人教B版 (2019)必修第一册第三章函数3.1 函数的概念与性质3.1.3 函数的奇偶性课文课件ppt

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3.1.3　函数的奇偶性
课前预习课中探究课堂评价
探究点一　利用函数奇偶性求解析式探究点二　奇偶性与单调性的简单应用探究点三　函数图像的对称性的证明及应用
第2课时　函数奇偶性的应用
1.掌握用奇偶性求解析式的方法;2.理解奇偶性对单调性的影响并能用来比较大小、求最值、解不等式.
知识点一　奇偶性与单调性的综合应用
1.对称区间内的单调性.奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性　　　　,偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性　　　　. 2.比较大小.两个因变量比较大小:对于偶函数,如果两个自变量在关于原点对称的两个不同的单调区间上,即自变量的正负不统一,那么①应利用图像的对称性将自变量化归到同一个单调区间,然后根据单调性判断;②根据在两个对称区间内的单调性情况,比较两个自变量的绝对值大小,即到y轴的距离大小,进而比较两个因变量的大小.
知识点二　证明函数图像的对称性
若函数f(x)满足f(x+a)=f(a-x),则函数f(x)的图像关于直线x=a对称,且函数f(x+a)为偶函数;若函数f(x)满足-f(x+a)=f(a-x),则函数f(x)的图像关于点(a,0)对称,且函数f(x+a)为奇函数.
【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)为奇函数,则f(-x)+f(x)=0. (　 )(2)若函数y=f(x+1)为奇函数,则满足f(-x-1)+f(x+1)=0.(　 )(3)若函数y=f(x+1)为偶函数,则满足f(x+1)-f(-x+1)=0.(　 )
[解析] (1)f(-x)+f(x)=0⇔f(-x)=-f(x).
[解析] (2)由奇函数的定义知,若y=f(x+1)为奇函数,则应当满足f(-x+1)=-f(x+1),即f(-x+1)+f(x+1)=0.
[解析] (3)同(2)分析可知(3)中结论正确.
例1 (1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x,则函数f(x)在R上的解析式是(　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.f(x)=-x(x-2)B.f(x)=x(|x|-2)C.f(x)=|x|(x-2)D.f(x)=|x|(|x|-2)
探究点一　利用函数奇偶性求解析式
[解析] (1)f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,-x>0,f(-x)=x2+2x=-x(-x-2),所以当x<0时,f(x)=f(-x)=-x(-x-2),又当x≥0时,f(x)=x2-2x=x(x-2),所以f(x)=|x|(|x|-2).
(2)已知定义在R上的函数f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=x2+x-1,则函数f(x)的解析式为　　　　　　　　　　.
变式已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=x2+x-2,求f(x),g(x)的解析式.
解:因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x).由f(x)+g(x)=x2+x-2①,得f(-x)+g(-x)=(-x)2-x-2,即f(x)-g(x)=x2-x-2②.由①②得f(x)=x2-2,g(x)=x.
[素养小结]利用奇偶性求函数解析式的注意事项:(1)求哪个区间的解析式就设x在哪个区间内;(2)将问题转化代入已知区间的解析式;(3)利用函数f(x)的奇偶性写出-f(-x)或f(-x),从而求出f(x).
探究点二　奇偶性与单调性的简单应用
[解析] ∵f(x)是R上的偶函数,∴f(-2)=f(2),f(-1)=f(1).又2>1>0,f(x)在[0,+∞)上单调递增,∴f(2)>f(1)>f(0),即f(-2)>f(1)>f(0),f(-2)>f(-1)>f(0).故选B.
例2 已知函数f(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则下列各式成立的是(　 )A.f(-2)>f(0)>f(1)B.f(-2)>f(-1)>f(0)C.f(1)>f(0)>f(-2)D.f(1)>f(-2)>f(0)
f(3),f(1), f(-2)
[素养小结]利用函数的奇偶性与单调性比较大小,需要注意看自变量是否在同一单调区间上.(1)在同一单调区间上,直接利用函数的单调性比较大小;(2)不在同一单调区间上,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上,然后利用单调性比较大小.
[解析] (1)∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0,又f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,∴f(x)在R上单调递增,∴由不等式f(2x-1)-f(x)<0得f(2x-1)(2)已知f(x)为偶函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=x-1,则使f(x)>0的x的取值范围是(　 )A.{x|x>1}B.{x|-11}D.{x|-11}
[解析] (2)当x∈(0,+∞)时,f(x)=x-1是增函数,又f(x)为偶函数,∴可以作出f(x)的图像如图所示.若f(x)>0,则f(x)>f(1)或f(x)>f(-1),即x>1或x<-1,故使f(x)>0的x的取值范围是{x|x<-1或x>1},故选C.
