2.4 圆与方程-(人教A版2019选择性必修第一册) (学生版+教师版)

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圆与方程1 圆的定义平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径.2 圆的方程 标准方程，圆心，半径为. 一般方程 求圆方程的方法待定系数法先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出；若利用一般方程，需要求出；直接法直接把圆心和半径求出.要注意多利用圆的几何性质，如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置.3 点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为，圆半径为，   .点在圆内； .点在圆上；  点在圆外. 给定点及圆        在圆内；          在圆上；       在圆外. 某点到圆上点的距离若点在圆内，则，； 若点在圆外，则，； 4 直线、圆的位置关系 三种位置关系 根据与的关系判断(为圆心到直线的距离，为圆的半径.)       相离没有公共点 ;       相切只有一个公共点        相交有两个公共点 联立方程求判别式的方法联立直线方程与圆的方程求解，通过解的个数来判断：       当 时，直线与圆有个交点，直线与圆相交；       当时，直线与圆只有个交点，直线与圆相切；       当 时，直线与圆没有交点，直线与圆相离. 圆上一点到圆外一直线的距离若直线与圆相离，圆上一点到直线的距离为，为圆心到直线的距离，为圆半径，则，.5 弦长弦长公式：(是圆的半径，是圆心到直线的距离).利用垂径定理及勾股定理可以得到. 【题型一】求圆的方程【典题1】 若圆过点，且圆心到直线的距离为，求圆的标准方程.【解析】方法一 几何法圆过点，圆心的纵坐标为，(画图很容易看得出来)则设圆心为，则，或，当时，；当时，；圆的标准方程为或.方法二 待定系数法设圆的方程为，则，解得或  (消元求解)圆的标准方程为或. 【典题2】 已知，，，则过这三点的圆方程为        .【解析】方法一 待定系数法设圆的一般方程为，(设为标准方程也可以)又由圆过，，三点，则有，解得，，，则圆的标准方程为，即.方法二 几何法圆心是直线的垂直平分线的交点，(根据外心的定义)易得直线的垂直平分线分别为，，由，解得，即圆心，半径，(半径为圆心到任一点的距离)故圆的标准方程为.【点拨】求三角形外接圆的方程，可用待定系数法，也可以用三边的中垂线求解.待定系数法的想法简单但计算量较大. 巩固练习1(★) 已知圆关于直线对称的圆的方程为，则＝       .    【解析】圆的圆心是坐标原点，半径为，设关于直线的对称点为，则，解得，则点关于直线对称的点的坐标为，所以圆关于直线对称的圆的方程为，化为一般式为，所以，即．2(★) 圆心在直线上，经过原点，且在轴上截得弦长为的圆的方程为       .  【答案】 或   【解析】画出圆满足题中的条件，有两个位置，当圆心在第一象限时，过作轴，又，根据垂径定理得到点为弦的中点，则，由点在直线上，得到圆心的坐标为，且半径，则圆的标准方程为：；当圆心在第三象限时，过作轴，又，根据垂径定理得到点为弦的中点，则，由点在直线上，得到圆心的坐标为，且半径，则圆的标准方程为：，综上，满足题意的圆的方程为：或．3(★) 过点，，且圆心在直线上的圆的半径是       .【答案】    【解析】设圆的标准方程为，因为圆过点，且圆心在直线上，则有，解得，所以圆的半径是． 【题型二】点与圆的位置关系【典题1】 若点的坐标是，圆的方程为，则点与圆的位置关系是(　　)A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆内或圆上 D．点在圆上或圆外【解析】点的坐标是，，点与圆的位置关系是点在圆内或圆上，故选：．【点拨】判定点到圆的位置，方法有两种，①求，与半径比较大小；②把点代入圆的方程，得到其值与的大小比较. 【典题2】 若实数满足，则的最大值是       .【解析】方法1 几何法即，它表示一个圆心，半径的圆，而表示圆上的点与原点之间的距离，(则本题就是求原点到圆上点距离的最大值)结合图形知，，即的最大值是．方法2 三角代换法即，设，，则而   (由辅助角公式可得)的最小值为.【点拨】 方法是从几何的角度入手，确定方程为圆的方程，根据两点距离公式确定是线段的长度，则问题转化为圆外一点到圆上点的距离最值问题.方法是三角代换法，圆的参数方程为，它是求最值问题的一大技巧. 巩固练习1(★) 若点在圆：内，则实数的取值范围为     ．【答案】   【解析】点在圆：内，，即，则．的取值范围是．2(★) 在圆上与点距离最大的点的坐标是　　    ． 【答案】      【解析】，点在圆外圆上与点距离最远的点，在圆心与点连线上，且与点分别在圆心两侧令直线解析式：，由于直线通过点，可得直线解析式：，与圆的方程联立，可得，或交点坐标为和，其中距离点较大的一个点为3(★★) 在平面内，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬到的最短路程是　　    ． 【答案】     【解析】由圆，得圆心坐标，半径为，关于轴的对称点为，它爬到的最短路程是 最短距离为，4(★★) 已知点在圆上，则的最大值为　　    ． 【答案】       【解析】表示点与点的距离，点在圆上，的最大值为，5(★★) 已知点，若圆：上存在点，使得线段的中点也在圆上，则的取值范围是　　    ．  【答案】 【解析】设，的中点，由已知有，解得，即的中点的轨迹为圆，又线段的中点也在圆上，两圆有公共点，，解得：，6(★★) 设点若圆上存在点，使得，那的取值范围　　    ．   【解析】过作切线交于，根据圆的切线性质，有．若圆上存在点，使，则．时不成立，，即，解得.
