高中人教A版 (2019)第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程教案及反思

第二章  直线和圆的方程

2.4.2圆的一般方程（1课时）

【教学内容】

圆的一般方程的定义、代数特征、求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题。

【教学目标】

1．理解圆的一般方程及其特点，发展数学抽象和数学建模的核心素养。

2．掌握圆的一般方程和标准方程的互化.发展逻辑推理，直观想象、数学运算的核心素养。

3．会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题．提升数形结合和方程思想，发展逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

教学重点：掌握圆的一般方程的代数特征，方程表示圆的条件的推导和圆的标准方程与一般方程的互化

教学难点：与圆有关的简单的轨迹方程

【教学过程】（说明：本环节包括新授、小结、布置作业等）

（一）圆的一般方程的定义

1．思考引入

根据上一节圆的标准方程的相关知识我们知道，方程表示以（1，-2）为圆心，2为半径的圆，可以将此方程变形为即。一般地，圆的标准方程可以变形为（1）的形式，那么形如(1)的方程能通过恒等变形变为圆的标准方程吗?

【答案】例如，对于方程，对其进行配方，得，因为任意一个点的坐标(x,y)都不满足这个方程．所以这个方程不表示任何图形，形如的方程不一定能通过恒等变形为圆的标准方程，这表明形如的方程不一定是圆的方程。

2．探究

方程中的D,E,F满足什么条件时，这个方程表示圆？

【答案】将方程配方，并把常数项移到右边得

(1)当时，表示以为圆心，为半径的圆；

（2）当时，只有实数解，它表示一个点

（3）当时，没有实数解，它不表示任何图形；因此当时，表示一个圆，此时我们把叫做 圆的一般方程

（二）圆的一般方程的代数特征

1．思考

圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点

圆的标准方程明确给出了圆心坐标和半径，而圆的一般方程则明确表明其形式是一种特殊的二元二次方程，方程的代数特征非常明显.

二元二次方程要想表示圆,需x2和y2的系数相同且不为0,没有xy这样的二次项；只有时，才表示圆

（三）典型例题

例4. 求过三点O(0, 0) , M1(1, 1) , M2 (4, 2)的圆的方程, 并求这个圆的半径长和圆心坐标.

分析:将点O，M1，M2的坐标分别代入圆的一般方程，可得一个三元一次方程组，解方程组即可求出圆的方程.

设所求的圆的方程为,∵ O , M1 , M2 都在圆上 , 它们的坐标都是方程(1)的解.∴把它们的坐标依次代入方程(1)可以得到关于D,  E , F的三元一次方程组：

解这个方程组得：所以所求得圆的方程是，所求圆的圆心为（4，-3），半径.

思考分析
与圆的标准方程这一节中例2的方法比较, 有什么体会?

例2   △ABC的三个顶点分别是A(5, 1) , B(7, -3) , C(2,-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.解: 设所求的方程是因为A(5, 1) , B(7, -3) , C(2, -8) 三点都在圆上 , 所以它们的坐标都满足上述方程 , 于是

即

观察上面的式子，我们可以三式子两两相减，可以消去，得到关于的二元一次方程组：

解得代入得到所以△ABC外接圆德标准方程是

 例4也使用了待定系数法，选用圆的一般方程，与例2中选用标准方程的方法相比，运算就显得容易一些.因为运算后得到的方程没有二次项，是一个三元一次方程组 . 若像例2那样选用圆的标准方程，得到的是三元二次方程组，需要消去二次项. 一般来说，解一次方程比解二次方程容易 .

归纳总结:

求圆的方程时,如果由已知条件容易求得圆心坐标、

半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题,

一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r;

如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,

一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出常数D,E,F.

而求圆的方程常用的待定系数法，其大致步骤是：

1.根据题意, 选择标准方程或一般方程.

2.根据条件列出有关 a, b, r, 或 D, E, F 的方程组.

3.解出 a, b, r 或 D, E, F 代入标准方程或一般方程.

例5  已知线段AB的端点B的坐标是(4, 3)，端点A在圆 (x+1)2+y2=4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.

设M的坐标为(x, y) , 点A坐标是(x0，y0).由于点B的坐标是(4 , 3) , 且M是线段AB的中点, 所以 于是有因为点A在圆上运动，所以点A的坐标满足圆的方程，即把（1）代入（2）得到，整理得到，这是点M的轨迹方程，它表示以为圆心，半径为1的圆。

归纳总结：

求解轨迹方程的一般方法小结：

1.直接法:

   利用几何关系，直接列式求出.

2.相关点法:

   利用所求曲线上的动点与已知曲线上的动点的关系，找到关系式，列式求出.

课堂小结：

1．本节课，我们先学习了圆的一般方程的定义；

2．再利用圆的标准方程和一般方程的互化学习了圆的一般方程特点；

3．学会了利用直接法和相关点求与圆有关的简单的轨迹方程．