变式 (1)[2021·重庆高一期末] 已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0)上是增函数,若f(2)=0,则使f(x)<0的x的取值范围是(　 )A.(-∞,-2)∪(2,+∞)B.(-2,2)C.(2,+∞)D.(-∞,-2)
[解析] (1)因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0)上是增函数,所以f(x)在(0,+∞)上是减函数,因为f(2)=0,所以f(-2)=0,所以f(x)<0即为f(x)2或x<-2.故选A.
[素养小结]利用函数奇偶性与单调性解不等式需注意:(1)利用已知条件,结合函数的奇偶性,把已知不等式转化为f(x1)f(x2)的形式;(2)根据奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反,脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式求解.
[探索] 点(x1,y1)关于直线x=a对称的点如何描述?点(x1,y1)关于点(a,0)对称的点如何描述?点(x1,y1)关于点(a,b)对称的点如何描述?
探究点三　函数图像的对称性的证明及应用
解:点(x1,y1)关于直线x=a对称的点为(2a-x1,y1),点(x1,y1)关于点(a,0)对称的点为(2a-x1,-y1),点(x1,y1)关于点(a,b)对称的点为(2a-x1,2b-y1).
(2)证明:函数f(x)=x2+4x-5的图像关于直线x=-2对称.
证明:任取h∈R,则f(-2+h)=(-2+h)2+4(-2+h)-5=h2-9,f(-2-h)=(-2-h)2+4(-2-h)-5=h2-9,因为f(-2+h)=f(-2-h),所以函数f(x)的图像关于直线x=-2对称.
[素养小结]若函数f(x)的图像关于点(a,b)中心对称,则函数f(x)满足f(x+a)-b=b-f(a-x),证明函数图像的对称性问题都可以通过奇函数、偶函数的图像的对称性进行证明.
1. 设f(x)是奇函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=x(1+x),则当x∈(-∞,0)时,f(x)=(　 )A.x(1+x)B.-x(1+x)C.x(1-x)D.-x(1-x)
[解析] 当x<0时,-x>0,f(-x)=-x(1-x),∵f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x)=x(1-x),故选C.
3. 若f(x)是偶函数,且当x∈[0,+∞)时,f(x)=x-1,则f(x-1)<0的解集是(　 )A.{x|-1[解析] 当x∈[0,+∞)时,令f(x)<0,得0≤x<1.因为f(x)是偶函数,所以f(x)<0的解集是{x|-14. 设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1+m)+f(m)<0,则实数m的取值范围为　　　　.
5. 如果f(x)是R上的奇函数,且在[3,6]上有最大值4,最小值2,那么函数f(x)在[-6,-3]上的最大值是　　　　,最小值是　　　　.
[解析] 奇函数的图像关于原点对称,由f(x)的图像可知函数f(x)在[-6,-3]上的最大值为-2,最小值为-4.
函数奇偶性与单调性的综合应用(1)若奇函数f(x)在[a,b]上是增函数,且有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上是增函数,且有最小值-M.(2)若偶函数f(x)在(-∞,0)上是减函数,则f(x)在(0,+∞)上是增函数.
[解析] (1)∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0.又f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,∴f(x)在R上单调递增.由不等式f(2x-1)-f(x)<0,得f(2x-1)(2)(多选题)[2022·辽宁丹东高一期末] 已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,则(　　)A.f(-x-1)=-f(x+1)B.f(4+x)=f(-x)C.f(x)为偶函数D.f(x-3)为奇函数
[解析] (2)因为f(x+1)为奇函数,所以f(x)的图像关于(1,0)对称,所以f(-x+1)=-f(x+1),故A错误;因为f(x+2)为偶函数,所以f(x)的图像关于直线x=2对称,所以f(-x+2)=f(x+2),所以f(x+4)=f(-x),故B正确;f(x+2)=f[(x+1)+1]=-f(-x),f(2-x)=f[1+(1-x)]=-f(x),即f(-x)=f(x),故函数f(x)为偶函数,故C正确;f(x-3)=f(x+1)=-f(-x+1)=f[2+(-x+1)]=-f(3-x),则函数f(x-3)为奇函数,故D正确.故选BCD.
[解析] (3)因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,又函数f(x)在(-∞,0)上是减函数,所以该函数在(0,+∞)上也为减函数.因为f(-4)=0,所以f(4)=-f(-4)=0,作出函数f(x)的大致图像如图所示.
[解析] (1)由题可知函数f(x)在[0,+∞)上是减函数.因为f(x)为偶函数,所以f(-2)=f(2),又0<1<2<3,所以f(3)(2)定义在R上的偶函数f(x)满足对任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),恒有(x2-x1)·[f(x2)-f(x1)]>0,则当n∈N*时,有 (　　)A.f(-n)[解析] (2)由(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0,得f(x)在(-∞,0]上为增函数,又f(x)为偶函数,所以f(x)在[0,+∞)上为减函数,f(-n)=f(n),且0≤n-1

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