BCE中，BC＝＝＝，
∴sinα＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
9．在同一直角坐标系内，直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+8x+b的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题可先由一次函数y＝ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+5x+b的图象相比较看是否一致．
解：A、由抛物线可知，a＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，且交y轴同一点，故本选项正确；
D、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＜0故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．
10．如图，已知△ABC的三个顶点均在正方形格点上，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用网格构建直角三角形，再利用勾股定理得出AD，AB的长，进而利用余弦值的定义得出答案．
解：如图所示：连接CD，
可得：∠ADC＝90°，CD＝，AD＝2，AC＝，
所以cosA＝＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
11．校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高h（m）与水平距离x（m）之间的函数关系满足h＝﹣x2+x+，则该运动员掷铅球的成绩是（ ）
A．6m B．10m C．8m D．12m
【分析】铅球落地才能计算成绩，此时y＝0，即﹣x2+x+＝0，解方程即可．在实际问题中，注意负值舍去．
解：由题意可知，把y＝0代入解析式得：
﹣x2+x+＝0，
解方程得x1＝10，x2＝﹣2（舍去），
即该运动员的成绩是10米．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的应用，正确理解二次函数的含义是解题关键．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．③④ D．②④
【分析】根据对称轴、开口方向、与y轴的交点位置即可判断a、b、c与0的大小关系，然后将由对称轴可知a＝b．图象过（﹣2，0）代入二次函数中可得4a﹣2b+c＝0．再由二次函数最小值小于0，从而可判断ax2+bx+c＝1有两个不相同的解．
解：①由图可知：a＞0，c＜0，﹣＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，
故①错误，不符合题意；
②由题意可知：﹣＝﹣，
∴b＝a，
故②正确，符合题意；
③将（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，
∴4a﹣2b+c＝0，
∵a＝b，
∴2a+c＝0，
故③正确，符合题意；
④由图象可知：二次函数y＝ax2+bx+c的最小值小于0，
令y＝1与y＝ax2+bx+c有两个不同的交点，
∴方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个不相同的解，
故④错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图像与系数的关系，解题的关键是正确地由图象得出a、b、c的数量关系，本题属于基础题型．
二、填空（每题3分，共18分）
13．函数y＝ 的自变量x的取值范围是 x≥﹣1且x≠2 ．
【分析】根据分母不能为零且被开方数是非负数，可得答案．
解：由题意，得
x2﹣4≠0且x+1≥0，
解得x≥﹣1且x≠2．
故答案为：x≥﹣1且x≠2．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，利用分母不能为零且被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，AD＝BC＝5，cos∠ADC＝，则tanB的值是 ．
【分析】由AD＝BC＝5，根据cos∠ADC＝＝求出DC，由勾股定理求出AC，即可求出tanB的值．
解：∵cos∠ADC＝＝，AD＝BC＝5，
∴＝，
∴DC＝3，
在△ADC中，由勾股定理得：
AC＝＝＝4，
tanB＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
15．在平面直角坐标系中，若函数y＝x2+2x﹣m的图象与坐标轴只有一个交点，那么m的取值范围是 m＜﹣1 ．
【分析】根据函数y＝x2+2x﹣m的图象与坐标轴只有一个交点得出函数y＝x2+2x﹣m的图象与y轴有一个交点，与x轴无交点，得出Δ＜0，解不等式即可．
解：函数y＝x2+2x﹣m的图象与坐标轴只有一个交点，
∴函数y＝x2+2x﹣m的图象与y轴有一个交点，与x轴无交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣m）＝4+4m＜0，
解得m＜﹣1，
故答案为：m＜﹣1．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，关键是掌握用判别式Δ判定抛物线与x轴是否有交点．
16．下图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯次点B到点C上升的高度h是 4 m．
【分析】过C作CE⊥AB，交AB的延长线于E，在Rt△BCE中，易求得∠CBE＝30°，已知了斜边BC为8m，根据直角三角形的性质即可求出CE的长，即h的值．
解：过C作CE⊥AB，交AB的延长线于E；
在Rt△CBE中，∠CBE＝180°﹣∠CBA＝30°；
已知BC＝8m，则CE＝BC＝4m，即h＝4m．
【点评】正确地构造出直角三角形，然后根据直角三角形的性质求解，是解决此题的关键．
17．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，则tan∠EAF的值＝ ．