 7(★★) 如果圆上总存在到原点的距离为的点，那实数的取值范围 　　    ．【答案】    【解析】 圆半径，圆心到原点的距离，若由圆上总存在点到原点的距离为，，，解得或．实数的取值范围是．        8 (★★★) 在平面直角坐标系中，已知点在圆：内，若存在过点的直线交圆于两点，且的面积是的面积的倍，则实数的取值范围为　  　．【答案】 【解析】点在圆：内，，解得；又圆化为标准方程是，圆心；的面积是的面积的倍，，设直线的方程为：．圆心到直线的距离．3，可得：，，解得：．当时，四点共线没有三角形，实数的取值范围为．  【题型三】直线与圆的位置关系【典题1】 若圆：与直线有公共点，则的取值范围是　　    ．【解析】方法一 化圆的一般方程为标准方程，得，则圆心坐标为，半径，若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离小于等于半径，则，解得.方法二  由得，其判别式，直线与圆有公共点，则，解得.【点拨】 判定直线与圆的位置共线有两种方法，①判定圆心到直线的距离与半径的大小半径；②联立方程，看判别式. 【典题2】 求过点，圆的切线的方程． 【解析】方法1 当过点的直线斜率不存在时，方程为，显然不满足题意，故可设切线为，依题意得圆到直线的距离等于半径，故，解得或，故所求直线的方程为或．方法2 设所求直线的方程为(其中不全为零)， 直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，故  整理，得，即(这时)或．   故所求直线的方程为或．【点拨】① 方法中，设过某一点的直线方程时，注意斜率是否存在，不存在方程为，存在时可设为.② 方法利用了直线系方程，过点的直线系方程为(其中不全为零). 【典题3】 已知两点，若点是圆上的动点，则面积的最大值和最小值之和为　　    ．【解析】(以为底，求其最值，即求点到直线的距离最值)由两点，，直线的方程为：即，由圆可得圆心，半径，则圆心到直线的距离，点是圆上的动点，点到直线的最大距离；点到直线的最小距离．面积的最大值和最小值之和等于．【点拨】圆上一点到圆外一直线距离与圆心到直线的距离和圆的半径有关，即，. 【典题4】已知圆，过直线上的一点作圆的两条切线，，切点分别为，，则的最小值为　    ．【解析】根据题意，如图：连接，圆的圆心，半径，，(圆的切线长定理)当最小时，的值的最小，而的最小值为点到直线的距离，则∠的最小值为.【点拨】① 本题利用了平几和三角恒等变换的知识把的最值转化为“直线一动点到定点的距离最值问题”.② 求某变量的最值，可转化为另一变量的最值，这也是一种函数思想，在解析几何中就要对题目中的动点变化有足够的清晰理解. 【典题5】直线：，动直线：，动直线：．设直线与两坐标轴分别交于两点，动直线与交于点，则的面积最大值　    ．【解析】由，取，得，则；取，得，则，，(线段为定值，则的大小取决于点到直线的距离)方法1 函数法由得，则求点到直线的距离(函数法，求其函数最值便可)易得的值域，(利用对勾函数或基本不等式)则，故，的面积最大值为.方法2 参数法由得，(即得到点轨迹的参数方程)由代入得，(消参数得到点的方程)整理得，(点的轨迹是圆，接着求点到直线距离的最大值，问题回到“圆上点到圆外直线的距离”模型)圆心到直线的距离，到直线的距离的最大值为，的面积最大值为.方法3  几何法直线：过定点，直线：过定点，，直线与直线垂直，动直线与交于点在以为直径的圆上，(动点轨迹是圆，求出其方程，如方法2便可)的中点坐标为，，动点的轨迹方程为，如方法得的面积最大值.【点拨】① 方法的函数法是最直接的想法，但运算量较大些；② 本题的求解动点轨迹的方法是参数法和几何法；③ 几何法中，我们要清楚动点是由什么因素确定，再思考这些因素有木有什么特点.本题动点是两动直线的交点，则我们要考虑两直线有什么特征，一般可往“定点”、“直线位置关系”的角度思考.其中关于圆的结论可以了解下：(1) 动点到两个定点的夹角，则动点的轨迹是以为直径的圆；(2) 若平面四边形中有，则四点共圆. 巩固练习1(★) 点在圆外，则直线与圆的位置关系是(　　)A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定【答案】        【解析】点在圆外，，圆心到直线的距离：，直线与圆相交．2(★) 已知过点的直线与圆相切，则直线的斜率为(　　)A． B． C． D．【答案】        【解析】设直线方程为：，由已知圆的圆心为，半径为，因为直线与圆相切，则圆心到直线的距离为，解得，故选：．