【分析】先根据矩形的性质得CD＝AB＝8，AD＝BC＝10，再根据折叠的性质得AF＝AD＝10，DE＝EF，∠AFE＝∠D＝90°，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF＝6，则FC＝BC﹣BF＝4，设EF＝x，则DE＝x，CE＝CD﹣DE＝8﹣x，在Rt△CEF中，根据勾股定理得到42+（8﹣x）2＝x2，解得x＝5，即EF＝5，然后在Rt△AEF中根据正切的定义求解．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴CD＝AB＝8，AD＝BC＝10，
∵折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，
∴AF＝AD＝10，DE＝EF，∠AFE＝∠D＝90°，
在Rt△ABF中，BF＝＝6，
∴FC＝BC﹣BF＝4，
设EF＝x，则DE＝x，CE＝CD﹣DE＝8﹣x，
在Rt△CEF中，
∵CF2+CE2＝EF2，
∴42+（8﹣x）2＝x2，解得x＝5，
即EF＝5，
在Rt△AEF中，tan∠EAF＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．
18．已知函数y＝﹣（x﹣1）2+h的图象过点A（3，a）和B（m，b），且a＜b，则m的取值范围是 ﹣1＜m＜3 ．
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，由点A坐标可得点A关于对称轴对称的坐标，进而求解．
解：∵y＝﹣（x﹣1）2+h，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴点A（3，a）关于抛物线对称轴的对称点为A'（﹣1，a），
∵a＜b，
∴﹣1＜m＜3时，符合题意．
故答案为：﹣1＜m＜3．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．
三、解答题（共7道题，满分66分）
19．计算：3tan30°+2sin60°﹣（cos60°）﹣1．
【分析】将特殊角的三角函数值代入后，利用二次根式的性质和负整数指数幂的意义化简运算即可．
解：原式＝3×+2×﹣
＝﹣2
＝2﹣2．
【点评】本题主要考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，二次根式的性质，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
20．已知抛物线y＝﹣x2+2x+3．
（1）求出这个抛物线的对称轴方程和顶点坐标；
（2）在给定的坐标系中画出这条抛物线，设抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，求△ABC的面积．
【分析】（1）将二次函数配方后即可确定其顶点坐标及对称轴；
（2）根据上题确定的二次函数的解析式即可求得抛物线与坐标轴的交点坐标，利用三角形面积公式即可求得△ABC的面积．
解：（1）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标是（1，4），对称轴是直线x＝1；
（2）画图象：
在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0）．
又∵C（0，3），
∴AB＝4，OC＝3，
∴S△ABC＝AB•OC＝×4×3＝6．
【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够利用配方法确定二次函数的顶点坐标和抛物线与坐标轴的交点坐标，难度不大．
21．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们西北方向距离6海里的B处有一艘捕鱼船正在沿南偏西75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以14海里的速度沿北偏西某一方向航行，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．
【分析】设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时，由题意得：∠ABC＝45°+75°＝120°，AB＝6海里，BC＝10x海里，AC＝14x海里．过点A作AD⊥CB交其延长线于点D，由锐角三角函数定义得BD＝3（海里），AD＝（海里），则CD＝（10x+3）海里然后在Rt△ACD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时，
由题意得：∠ABC＝45°+75°＝120°，AB＝6海里，BC＝10x海里，AC＝14x海里．
过点A作AD⊥CB交其延长线于点D，
在Rt△ABD中，AB＝6海里，∠ABD＝180°﹣∠ABC＝60°．
∴BD＝ABcos60°＝3（海里），AD＝ABsin60°＝（海里），
∴CD＝（10x+3）海里，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：（14x）2＝（10x+3）2+（）2，
解得：x1＝1，x2＝（不合题意，舍去），
答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为1小时．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22．如图，一个高3米的涵洞的剖面示意图为一段抛物线，涵洞底部宽AB＝6米，涵洞内水面宽度MN＝4米．
（1）请建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数关系式；
（2）求涵洞内的水深．
【分析】（1）取AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，过点O且垂直于AB的直线为y轴，由此建立平面直角坐标系，再利用待定系数法求解即可；
（2）由MN＝4，可得点N的横坐标为2，代入（1）中所求抛物线，即可得出水深．
解：（1）如图，取AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，过点O且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
设抛物线与y轴交于点C，则C（0，3），
∴A（﹣3，0），B（3，0），
设抛物线的解析式为：y＝ax2+c，
∴，解得．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3．
（2）设MN与y轴相交于点D，由抛物线的对称轴可知，D为MN的中点，
∴DM＝DN＝2，
令x＝2，则y＝﹣×22+3＝．
∴涵洞内的水深为m．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确建立平面直角坐标系是解题关键．
23．如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道．已知楼梯共有五级均匀分布的台阶，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比为1：2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离ED＝2.55m．为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结果精确到1°）
（参考数据表）
计算器按键顺序
计算结果（已精确到0.001）
11.310
0.003
14.744
0.005
【分析】根据题意可得DF＝AB＝0.15米，然后根据斜坡AC的坡比为1：2，可求出BC，CD的长，从而求出EB的长，最后在Rt△AEB中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
解：如图：
由题意得：
DF＝AB＝0.15（米），
∵斜坡AC的坡比为1：2，
∴＝，＝，
∴BC＝2AB＝1.5（米），CD＝2DF＝0.3（米），
∵ED＝2.55米，
∴EB＝ED+BC﹣CD＝2.55+1.5﹣0.3＝3.75（米），
在Rt△AEB中，tan∠AEB＝＝＝，
查表可得，∠AEB≈11.310°，
∴为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于12度．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟练掌握坡比是解题的关键．
24．为满足市场需求，某超市购进一种品牌糕点，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种糕点的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售糕点多少盒？
【分析】（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）根据利润＝1盒糕点所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）先由（2）中所求得的P与x的函数关系式，根据这种糕点的每盒售价不得高于58元，且每天销售糕点的利润不低于6000元，求出x的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式即可求解．
解：（1）由题意得，y＝700﹣20（x﹣45）＝﹣20x+1600；
（2）P＝（x﹣40）（﹣20x+1600）＝﹣20x2+2400x﹣64000＝﹣20（x﹣60）2+8000，
∵x≥45，a＝﹣20＜0，
∴当x＝60时，P最大值＝8000元，
即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；
（3）由题意，得﹣20（x﹣60）2+8000＝6000，
解得x1＝50，x2＝70．
∵抛物线P＝﹣20（x﹣60）2+8000的开口向下，
∴当50≤x≤70时，每天销售糕点的利润不低于6000元的利润．
又∵x≤58，
∴50≤x≤58．
∵在y＝﹣20x+1600中，k＝﹣20＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝58时，y最小值＝﹣20×58+1600＝440，
即超市每天至少销售糕点440盒．
【点评】本题考查的是二次函数与一次函数在实际生活中的应用，主要利用了利润＝1盒糕点所获得的利润×销售量，求函数的最值时，注意自变量的取值范围．
25．如图①，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1，D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
（3）过点D向y轴作垂线（如图②），垂足为点E，是否存在点D，使△CDE与△AOC相似？若存在，请求出点D横坐标m的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求得A，C，B三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果；
（2）作DF⊥AB于F，交AC于E，根据点D和点E坐标可表示出DE的长，进而表示出三角形ADC的面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果；
（3）用含m的式子表示出D与E两点的坐标，根据相似三角形的性质列出比例式，进而求得D点的坐标．
解：（1）当x＝0时，y＝4，
∴C （0，4），
当y＝0时，x+4＝0，
∴x＝﹣3，
∴A （﹣3，0），
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴B（1，0），
∴设抛物线的表达式：y＝a（x﹣1）•（x+3），
∴4＝﹣3a，
∴a＝﹣，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）•（x+3）＝﹣x2﹣x+4；
（2）如图①，
作DF⊥AB于F，交AC于E，
∴D（m，﹣﹣m+4），M（m，m+4），
∴DM＝﹣﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m，
∴S△ADC＝OA＝•（﹣m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m，
∵S△ABC＝＝＝8，
∴S＝﹣2m2﹣6m+8＝﹣2（m+）2+，
∴当m＝﹣时，S最大＝，
当m＝﹣时，y＝﹣＝5，
∴D（﹣，5）；
（3）存在．
设D点坐标（m，﹣﹣m+4），E（0，﹣﹣m+4），
则DE＝﹣m，CE＝﹣﹣m+4﹣4＝﹣﹣m，
在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC＝＝＝5，
∵△CDE∽△AOC，
∴＝或＝，
即＝或，
解得m＝﹣或m＝﹣1．
∴当m＝﹣或m＝﹣1时，存在点D，使得△CDE∽△AOC．
【点评】本题考查了二次函数及其图象性质，勾股定理，相似三角形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关二次函数和相似三角形的性质．
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