3(★★) 【多选题】已知点在圆上，点，则(　　)A．点到直线的距离小于    B．点到直线AB的距离大于 C．当∠最小时，    D．当∠最大时，【答案】       【解析】，过的直线方程为，即，圆的圆心坐标为，圆心到直线的距离，点到直线的距离的范围为[，]，，，，点到直线的距离小于，但不一定大于，故正确，错误；如图，当过的直线与圆相切时，满足∠PBA最小或最大点位于时∠最小，位于时∠最大)，此时，，故正确．故选：．4(★★) 已知圆：，为直线：上任一点，过点作圆的切线为切点)，则最小值是　  　．【答案】         【解析】圆：，圆心，半径，设圆心到直线：的距离为，故当圆心到直线上点的距离最小时，即圆心到直线的距离，此时最小，因为，所以，故最小值是．5(★★) 过直线上的点作圆的两条切线，若两切线的夹角为，则点的坐标为　  　．【答案】【解析】根据题意画出相应的图形，如图所示：直线和为过点的两条切线，且∠，设的坐标为，连接，，，平分∠，∠∠，∠∠，又圆，即圆心坐标为，半径，，，，即①，又在直线上，，即②，联立①②解得：，则P的坐标为(，)．6(★★) 直线与半圆有两个交点,则的值是　  　．【答案】   【解析】根据题意画出图形，如图所示：当直线在第三象限与半圆相切时，圆心到直线的距离，即，解得：或(舍去)；当直线过点时，直线与圆有两个交点和，把代入中得：，解得：，则直线与圆有两个交点时，的范围是．故答案为：7(★★)若圆上至少有三个不同点到直线：的距离为，则的取值范围　　．【答案】     【解析】由圆的标准方程，则圆心为，半径为，圆上至少有三个不同的点到直线：的距离为，则圆心到直线的距离应不大于等于，，整理得：，解得：，由，，8(★★★)已知是圆上任意一点，若是定值，则实数的取值范围是　  　．    【解析】由题意可知此圆夹在两直线和之间时，是定值，所以，．9(★★★)已知：，直线：，为直线上的动点，过点作的切线，，切点为，，当四边形的面积取最小值时，直线AB的方程为 　  　．【答案】   【解析】：的标准方程为，则圆心，半径．因为四边形的面积，要使四边形面积最小，则需最小，此时与直线垂直，直线的方程为，即，联立，解得．则则以为直径的圆的方程为，与的方程作差可得直线的方程为．10(★★★) 若为直线上一个动点，从点引圆：的两条切线切点为，则的最小值是　  　．【答案】【解析】如图，由可得，所以圆的圆心为，半径，如图所示，要使的长度最小，即要∠最小，则∠最小，因为，所以当最小时，最小，因为，所以当最小时，最小，因为，所以∠，又∠，则． 【题型四】弦长问题【典题1】 已知圆的方程为，是该圆内一点，过点的最长弦与最短弦分别是和，求四边形的面积.【解析】圆的方程为，圆心坐标为，半径．是该圆内一点，经过点最长弦是圆的直径，且最短的弦是与该直径垂直的弦．结合题意，是经过点的直径，是与垂直的弦．，由垂径定理，得.因此，四边形的面积是.【点拨】过圆内一点的最短弦是与垂直的弦. 【典题2】 设为原点，直线与圆相交于两点，那面积最大值为　  　．【解析】原点到的距离为，弦长，，当时，形成不了，故；则，当且仅当时取等号．【点拨】来个马后炮：思路是怎么来的呢？从动点变换的角度思考，求最大值，那先想到面积公式，那和是变量，它们均由确定的，故可用表示出来，进而，最后成函数最值问题！假如想到弦长，它的值由确定的，那，(当，即时取等号). 巩固练习1(★) 直线被圆截得的弦长等于　    　． 【答案】   【解析】连接，过作，根据垂径定理得：为的中点，根据得到圆心坐标为，半径为．圆心到直线的距离=，而半径，则在直角三角形中根据勾股定理得，所以，故选．2(★★) 已知圆心在轴上，半径为的圆位于轴右侧，且截直线所得弦的长为，则圆的方程为　    　．【答案】      【解析】根据题意，设圆的圆心坐标为，则其标准方程为，则圆心到直线的距离，又由该圆截直线所得弦的长为，则有，解可得，又由，则，故要求圆的方程为，3(★★) 已知直线：与圆：交于两点，则弦长的最小值为　    　． 【答案】     【解析】直线：过定点，，定点在圆内部，则当直线与垂直时，最小，此时．4(★★) 已知圆：及直线：，设直线与圆相交所得的最长弦长为，最短弦为，则四边形的面积为　    　． 【答案】     【解析】将圆方程整理为，得圆心，半径；将直线方程整理为，得直线恒过定点，且在圆内；最长弦为过的圆的直径，则；最短弦为过，且与最长弦垂直的弦，，，则直线方程为，即，圆心到直线的距离为，，四边形的面积，